2024届川大附中高三数学（理）下学期开学检测考试卷附答案解析

2024届川大附中高三数学（理）下学期开学检测考试卷（时间：120分钟满分：150分）2024.02第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．在复平面内，若复数对应的点为，则（

）A． B． C． D．52．己知集合，若，则（

）A．0或5 B．0或3 C．1或 D．1或33．满足约束条件的平面区域的面积为（

）A． B． C．1 D．24．从甲､乙两种玉米苗中各抽6株，分别测得它们的株高如图所示(单位：).根据数据估计（

）A．甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐B．乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐C．甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐D．乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐5．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（

）A． B． C． D．27．已知，为双曲线的左，右焦点，过点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，则的面积为（

）A．2 B． C．4 D．8．我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（

）A． B． C． D．9．已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．10．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为A． B． C． D．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为（）A． B． C． D．12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（

）A．四棱锥为“阳马”B．四面体为“鳖臑”C．四棱锥体积的最大值为D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷相应的横线上．13．设，由，，，…，为质数，归纳猜想为质数．该猜想．（选填“正确”或“错误”）14．如图所示，向量与的夹角为，向量与的夹角为，，，若，（，），则．

15．若函数，，则函数的零点个数为．16．设椭圆的左焦点为，点P在椭圆上且在第一象限，直线与圆相交于两点，若是线段的两个三等分点，则直线的斜率为.三、解答题：本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC的面积S．18．某县依托种植特色农产品，推进产业园区建设，致富一方百姓．已知该县近年人均可支配收入如下表所示，记年为，年为，…以此类推．年份年份代号人均可支配收入（万元）(1)使用两种模型：①；②的相关指数分别约为，，请选择一个拟合效果更好的模型，并说明理由；(2)根据（1）中选择的模型，试建立关于的回归方程．（保留位小数）附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．参考数据：，令，．19．如图，在四棱锥中，平面平面，点在棱上，设.(1)证明：.(2)设二面角的平面角为，且，求的值.20．过点的直线与拋物线交于点，（在第一象限），且当直线的倾斜角为时，.(1)求抛物线的方程；(2)若，延长交抛物线于点，延长交轴于点，求的值.21．已知，.(1)求的极值；(2)若，求实数k的取值范围.选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）22．如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以和为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．（1）写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程；（2）求△OAB面积最大值．23．已知，，均为正实数，且.(1)若，求证：；(2)若，求的取值范围.1．D【分析】根据复数的几何意义和复数的乘法运算即可求解.【详解】因为复数对应的点为，则，所以，故选：D.2．B【分析】根据对进行分类讨论，由此求得的值.【详解】由于，所以或，当时，，满足，当时，解得或，当时，，满足，当时，不满足集合元素的互异性.综上所述，的值为或.故选：B3．C【分析】作出可行域求面积即可.【详解】作出该约束条件的可行域，如图所示：由得，由得，由得，以为底，到的距离为高计算面积，，，所以面积.故选：.4．D【分析】根据茎叶图中的数据分布情况直接估计，即可得出正确的统计结论.【详解】根据茎叶图中的数据分布情况，得乙种玉米的株高数据大部分分布在下方，所以平均数大；但甲种玉米数据的分布集中在中间位置，说明方差小，∴乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐，故选:D．5．A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出，充分性成立，举出反例，得到必要性不成立，选出正确答案.【详解】当时，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故充分性成立，当时，满足，但不满足，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A6．B【分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得，解得，化简.【详解】设等比数列的公比为，由题意得，即，，，，故选：B.7．D【分析】利用双曲线可得到渐近线方程，然后利用点到直线的距离算出，继而求得，根据三角形面积公式可得结果.【详解】如图

由题意可得双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，所以，，所以.故选:：D.8．C【分析】根据给定条件求出父亲所有可能血型的概率，再分情况求解小明是A型血的概率作答.【详解】因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为，当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，它们的概率均为，此时小明是A型血的概率为，当小明父亲的血型是AB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型是AA的概率为，此时小明是A型血的概率为，当小明父亲的血型是BB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型不可能是AA，所以小明是A型血的概率为，即C正确.故选：C9．C【分析】根据求得，再利用余弦函数的单调区间建立即可求解.【详解】，，又因为函数是区间上的增函数，解得因为为正实数，所以，从而，又，所以正实数的取值范围是为.故选：C10．D【详解】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积．详解：因为，所以，过的中点作平面的垂下，则球心在上，设，球的半径为，则棱锥的高的最大值为，因为，所以，由勾股定理得，解得，所以球的表面积为，故选D．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．11．C【分析】由分式函数值域的求法得：,又,所以,由高斯函数定义的理解得：函数的值域为,得解．【详解】因为，所以,又，所以,由高斯函数的定义可得：函数的值域为,故选：C.12．C【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱平面，A选项，∴，又，且，则平面，∴四棱锥为“阳马”，故A正确；B选项，由，即，又且，∴平面，∴，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴四面体为“鳖膈”，故B正确；C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，，最大值为，故C错误；D选项，因为，，，所以平面，故D正确；故选：C13．错误【分析】举出反例即可.【详解】，，所以121不是质数，所以该猜想错误.故答案为：错误14．##【分析】建立直角坐标系，结合三角函数定义，利用向量坐标运算求解即可.【详解】以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，垂直于OB且向上的方向为y轴建立平面直角坐标系，则．设，，于是，，且，．由，得，∴解得∴．故答案为：.

