2023-2024学年高中数学人教A版必修一 2.1 等式性质和不等式性质 同步练习

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！第页2023-2024学年高中数学人教A版必修一2.1等式性质和不等式性质同步练习班级：姓名：亲爱的同学，在做题时，一定要认真审题，完成题目后，记得审查，养成好习惯！祝你轻松完成本次练习。一、选择题1．如果a<b<0，那么下列式子中一定成立的是（）A．a2>ab B．a2<b22．已知a，b为非零实数，则“a>b”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知a>b>0，则（）A．ab<b2 B．a+b>2a C．a34．若a>b>0>c，则（）A．(a−b)c>0 B．ca>cb C．5．设a，b∈R，则“a3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．若1aA．a<b B．a2b>ab2 C．7．若a>b>0，则下列不等式中成立的是（）A．1a>1b B．1a<8．设M=2a(a−2)，A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N二、多项选择题9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若b>a>0，则1a>1b C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若ac210．已知实数x，y满足−1≤x+y≤3，A．1≤x≤4 B．−2≤y≤1C．2≤4x+y≤15 D．−11≤4x+y≤211．设b>a>0，则下列不等关系正确的是（）A．−1b>−1a B．0<a12．已知a、b、c、d均为实数，有下列命题，正确的是（）．A．若ab>0，bc−ad>0，则ca>db B．若ab>0C．若bc−ad>0，ca>db，则ab>0 D．若b>a>013．若a=2xA．b>a B．a>c C．ac>bc D．b>c14．已知a，b，A．ac2≥bc2 B．a315．下列说法正确的是（）A．若a，b∈RB．若a>b>0，m>n>0，则bC．若a>|b|，则aD．若a>b，c>d，则a−2c>b−2d16．已知实数a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是（）A．ab>cd B．a+c>b+d C．ad2>b三、填空题17．已知x<y<0，则x2+1与y218．比较大小：6+719．设x∈R，M=3x2−x+1，N=20．（1）已知bg糖水中含有ag糖（b>a>0），若再添加mg(m>0)糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则aba+m（2）M=2019201920232023，N=2019201621．已知a＞0，b＞0，则p＝b2a﹣a与q＝b﹣a222．如果a>b，给出下列不等式：①1a<1b；②a3>b3；③a2>b2；④2ac2>2bc2；⑤ab>1；⑥a2＋其中一定成立的不等式的序号是．四、解答题23．已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.24．证明不等式．（1）bc−ad≥0，bd＞0，求证：a+bb（2）已知a＞b＞c＞0，求证：ba−b25．求解下列问题：（1）已知a∈R，比较(a+3)(a+7)和(a+4)(a+6)的大小；（2）已知x<y<0，比较1x与1已知x,y∈R，且x>y，试判断x3−y27．已知a，b∈R.（1）求证：a2（2）若a>0，b>0，a+b=3，求证：1a28．若a>b>0，c<d<0，e<0，试比较e(a−c)2与

答案解析部分1．答案：A解析：解：由a<b<0，得a2>ab>0，A正确；

由a<b<0，得-a>-b>0，则，B错误；

由a<b<0，得ab>1，C错误；

由a<b<0，得aab<bab，即2．答案：D解析：当a>0>b时，1a>0>1b，所以a>b得不出1a<1b；

若1a<1b，则1a−1b=b−aab3．答案：D解析：对于A选项，由不等式的基本性质可得ab>b对于B选项，由不等式的基本性质可得2a>a+b，B不符合题意；对于C选项，a3对于D选项，1a−1故答案为：D.

根据不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.4．答案：B解析：A：不妨取a=2，b=1，c=−1，则(a−b)c=−1<0，A不符合题意；B：由a>b>0得1a<1b，又C：当a=2，b=1，c=−1时，D：当b+c=0时，1b+c故答案为：B.

根据不等式的基本性质和特殊值验证法，逐项判定，即可求解.5．答案：D解析：当a=−1，b=−2时，a3当a=−1，b=0时，a2所以“a3>b故答案为：D

由a=−1，b=−2，得出充分性不成立，再由6．答案：B解析：因为1a<1因为b<a<0，所以ab>0，则有a2因为b<a<0，所以−a<−b，又因为a<0，所以|a|=−a，则−a=|a|<−b，C不符合题意；因为b<a<0，所以a+b<a+a，两边同时除以2可得：a+b2故答案为：B.

根据1a<17．答案：B解析：解：1a−1b=b−aab<0，则1a<1直接利用作差法比较每一个选项的式子的大小即得解.8．答案：A解析：因为M−N=2a(a−2)−(a+1)(a−3)=2=a所以M>N。故答案为：A.

