2023高考数学复习讲义 一 第7讲 导数与不等式的证明

第7讲导数的综合应用

［考情分析］L导数逐渐成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值

(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点

和难点2多以解答题压轴形式出现，难度较大.

母题突破1导数与不等式的证明

【母题】(2017•全国In)已知函数y(x)=lnx÷αr2÷(2tz÷I)x.

(1)讨论人幻的单调性；

3

⑵当。<0时，证明y(x)W一五一2.

⑵思路分析

O∕W≤-⅛3^2

3

颂》)maχW一心一2

3

❸∕‰+京+2W0

❹构造函数证明

(1)解yu)的定义域为(0,+∞),

(x+l)(24x+1)

(x)=~÷20x÷24j÷1='

X

若420,则当X∈(0,+8)时，/(χ)>0,

故凡r)在(0,+8)上单调递增.

若“<0,则当x∈(θ,-K)时，/(x)>0;

当一古，+8)时，/ω<o.

故兀r)在(0,一力上单调递增，在(一/，+8)上单调递减.

(2)证明由(1)知，当“<0时，y(x)在x=—七处取得最大值，最大值为了(一方)=ln(一灯一1

1

~~4af

所以於)W-今-2等价于l∏(-⅛)-l-⅛≤-⅛-2.

即In(O+5+V0∙

设g(x)=lnχ-x+l,则g'(%)---1.

当x∈(0,1)时，g'(x)>0;

当x∈(l,+8)时，g'(Λ)<0.

所以g(x)在((U)上单调递增，在(1,十8)上单调递减.

故当X=I时，g(x)取得最大值，最大值为g(l)=O.

所以当x>0时，g(x)≤O.

从而当“<0时，∣n(一古)+《+1WO,

3

即γU)W一元一2.

Y—1

［子题1］设函数7U)=lnχ-冗+1.证明：当X£(1,+8)时，ι<∖q<χ.

1ɪ—X

证明f'(X)=嚏一1=-7Vx>°,

当x>l时，f'(x)<0,共外单调递减，

当(XX<1时，f'(x)>0,./(X)单调递增，

・\/U)=lnx—x+IWy(I)=O,ΛInx≤χ-1,

・，・当心>1时，Inx<χ-1,①

且In∣<∣-1,②

由①得，1至9，由②得，一∣nr⅛,

.X—1X—1

..lnx>------,..x>-;-----,

XInx

Y-1

综上所述，当Ql时，1<玄74.

A

［子题2］已知函数7(x)=e—/.求证：当χ>0时，匕+(2尤。)氏_-^ιnχ-∣-ɪ

证明设g(x)=fix)-(e-2)χ-1=ev-X2—(e—2)χ-l(x>O),

则g'(x)=eA—2x—(e—2),

设m(x)=ex-2χ-(e-2)(x>0),

则m(x)=ev-2,

易得g'(x)在(O,In2)上单调递减，在(In2,+8)上单调递增，

又g'(0)=3—e>O,g,(1)=0,

由0<ln2<l,则g'(In2)<0,

所以存在XoG(O,In2),使得g'(xo)=O,

所以当Xe(O,M))U(1,+8)时，g'(x)>0；

当Xe(X0,1)时，g'(x)<0.

故g(x)在(O,XO)上单调递增，在(Xo,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

又g(O)=g(l)=O,所以g(x)=e'-(e—2)x—1N0,

故当QO时，---LʒTJ------≥x

又由母题可得InXWX—1,即x2InX+1,

,,ev÷(2-e)ɪ-1、

故——------——2lnJt+1.

X

规律方法利用导数证明不等式yω>g(χ)的基本方法

(1)若T(X)与g(X)的最值易求出，可直接转化为证明>(x)min>g(x)maχ.

(2)若HX)与g(x)的最值不易求出，可构造函数∕z(x)=∕(x)-g(x),然后根据函数〃(X)的单调性或

最值，证明/ι(x)>0.

(3)通过题目中已有的或常用的不等式进行证明.

(4)利用赋值法证明与正整数有关的不等式.

【跟踪演练】

1.(2018•全国I)已知函数火X)=W-Inx-l.

(I)设χ=2是7U)的极值点，求α,并求7U)的单调区间：

(2)证明：当aN：时，式x)20.

⑴解y(x)的定义域为(0,+∞),/(x)=αev-∣.

由题设知，f(2)—0,所以α=2e>

从而V-InL1,f(X)=蚩e*-3

当(Xx<2时，f'(X)C0；当x>2时，/(x)>0.

