中考数学真题分项汇编27圆的有关性质（解析版）

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】

专题27圆的有关性质（优选真题60道）

选择题（共23小题）

1.（2023•吉林）如图，AB,AC是。。的弦，OB,OC是。。的半径，点尸为。8上任意一点（点P不与

点2重合），连接CP.若乙BAC=70°,则NBPC的度数可能是（）

【分析】利用圆周角定理求得/BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得/BPC的范围,

继而得出答案.

【解答】解：如图，连接2C,

'：ZBAC=10°,

...N2OC=2/a4c=140°,

"：OB=OC,

180。一140。

ZOBC=ZOCB=2=2。°，

,:点、P为OB上任意一点（点尸不与点B重合），

/.0°<ZOCP<20°,

VZBPC=ZBOC+ZOCP=140°+ZOCP,

：.140°<ZBPC<160°,

故选：D.

【点评】本题考查圆与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得的范围是解题的关键.

2.（2023•赤峰）如图，圆内接四边形ABC。中，105°,连接02,OC,OD,BD,/BOC=2N

COD.则的度数是（

A

【分析】利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求得N30D的度数，再结合已知条件求得NC。。的度

数，然后利用圆周角定理求得NC3D的度数.

【解答】解：・・•四边形ABCO是。。的内接四边形，

AZA+ZBC£>=180°,

VZBCZ）=105°,

・・・NA=75°,

AZBOD=2ZA=150°,

♦：/BOC=2/COD,

・・・N5OD=3NCOD=150°,

：.ZCOD=50°,

1

AZCBD=^ZCOD=25°,

故选：A.

【点评】本题考查圆内接四边形性质及圆周角定理，结合已知条件求得NB。。的度数是解题的关键.

3.如图，点A,B,。在。0上，若NC=55°,则NA05的度数为（）

【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案.

【解答】解：VZAOB=2ZC,ZC=55°,

AZAOB=HO°,

故选：D.

【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半.

4.（2023•广东）如图，是的直径，ZBAC=50°,则（）

【分析】由是。。的直径，得/ACB=90°,而NBAC=50°,即得/ABC=40°,故/。

=40°,

【解答】解：TAB是O。的直径，

AZACB=90°,

：.ZBAC+ZABC^90°,

'：ZBAC=50°,

：.ZABC=40°,

\'AC=AC,

：.ZD=ZABC=40°,

故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角

相等.

5.（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈

圆弧形，跨度约为37加，拱高约为7〃z,则赵州桥主桥拱半径R约为（）

37m

A.20mB.28mC.35mD.40m

【分析】设主桥拱半径R,根据垂径定理得到A0=孝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案.

【解答】解：由题意可知，AB=31m,CD=7m,

设主桥拱半径为Rm,

：.OD=OC-CD=(R-7)m,

•；OC是半径，OC±AB,

：.AD^BD=皆3

在R/A。。中，4。2+。£)2=042,

R7

2

(―)+(R-7)2=R2,

2

解得H=臂。28.

56

故选：B.

【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解

决问题.

6.（2023•广元）如图，A8是O。的直径，点C，。在O。上，连接CD,OD,AC,若N2OD=124°,则

C.28°D.23°

【分析】先由平角定义求得/4。。=56°,再利用圆周角定理可求/ACD.

【解答】解：；N3OZ>=124°,

ZAOZ)=180°-124°=56°,

AZACD=^ZA<?r>=28°,

故选：c.

【点评】本题主要考查的是圆周角定理的应用，利用平角定义求得/4。。=56。是解决本题的关键.

7.（2023•温州）如图，四边形ABC。内接于OO,BC//AD,AC1BD.若NAO£）=120°,AD=®则/

CAO的度数与BC的长分别为（）

A.10°,1B.10°,V2C.15°,1D.15°,V2

【分析】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出NAO8=NCOD=90°,ZCAD=ZBDA=

45°,求出N8OC=60°,得到△BOC是等边三角形，得至（J3C=0B,由等腰三角形的性质求出圆的半

径长，求出NO4O的度数，即可得到5c的长，NC4O的度数.