利用已知条件结合作差比较大小的方法，进而结合不等式的基本性质，进而比较出M，N的大小。9．答案：A,C,D解析：解：对于A，当b>a>0，所以ab>0，不等式b>a两边同时除以ab，得1a>1b，A正确；

对于B，当c=0时，ac=bc，B错误；

对于C，由不等式性质，易知当a>b，c>d，则a+c>b+d，C正确；

对于D，因为ac2>bc2，所以c2>0，两边同除以c2得a>b，D正确.10．答案：A,C解析：因为–1≤x+y≤3，4≤2x−y≤9，3≤3x≤12，所以1≤x≤4因为−6≤−2x−2y≤24≤2x−y≤9，所以−2≤−3y≤11，解得−因为4x+y=2(x+y)+(2x−y)，又−2≤2(x+y)≤6，所以2≤4x+y≤15，C符合题意，D不符合题意：故答案为：AC．

根据不等式的基本性质，可判定A正确，B不正确，由4x+y=2(x+y)+(2x−y)，结合不等式的基本性质，可判定C正确，D不正确.11．答案：A,B,D解析：因为b>a>0，故1b<1由b>a>0，不等式两边同时除以b，可得0<a因为b>a>0，故1a>1由b>a>0可得b2>ab>0，故故答案为：ABD

根据不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.12．答案：A,B,C解析：对于A，因为ab>0，bc−ad>0，所以ca−d对于B，因为ab>0，又ca>db，即对于C，因为bc−ad>0，又ca>db，即对于D，因为b>a>0，c>0，a−b<0，所以b+ca+c−b故答案为：ABC.

根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.13．答案：B,D解析：因为a=2x2−8x+11，b=又b=(x−3A，C不符合题意，B，D符合题意，故答案为：BD

结合作差比较法，求得a−b>0，再由b≥0，c<0，得到14．答案：A,B解析：当c2=0时，由a>b可得ac2=bc2因为a>b，所以a3−b当a=1，b=−2时，a2当a=−13，b=−1故答案为：AB.

利用不等式的性质可判断A；利用作差法可判断B；利用赋值法可判断C、D.15．答案：B,C解析：对于A，a，b异号时，不等式不成立，A不符合题意；对于B，由b+ma+n又a>b>0，m>n>0，所以ma−nb>0，即ba对于C，由a>|b|≥0，所以a2对于D，a=2，b=1，c=1，d=0，则a−2c=0，b−2d=1，不满足a−2c>b−2d，D不符合题意．故答案为：BC．

当a，b异号时即可判断A；利用作差法得b+ma+n−ba=16．答案：B,C,D解析：A、当a=2，b=1，c=−2，d=−3时，满足a>b>0>c>d，ab=2，cd=6，不满足ab>cd，A错误；

B、由题知a>b，c>d，∴a+c>b+d，B正确；

C、由题知a>b，d>c，∴d2>c2，∴有ad2>bc2，C正确；

D、由题知a>b>0，d>17．答案：x解析：由题设，|x|>|y故答案为：x2

利用已知条件结合绝对值的性质和平方数的性质，再结合不等式的基本性质，进而比较出x2+1与18．答案：＞解析：解：(6故(6故6+故答案为：＞

平方作差可得(619．答案：M＞N解析：∵M−N=3=2x∴M>N故答案为：M＞N.

利用作差法和不等式的性质即可得到答案。20．答案：（1）<（2）>解析：（1）∵ab又∵0<a<b，m>0，∴ab−a+m（2）因为M=20192016+320232020+3，故M>N。故答案为：<；>。

利用已知条件结合作差比较大小的方法和不等式的基本性质，进而比较出ab21．答案：p≥q解析：因为a>0，b>0，p=b2a所以p−q=b2−所以p⩾q．故答案为：p≥q．

由已知结合作差法进行变形后即可比较大小。22．答案：②⑥解析：令a=1,b=−1，1a>1b，排除①，a2=b2，排除③选项，ab=−1<1，排除⑤.当c=0时，排除④.由于幂函数y=x3为R上的递增函数，故对a,b分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.23．答案：解：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.所以x+y=4，解得x=1，因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，所以−3≤3(a−b)≤6所以-2≤4a-2b≤10.解析：令4a−2b=x(a+b)+y(a−b)，得出方程组，求得x=1，y=3，进而求得−3≥3(a−b)≤6，结合不等式的基本性质，即可求解.24．答案：（1）证明：a+bb因为，bc−ad≥0，所以，ad−bc≤0，又bd＞0，所以，ad−bcbd即a+bb（2）证明：因为a＞b＞c＞0，所以有，−b<−c，0<a−b<a−c，b−c>0，则，ba−b即有，ba−b因为，a−c>0，所以，1a−c又b>c，所以，ba−c所以，有ba−b解析：（1）利用作差法，结合已知条件即可证得a+bb≤c+dd；

（2）由a＞b＞c＞0，得−b<−c，0<a−b<a−c，25．答案：（1）解：(a+3)(a+7)－(a+4)(a+6)=a所以(a+3（2）解：∵x<y<0，∴y−x>0，xy>0，∴1x所以1x解析：利用作差法比较大小即可.26．答案：解：x=(x+y)(因为x>y，(x+y)所以(x+y)2(x−y)≥0，即x3−y解析：利用作差法比较证明即可。27．答案：（1）证明：a2当且仅当a=b=1时等号成立，所以a2+b（2）证明：由条件有a+(b+1)=4，且a>0，b+1>0，又1≥1当且仅当b+1a=4a此时由a+b=3得a=43，即证．解析：（1）利用已知条件结合作差法，从而结合完全平方差公式，从而推出a2+b2−2(a+b−1)=(a−1)2+