所以兀V)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2).

1v

(2)证明当时，e-Inx-1.

方法一设g(x)=1-lnx—l(x∈(0,+o0)),

x

e1

则g'u)=7-?

当(RR<1时，g,(x)<0;当心>1时，g,(x)>0.

所以X=I是g(x)的最小值点.

故当QO时，g(x)2g(l)=0∙

因此，当α美时,Λx)≥O.

方法二易证e*2x+l,①

Inx≤χ-1,②

InX—1=eλ-1-Inχ-1NX-Inχ-120,

即证7(x)20.

2

2.(2020•株州模拟)B知J(x)=Inx+-.

(1)若函数g(x)=欢x),讨论g(x)的单调性与极值；

(2)证明：yu)>∕∙

2

(1)解由题意，得g(×)=x√ζr)=xlnX+-(Λ>0),

则g'(%)=InX+L

当Xe(O,§时，g'(χ)<o,所以g(x)单调递减；当Xe©，+8)时，g'(χ)>o,所以g(x)单

调递增，

所以g(χ)的单调递减区间为(0,3,单调递增区间为Q，+8),

g(x)的极小值为gQ)=：，无极大值.

21

⑵证明要证Inx+最>晟(X>0)成立，

、2X、

只需证x∖nΛ∙+^>^7(X>0)⅛立，

Y1--Y

令〃(x)=G，则〃'(X)=下工，

当x∈(O,l)时，h'(x)>0,∕z(x)单调递增，当Xe(1,+8)时，h'(x)<0,/Z(X)单调递减，

所以〃(x)的极大值为h(1),即∕z(x)≤Λ(l)=p

由(1)知，x∈(0,+8)时，g(χ)2g(3=],

且g(x)的最小值点与〃(x)的最大值点不同，所以XlnX+:>,，即InX+e[，所以加)旺

CCC人CC

专题强化练

1.(2020-沈阳模拟)已知函数J(x)=X2—(a~2)x~a∖nx,a>0.

⑴求函数y=4丫)的单调区间；

(2)当〃=1时，证明：对任意的x>0,於)+。'*2+^+2.

2co

(1)⅛?,ʌɪ)=x-(a—2)x—a∖nx9a>0,定义域为(O,+),f(x)=2χ-(a—2)—=

(2χ-α)(x+l)

X，

令/(X)>0,得W；令f(x)<0,得04与

.∙.函数y=∕(x)的单调递减区间为(0,乡，单调递增区间为(宏+∞).

(2)证明方法一Vtz=I,.∖J(x)=x1+χ-}nΛ(Λ>0),

即证eʌ-InX—2>0恒成立，

令g(x)=qr—InX—2,x∈(0,+∞),

即证g(x)min>0恒成立，

g'(x)=e*-gg'(X)为增函数，g'(ɪjvθ,g'(1)>0,

Λ3J⅛∈Q,1),使g'(Xo)=O成立，即e*—《=(),

则当O<x<xo时，g,(x)<0,当Qxo时，g,(x)>0,

∙'∙y=g(χ)在(0，XO)上单调递减，在(M),+8)上单调递增，

∙∙∙g(x)min=gɑθ)=e厢—Inx0-2,

又∖*eʌŋ—ɪɪɪθ,即eA|)ɪɪ,

M)Xo

Jg(Xo)=ev0—InXO—2=ev°+lnɪ-2="^^+xo-2,

XOXo

又・.・泓£(；,ɔ,Λ%o+~>2,

.∙.g(xo)>O,即对任意的x>0,y(x)÷ex>x2+x÷2.

方法二令a(x)=eA-X-1,

:∙φ'(x)=ex-1,

.∙∙3(x)在(一8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增,

.,.φ(x)n∖∖n=O(O)=O,

∙∖ex^x+1,①

令h(x)=Inχ-χ+1(x>0),

：.hf(ʃ)ɪɪ-l=∖-χ

.∙∙∕z(x)在((M)上单调递增,在(1,+8)上单调递减，

力(X)max=h(l)=O,

ΛInx≤χ-1,.∙.x+12InX+2,②

要证X%)+er>x2+x÷2,

即证er>lnx÷2,

由①②知e'2x+121nX+2,且两等号不能同时成立,

ev>lnx+2,即证原不等式成立.

2.(2020・全国∏)已知函数段)=SiMxsin2x.

⑴讨论於)在区间(0,兀)的单调性；

(2)证明：∣∕ω∣w平；

3〃

⑶设∏∈N%