【解答】解：・・・3C〃A。，

AZDBC=ZADB,

：.AB=CD,

：.ZAOB=ZCOD,NCAD=NBDA,

VZ）B±AC,

AZAED=90°,

：.ZCAD=ZBDA=45°,

/.ZAOB=2ZADB=90°,ZCOD=2ZCAD=90°,

VZAOD=nO°,

：.ZBOC=360°-90°-90°-120°=60°,

♦：OB=OC,

・•・△03。是等边三角形，

:.BC=OB,

9

：OA=ODfZAOD=120°,

：.ZOAD=ZODA=30°,

：.AD=V3OA=V3,

：.OA=1,

：.BC=1,

：.ZCAO=ZCAD-ZOAD=45°-30°=15°.

故选：c.

A

【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是

由圆周角定理推出/4。8=/。。。=90°,ZCAD=ZBDA^45°,证明△02C是等边三角形.

8.（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于OO,AC,为对角线，8。经过圆心。若/BAC=40°,

则NO2C的度数为（）

AD

A.40°B.50°C.60°D.70°

【分析】由圆周角定理可得NBCD=90°,ZBDC=ZBAC=40°,再利用直角三角形的性质可求解.

【解答】解：。经过圆心。，

AZBCD=90°,

'：ZBDC=ZBAC=40°,

NDBC=90°-ZBDC=50°,

故选：B.

【点评】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键.

9.（2023•宜昌）如图，。4,OB,0c都是O。的半径，AC,02交于点。.若AO=CD=8,OD=6,则

A.5B.4C.3D.2

【分析】根据垂径定理得OBLAC,在根据勾股定理得OA='AD2+0D2=+6?=10,即可求出答

案.

【解答】解：：AZ）=CD=8,

：.OB±AC,

在RtAAOD中，。4=y/AD2+OD2=V82+62=10,

.•.02=10,

：.BD=10-6=4.

故选：B.

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OBLAC是解题的关键.

10.（2023•枣庄）如图，在。。中，弦AB,CD相交于点P.若/A=48°,ZAPD=80°,则的度数

为（）

A.32°B.42°C.48°D.52°

【分析】根据外角/AP。，求出/C,由同弧所对圆周角相等即可求出N3.

【解答】解：；/A=48°,ZAPD=80°,

AZC=80°-48°=32°,

VAD=AD,

.•.ZB=ZC=32°.

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键.

11.（2023•杭州）如图，在O。中，半径。4,OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若NABC=19°,则/

BAC=()

A.23°B.24°C.25°D.26°

【分析】连接OC,根据圆周角定理可求解NA。。的度数，结合垂直的定义可求解N30C的度数，再利

用圆周角定理可求解.

【解答】解：连接OC,

VZABC=19°,

AZAOC=2ZABC=3S°,

•・•半径04,08互相垂直，

AZAOB=90°,

・・・N3OC=90°-38°=52°,

1

AZBAC=^ZBOC=26°,

故选：D.

【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

12.(2023•湖北)如图，在。。中，直径与弦8相交于点P,连接AC,AO,BD,若NC=20°,Z

BPC=70°,则NAOC=()

A.70°B.60°C.50°D.40°

【分析】先根据外角性质得ZC=50°=ZBDC,,再由A8是。。的直径得NA£>B=90°

即可求得/ADC.

【解答】解：VZC=20°,NBPC=7Q°,

；.NBAC=NBPC-NC=50°=/BDC,

「AB是。。的直径，

AZADB=90°,

NADC=NADB-NBDC=40°,

故选：D.

【点评】本题主要考查了三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本

题的关键.

13.（2022•泰安）如图，AB是。。的直径，ZACD=ZCAB,AD=2,AC=4,则。。的半径为（）

A.2V3B.3V2C.2V5D.V5

【分析】根据圆周角定理及推论解答即可.

【解答】解：方法一：

连接C。并延长C。交。。于点£,连接AE,

'：OA^OC,

：.ZOAC=ZOCA,

,?ZACD=ZCAB,

：.ZACD=ZACO,

：.AE=AD=2,

；CE是直径，

：.ZEAC=9Q°,

在RtZVEAC中，AE=2,AC=4,

EC=V22+42=2V5,

/.Q0的半径为4.