15．5【分析】令，则有,即有，再分，和三种情况，利用图象求解的零点个数即可.【详解】解：令，则有，所以，当时，则有，即,在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：由图可得此时两函数的图象有两个交点，即当时，有2个零点；当时，则有，即，在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：由图可得此时两函数的图象有两个交点，即当时，有2个零点；当时，，此时，有1个零点为，综上所述，共有5个零点.故答案为：516．##【分析】取的中点为H，推出H也为的中点，设，结合椭圆定义可表示出，结合，解直角三角形求得的值，即可得答案.【详解】如图，取的中点为H，椭圆另一个焦点设为E，连接，则，由椭圆方程可知；由于是线段的两个三等分点，则H也为的中点，O为的中点，则为的中位线，即，设，则，在中，，即，解得，由题意可知点P在椭圆上且在第一象限，故，则，故，故在中，，即直线的斜率为，故答案为：17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角(的正弦)，进而利用同角三角函数的关系得到，再根据，结合两角和的正切公式得到关于的方程，求得的值，同时注意根据已知条件判定角为锐角，得到角的值；（2）利用同角三角函数的关系，求得三个内角的正弦值，进而利用正弦定理求得三角形另外两边的长，利用三角形面积公式计算即得S．【详解】（1）∵，∴,∴，即,又∵∴,解得或，又∵，∴角为钝角，∴角为锐角，∴，∴；（2）由（1）知，，，及已知条件,∴,，，又∵，∴，，∴.18．(1)应选择(2)【分析】（1）根据越大，模型拟合效果越好，可确定所选模型；（2）令，利用最小二乘法可求得，进而得到回归方程.【详解】（1），根据统计学知识可知：越大，模型拟合效果越好，应选择模型.（2）令，，，，又，，，关于的回归方程为.19．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质、勾股定理的逆定理，结合面面垂直的性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：取的中点，连接.因为，所以.又，所以四边形是平行四边形，从而.因为，所以，从而.因为，所以，则.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，从而.又，平面，所以平面，因为平面，所以；（2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.，，可得.设平面的法向量为，由，不妨令，则.因为平面，所以可取平面的一个法向量为，因为，所以，解得或（舍去）.20．(1)(2)【分析】（1）根据条件设直线l得方程，与抛物线方程联立，运用弦长公式求解；（2）设直线l的方程与抛物线联立，先求出M，N点坐标，写出直线MB方程，与抛物线方程联立，求出P点的坐标，写出直线PN的方程，求出Q点坐标，运用两点直线距离公式求解.【详解】（1）由题意直线l的斜率，所以l得方程为，联立方程，解得，，由弦长公式得：

，

，解得，抛物线方程为；（2）由（1）知：抛物线方程为，设

，直线l的方程为，显然时存在的，如图：联立方程，得，，①，直线MB的方程为：，即，，②，直线PN的方程为：，令得，，，，由①②得：；综上，抛物线方程为，.21．(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据题意，求导得，然后分与讨论，即可得到结果.（2）根据题意，将问题转化为在恒成立，然后构造函数，求得其最大值，即可得到结果.【详解】（1）已知，当时，恒成立，无极值，当时，，在上单调递增，在单调递减，当时，有极大值，，无极小值，综上：当时，无极值；当时，极大值为，无极小值；（2）若，则在时恒成立，恒成立，令，令，则，在单调递减，又，由零点存在定理知，存在唯一零点，使得，即，令在上单调递增，，即当时，单调递增，单调递减，，，即的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题主要考查了用导数研究函数极值问题，难度较难，解答本题的关键在于分离参数，然后构造函数，将问题转化为最值问题.22．（1）；；（2）【分析】(1)直接由条件求出与的极坐标方程即可;(2