方法二：连接BC,

,：AB是直径，

；.NACB=90°,

'：ZACD=ZCAB,

：.AD=BC,

.•.AD=BC=2,

在RtZXABC中，AB=y/AC2+BC2=2V5,

.•.圆O的半径为6.

【点评】本题主要考查了圆周角定理及推论，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键.

14.（2022•贵阳）如图，已知/ABC=60°,点。为8A边上一点，10,点。为线段30的中点，以

点。为圆心，线段08长为半径作弧，交BC于点、E,连接。E,则BE的长是（）

A.5B.5V2C.5V3D.5V5

【分析】解法一：根据题意和等边三角形的判定，可以得到8E的长.

解法二：先根据直径所对的圆周角是90°,然后根据直角三角形的性质和直角三角形中30°角所对的直

角边是斜边的一半，可以求得8E的长.

【解答】解：解法一：连接OE,

1

由已知可得，OE=OB=^BD=5,

VZABC=60°,

△BOE是等边三角形，

:.BE=OB=5,

故选：A.

解法二：由题意可得，

BD为。。的直径，

:.NBED=90°,

'：ZABC=60°,

EDB=30°,

'：BD^10,

：.BE=5,

故选：A.

【点评】本题考查等边三角形的判定与性质、与圆相关的知识，解答本题的关键是明确题意，求出△OBE

的形状.

15.（2022•温州）如图，AB,AC是。。的两条弦，于点。，OE_LAC于点E,连结08,OC.若

ZDO£=130°,则/BOC的度数为（）

A.95°B.100°C.105°D.130°

【分析】根据四边形的内角和等于360。计算可得NBAC=50°，再根据圆周角定理得到/BOC=2/BAC,

进而可以得到答案.

【解答】M：'：OD±AB,OELAC,

：.ZAD（9=90°,ZAEO=90°,

'：ZDOE=130°,

：.ZBAC=360°-90°-90°-130°=50°,

ZBOC=2ZBAC=100°,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.

16.（2022•贵港）如图，是△A8C的外接圆，AC是。。的直径，点P在。。上，若/ACB=40°,则

/BPC的度数是（）

A.40°B.45°C.50°D.55°

【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到/A2C=90°,进而求出/C42,根据圆周角定理解答即可.

【解答】解：是。。的直径，

/.ZABC=90°,

：.ZACB+ZCAB=90°,

VZACB=40°,

：.ZCAB=90°-40°=50°,

由圆周角定理得：ZBPC=ZCAB=50°,

故选：C.

【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

17.（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在。。上，边AB、AC与。。分别交于点。、E,点尸

是劣弧力上一点，且与£＞、E不重合，连接。/、EF,则/。庄的度数为（）

E

yto\）\

-B

A.115°B.118°C.120°D.125°

【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边AABC的每一个内角是60。，求出/EFD=120。.

【解答】解：四边形EEDA是O。内接四边形，

：.ZEFD+ZA=ISO°,

,：等边△ABC的顶点A在OO上，

二/4=60°,

：.ZEFD=120°,

故选：C.

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键.

18.（2022•荆门）如图，C。是圆。的弦，直径A8_LC。，垂足为E,若A8=12,BE=3,则四边形ACBO

【分析】根据AB=12,BE=3,求出OE=3,OC=6,并利用勾股定理求出EC,根据垂径定理求出CD,

即可求出四边形的面积.

【解答】解：如图，连接OC,

VAB=12,BE=3,

：・OB=OC=6,0E=3,

'CABLCD,

在Rt/XCOE中，EC=yj0C2-OE2=V36-9=3V3,

:・CD=2CE=6®

[1

四边形ACBD的面积=专AB-CD=X12X6V3=36®

故选：A.

【点评】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，

并且平分弦所对的两条弧.

19.（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A,

B两点,他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海

平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）

A.1.0厘米/分B.0.8厘米/分C.1.2厘米/分D.1.4厘米/分

【分析】连接过点。作于D,由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长,

然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解.

【解答】解：设“图上”圆的圆心为。，连接。4,过点。作于£>,如图所示：

厘米,

1

：.AD=^AB^S（厘米），

厘米，

OD=y/OA2-AD2=V102-82=6（厘米），

，海平线以下部分的高度=04+。。=10+6=16（厘米）,

•••太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，

“图上”太阳升起的速度=16+16=1.0（厘米/分），

故选：A.

【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

20.（2021•攀枝花）如图，在矩形A3。中，已知A8=3,8C=4,点尸是8c边上一动点（点P不与8,

C重合），连接AP,作点8关于直线AP的对称点则线段的最小值为（）

5,—

A.2B.-C.3D.V10

2

【分析】当A,M,C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可.

【解答】解：连接AM,

•.•点8和M关于AP对称,

.*.AB=AM=3,

在以A为圆心，3为半径的圆上,

...当A,M,C三点共线时，CM最短，

'：AC=-32+42=5,AM^AB=3,

；.CAf=5-3=2,

故选：A.

【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M在以A为圆心，3为半径的圆上.

21.（2021•吉林）如图，四边形A2C。内接于O。，点尸为边AO上任意一点（点尸不与点A,。重合）连

接CP若/8=120°,则NAPC的度数可能为（）

A.30°B.45°C.50°D.65°

【分析】由圆内接四边形的性质得度数为60。，再由/APC为△PCQ的外角求解.

【解答】解：：四边形ABC。内接于O。，

.*.ZB+ZD=180°,

"8=120°,

；./£）=180°-48=60°,

,/NAPC为△PCO的外角，

/.ZAPC>ZD,只有。满足题意.

故选：D.

【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补.

22.（2021•雅安）如图，四边形ABC。为。。的内接四边形，若四边形。8。为菱形，则NBA。的度数为

BD

A.45°B.60°C.72°D.36°

【分析】根据圆内接四边形的性质得到/8A£）+/BCD=180°,根据圆周角定理得到

根据菱形的性质得到计算即可.

【解答】解：：四边形ABC。为。。的内接四边形，

：.ZBAD+ZBCD=180°,

由圆周角定理得：NBOD=2/BAD,

•.•四边形OBCO为菱形，

：.ZBOD=ZBCD,

：.ZBAD+2ZBAD=\SQ°,

解得：ZBAD=60°,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补

是解题的关键.

23.（2021•眉山）如图，在以48为直径的。。中，点C为圆上的一点，BC=3AC,弦CDLAB于点E,弦

AF交CE于点H,交BC于点、G.若点〃是AG的中点，则NC8尸的度数为（）

A.18°B.21°C.22.5°D.30°

【分析】由圆周角定理可求NACB=90°,由弧的关系得出角的关系，进而可求/ABC=22.5°,ACAB

=67.5°,由直角三角形的性质可求/CAH=NACE=22.5°,即可求解.

【解答】解：..NB是直径,

ZACB=90°,

/.ZABC+ZCAB=90°,

"：BC=3AC,

：.ZCAB=3ZABC,

：.ZABC=22.5°,ZCAB=61.5°,

'：CDLAB,

：.ZACE=22.5°,

,点X是AG的中点，ZACB=90°,

:.AH=CH=HG,

：.ZCAH=ZACE^22.5°,

'：ZCAF=ZCBF,

：.ZCBF=22.5°,

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出NCAB的度数是本

题的关键.

二.填空题（共25小题）

24.（2023•长沙）如图，点A,B,C在半径为2的上，ZACB=60a,OD±AB,垂足为E,交。。于

点D,连接。4,则OE的长度为1.

【分析】连接08,利用圆周角定理及垂径定理易得/49。=60°,则NO4E=30°,结合已知条件，利

用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案.

【解答】解：如图，连接OB,

VZACB=60°,

AZA0B=2ZACB=120°,

VOZ）±AB,

：.AD=BD,NOEA=90°,

1

AZAOD=ZBOD=^ZAOB=6Q°,

：.ZOAE=90°-60°=30°,

11

：・OE=^OA=^x2=l,

故答案为：1.

【点评】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得NAOD=60°是解题的关键.

25.（2023•深圳）如图，在。0中，A5为直径，C为圆上一点，NA4c的角平分线与。0交于点。，若N

【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得NACB=90°,再利用圆周角定理可得NAOC=NA3C=

20°,然后利用直角三角形的两个锐角互余可得N84C=70°,从而利用角平分线的定义进行计算，即

可解答.

【解答】解：•・•A3为。。的直径，

AZACB=90°,

VZADC=20°,

AZADC=ZABC=20°,

：.ZBAC=90°-NA3C=70°,

*：AD平分NB4C,

1

：.ZBAD=^ZBAC=35°,

故答案为：35.

【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

26.(2023•东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中,

不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图,

2+52,求出厂，即可得到圆的直径长.

【解答】解：连接04

设O。的半径是r寸，

•.•直径CDLAB,

.*.A£=1.4B=1xlO=5寸，

'：CE=1寸，

OE=(r-1)寸，

"：OA2=OE1+AE1,

(r-1)2+52,

/.r=13,

直径CD的长度为2r=26寸.

故答案为：26.

【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接0A构造直角三角形，应用垂径定理，

勾股定理列出关于圆半径的方程.

27.（2023•郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监

控角度是55°,为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台.

【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是

3

110°,则共需安装360°4-110°=3—“4台.

11

【解答】解：：/尸=55°,

所对弧所对的圆心角是110°,

V36004-110°=3——，

11

/.最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台.

故答案为：4.

【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来.

28.（2023•绍兴）如图，四边形A8CD内接于圆。若/。=100°,则的度数是80°.

【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案.

【解答】解：：四边形ABC。内接于圆0,

：.ZB+ZD=18O°,

•.•/£>=100°,

.\ZB=80o.

故答案为：80°.

【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质.

29.（2023•南充）如图，是。。的直径，点。，M分别是弦AC,弧AC的中点，AC=12,BC=5,则

MD的长是4.

【分析】根据垂径定理得OMLAC,根据圆周角定理得/C=90°,根据勾股定理得V122+52=13,

1

根据三角形中位线定理得。。=扣。=2.5,OD//BC,所以ODJ_AC,MD=OM-OD=6.5-2.5=4.

【解答】解：•・,点M是弧AC的中点，

：.OM.LAC,

TAB是。。的直径，

AZC=90°,

VAC=12,BC=5,

：.AB=V122+52=13,

：.OM=6.5,

•・•点。是弦AC的中点，

1

・・・0。=抑;=2.5,OD//BC,

：.ODLAC,

・・・O、。、M三点共线，

：.MD=OM-OD=6.5-2.5=4.

故答案为:4.

【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和运用这些定理

是解题的关键.

30.（2022•锦州）如图，四边形ABC。内接于。。，A3为。。的直径，ZADC=130°,连接AC,则/B4C

【分析】利用圆内接四边形的性质和NADC的度数求得的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到

ZACB=90°,然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可.

【解答】解：；四边形ABC。内接于O。，130°,

.\ZB=180o-ZADC=180°-130°=50°,

•••AB为。。的直径,

AZACB=90°,

：.ZCAB=90°-ZB=90°-50°=40°，

故答案为：40°.

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角

互补.

31.（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛。，点C在弦A8上，AC=11,BC=2l,OC=13,则这

.（结果保留7T）

【分析】根据垂径定理，勾股定理求出08?,再根据圆面积的计算方法进行计算即可.

【解答】解：如图，连接。B,过点。作于。,

'JODLAB,过圆心，AB是弦,

：.AD=BD=|AB=I(AC+BC)=1x(11+21)=16,

：.CD=BC-BD=2\-16=5,

在中，。。

RtzXCOf)02=02_CD2=132_52=144,

在RtABOD中,<9B2=OD2+BZ)2=144+256=400,

Soo=irXOB2=400TT,

故答案为：400TT.

【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算

公式是正确解答的前提.

32.（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示

13

的测量，测得A8=12CM,BC=5cm,则圆形镜面的半径为一cm.

-2----

【分析】连接AC根据NABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可.

【解答】解：连接AC,

VZABC=90°,且/ABC是圆周角，

...AC是圆形镜面的直径，

由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=V122+52=13（cm）,

13

所以圆形镜面的半径为77。加，

2

13

故答案为：—cm.

【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是

解此题的关键.

33.（2022•阿坝州）如图，点A,B,。在。。上，若NAC8=30°,则NA05的大小为60°.

【分析】根据圆周角定理即可得出答案.

1

【解答】解：VZACB-^ZAOB,/ACB=30°,

ZAOB=2ZACB=2X30°=60°.

故答案为：60°.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

34.（2022•湖州）如图，己知A8是O。的弦，ZAOB=12.0°,OCLAB,垂足为C,0c的延长线交。。

于点。.若NAP。是通所对的圆周角，则/APD的度数是30。.

D

【分析】由垂径定理得出冠=前,由圆心角、弧、弦的关系定理得出NAOD=NB。。，进而得出NA。。

1

=60°,由圆周角定理得出/APD=*/AO£）=30°,得出答案.

【解答】解：,：OC±AB,

：.AD=BD,

，ZAOD=ZBOD,

VZAOB=120°,

1

ZAOD=ZBOD=RAOB=60°,

ii

ZAPD=^ZAOD=1x60°=30°,

故答案为：30°.

【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，

圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键.

35.（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦A8长20厘米，弓形高。

为2厘米，则镜面半径为26厘米.

【分析】根据题意，弦A2长20厘米，弓形高CZ）为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半

径.

【解答】解：如图，点。是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC,则点C,点。，点。三点共线，

由题意可得：0C_LA8,AC=10（厘米）,

设镜面半径为x厘米，

由题意可得：/=1（）2+（X-2）2,

•・^^26,

镜面半径为26厘米，

故答案为：26.

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距

和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解.

36.（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角a（a<180°）与剩余圆心角0的比值为黄金比时，扇子

会显得更加美观，若黄金比取0.6,则B-a的度数是90°.

【分析】根据已知，列出关于a,0的方程组，可解得a,0的度数，即可求出答案.

q=06

【解答】解：根据题意得：夕一.，

a+夕=360°

解得《：225-

Ap-a=225°-135°=90°,

故答案为：90°.

【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组.

37.（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB=20C7",底面直径BC=12C%球

的最高点到瓶底面的距离为32c/n,则球的半径为7.5cm（玻璃瓶厚度忽略不计）.

【分析】设球心为。，过。作OM_LAD于M,连接OA,设球的半径为rem,由垂径定理得AM=DM=^AD

=6（cm）然后在RtZXOAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：如图，设球心为。，过。作OMLA。于连接04,

设球的半径为rem,

由题意得：AD=12cm,OM=32-20-r=(12-r)(cm),

i

由垂径定理得：AM=DM=^AD—6(cm),

在中，由勾股定理得：AM2+OM2^OA2,

即62+(12-r)2=J,

解得：r=7.5,

即球的半径为1.5cm,

故答案为：7.5.

【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出

方程是解题的关键.

38.(2021•盘锦)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，经

过A,B,O,C四点，ZACO=120°,AB=4,则圆心点。的坐标是(-V3,1).

【分析】先利用圆内接四边形的性质得到乙42。=60°,再根据圆周角定理得到为。。的直径，则。

点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=2,OA=2V3,所以A(-28，0),

B(0,2),然后利用线段的中点坐标公式得到。点坐标.

【解答】解：：四边形ABOC为圆的内接四边形，

ZABO+ZACO=180°,

/.ZABO=180°-120°=60°,

VZAOB=90°,

.•.48为。。的直径，

:.D氤为AB的中点，

在RtZXABO中，VZABO=60°,

1

：.OB=^AB=2,

：.OA=V3OB=2V3,

AA（-2V3,0）,B（0,2）,

，£）点坐标为（一四，1）.

故答案为（一V5,1）.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了坐标

与图形性质.

39.（2021•黑龙江）如图，在。。中，是直径,弦AC的长为5c7%,点。在圆上且/AOC=30°,则。。

的半径为5cm.

D

【分析】连接OC,证明△AOC是等边三角形,可得结论.

小【解答】解：如图，连接。C

D

VZAOC=2ZADC,ZADC=30°,

AZAOC=60°,

"：OA=OC,

：.AAOC是等边三角形，

.'.OA=AC=5（cm）,

OO的半径为5cm.

故答案为：5.

【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△AOC是等边三角

形.

40.（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A,C均落在格点上，点8

在网格线上.

（I）线段AC的长等于_4_;

（II）以为直径的半圆的圆心为。，在线段AB上有一点P,满足AP=AC.请用无刻度的直尺，在

如图所示的网格中，画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）取BC与网格线

的交点连接0。延长0。交。。于点E,连接AE交于点G,连接2E,延长AC交2E的延长线

于尸，连接FG延长尸G交于点P,点尸即为所求.

【分析】（I）利用勾股定理求解即可.

（II）取与网格线的交点。，连接。。延长。。交。。于点E,连接AE交2C于点G,连接BE,延

长AC交8E的延长线于凡连接尸G延长FG交AB于点尸，点P即为所求.

【解答】解：（I）AC=V22+I2=V5.

故答案为：V5.

（II）如图，点P即为所求.

故答案为：如图，取BC与网格线的交点。，则点。为BC中点，连接0D并延长。。交。。于点E,连

接AE交BC于点G,连接BE,延长AC交BE的延长线于R则0E为AB刚的中位线，则AB=AR

连接尸G延长FG交AB于点P,贝ijBGupG,ZAFG=ZABG,即△出P电△BAC,则点尸即为所求.

【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

41.（2021•黑龙江）如图，在RtZXAOB中，ZAOB=90°,OA=4,OB=6,以点。为圆心，3为半径的

QO,与。2交于点C,过点C作交于点。，点尸是边。4上的动点，则PC+PD的最小值

【分析】延长CO交。。于点E,连接ED,交AO于点P,则PC+PD的值最小.

【解答】解：延长CO交OO于点E,连接即，交AO于点P,则PC+PO的值最小，最小值为线段OE

AZZ)CB=90°,

VZAOB=90°,

：.ZDCB=ZAOB,

J.CD//AO,

.CDBC

••=,

AOBO

.CD3

••—―J

46

：.CD=2,

在RtZXCDE中，DE=yJCD2+CE2=V22+62=2仍小，

J.PC+PD的最小值为2VIU.

故答案为：2"U.

【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决

最短问题，属于中考常考题型.

42.（2021•宿迁）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,ZA=32°，点8、C在OO上，边A8、AC分别

交。。于。、E两点，点8是前的中点，则13°.

【分析】由NABC=90°,可得CD是O。的直径，由点2是前的中点以及三角形的内角和，可得NBDC

=ZBCD=45°,利用三角形的内角和求出NACB,再根据角的和差关系求出NDCE,由圆周角定理可

得NABE=ZDCE得出答案.

【解答】解：如图，连接DC,

VZDBC=90°,

；.OC是0O的直径，

,点2是前的中点，

：.ZBCD=ZBDC=45°,

在RtZXABC中，ZABC=90",ZA=32°,

：.ZACB=90°-32°=58°,

：.ZACD=ZACB-ZBCD=58°-45°=13°=ZABE,

故答案为：13°.

【点评】本题考查圆周角定理，弦、弧、圆心角之间的关系以及三角形内角和定理，掌握圆周角定理和

推论是正确计算的前提.

43.（2021•成都）如图，在平面直角坐标系尤Oy中，直线y=争+孥与。。相交于A,B两点，且点A在

x轴上，则弦的长为2必.

【分析】设直线A8交y轴于C,过。作于。，先求出A、C坐标，得至UOA、0c长度，可得

ZCAO=30°,RtZVlOD中求出长度，从而根据垂径定理可得答案.

【解答】解：设直线AB交y轴于C,过。作于。，如图：

：.A(-2,0),OA=2,

RtZ\AOC中，tanNCAO==2=-2-,

.\ZCAO=30°,

RtZXAOQ中，AD=OA-cos30°=2x苧=g,

\'OD±AB,

：.AD=BD=V3,

.•.AB=2A/3,

故答案为：2K.

【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用tan/CAO=学得

到NCAO=30°.

44.（2022•苏州）如图，是。。的直径，弦CD交于点E,连接AC,AD.若NB