2023-2024学年通化市梅河口五中高二数学下学期开学考试卷附答案解析

-2024学年通化市梅河口五中高二数学下学期开学考试卷（时间：120分钟满分：150分）2024.02一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（

）A．1 B．3 C．7 D．2．若直线与垂直，则（

）A． B．2 C． D．3．已知圆：，过点作圆的切线，则切线长为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．5．已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（

）A．1 B．2 C．3 D．46．双曲线的焦点到其渐近线的距离为（

）A．2 B．4 C．3 D．57．从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为()A． B． C． D．8．已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（

）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（

）A．甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些B．若事件A发生的概率为，则C．如果事件A与事件B互斥，那么一定有D．已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率0.710．已知直线，圆，点，则下列说法正确的是（

）A．点在直线上 B．点在圆上C．直线与圆相离 D．直线与圆相切11．已知数列满足，，，，是数列的前n项和，则下列结论正确的有（

）A． B．数列是等比数列C．数列是等差数列 D．12．已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（

）A．若，的斜率分别为，，则B．C．的最小值为D．的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为14．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为．15．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为．16．曲线，若直线与曲线C有两个不同公共点，则的范围为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．随科技创新方面的发展，我国高新技术专利申请数也日益增加，2015年到2019年我国高新技术专利申请数的数据如表所示（把2015年到2019年分别用编号1到5来表示）.年份编号x12345专利申请数y（万件）1.61.92.22.63.0(1)求高新技术专利申请数y关于年份编号x的回归方程；(2)由此线性回归方程预测2022年我国高新技术专利申请数.附：，.18．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且被抛物线所截得的弦的长为．(1)求抛物线的方程；(2)求以抛物线的准线与轴的交点为圆心，且与直线相切的圆的方程．19．已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．20．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.21．如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段上，，，，平面.(1)证明：平面平面.(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.22．已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．1．B【分析】点到平面的距离即为y轴坐标的绝对值.【详解】在空间直角坐标系中，点到平面的距离.故选：B2．A【分析】根据直线垂直的充要条件得解.【详解】因为直线与垂直，所以，解得，故选：A3．B【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到的距离与半径、切线长满足勾股定理，求出切线长即可．【详解】圆：，即，圆心坐标，半径为3，圆心到的距离为5，所以切线长为．故选：B4．B【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案.【详解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故选：B.5．C【分析】首先可以得出，其次利用等比数列通项公式以及它的前n项和为的基本量的运算即可求解.【详解】注意到，，首先，（否则，矛盾），其次，，两式相比得，解得.故选：C.6．C【分析】求出双曲线的焦点坐标,渐近线方程，利用点线距即可求得答案.【详解】双曲线可得:,可得:可得焦点为,点F到渐近线的距离为:故选:C.7．B【详解】设直线上的点为，已知圆的圆心和半径分别为，则切线长为，故当时，，应选答案B．点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解．本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想．8．D【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，因为直线与C无公共点，所以，即，所以，又，所以C的离心率的取值范围为.故选：D.

9．BD【分析】根据随机抽样的概念判断A，根据概率的性质判断B，根据互斥事件与对立事件的概率公式判断CD.【详解】对于A，甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去，则每位同学被抽到的概率都是，故A错误；对于B，由概率的性质可知，，故B正确；对于C，如果事件A与事件对立，那么一定有，但互斥事件不一定对立，故C错误；对于D，因为事件A发生的概率为，所以它的对立事件发生的概率，故D正确.故选：BD10．ABD【分析】将点M代入直线和圆的方程，根据是否满足方程即可判断在不在直线和圆上，根据距离等于半径，可推断直线与圆相切.【详解】解：将点代入直线l的方程，满足，所以点M在圆C上，A选项正确；将点代入圆C的方程，满足，所以点M在圆C上，B选项正确；圆心到直线的距离直线与圆相切，C选项错误，D选项正确；故选：ABD.11．BCD【分析】直接已知式中由求得，判断A选项，变形后可判断B选项，由B选项结论求出，并得出，判断C选项，由等比数列前项和公式求和判断D选项．【详解】时，，而，故选项错误；，即，又，故B选项正确；，故选项正确；，故D选项正确.故选：BCD．12．AD【分析】先求出双曲线的渐近线方程：，设点，，利用点线距离公式求出，，再利用直线之间的关系求出直线，的斜率，结合选项选出正确答案即可．由均值不等式及为定值可判断C正确，由余弦定理可得的最小值，判断D正确．【详解】如图所示，设，，则．由题设条件知：双曲线的两渐近线：，．设直线，的斜率分别为，，则，，所以，故选项正确；由点线距离公式知：，，，故B错误；，所以C错误；由四边形中，所以，，当且仅当时等号成立，所以D正确，故选：AD．13．##0.6【分析】计算出从中一次性取出2个球，共有的情况数以及2个球颜色不同的情况数，从而求出概率.【详解】从中一次性取出2个球，共有的情况数为种，其中事件“2个球颜色不同”发生的情况有种，故事件“2个球颜色不同”发生的概率为.故答案为：.14．【分析】由，可求出，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线的离心率为，，所以，所以，双曲线渐近线方程为：.故答案为：15．【分析】利用求解即可.【详解】数列的前n项和，可得；时，，不满足，则，故答案为：.16．【分析】结合绝对值的性质分类讨论可得曲线的具体形状，画出图形结合图象性质可得，求出的范围即可得的范围.【详解】当，可得曲线方程为，为圆的一部分；当，可得曲线方程为，为双曲线的一部分；当，可得曲线方程为，为双曲线的一部分；当，曲线方程为，不存在这样的曲线；作出曲线得图象，如图所示；直线与曲线C有两个不同公共点为，所以两点关于直线对称，又点在直线上，所以，又，所以，而由直线与曲线C有两个不同公共点可得，所以.故答案为：17．(1)(2)2022年我国高新技术专利数为4.01万件.【分析】（1）结合表格数据，题干附录公式即可求出回归方程；（2）结合（1）中回归方程，带入2022年对应的年份编号x即可.【详解】（1）由已知可得，，于是，，所以回归方程为.（2）由（1）知，又2022年对应的是编号8，所以2022年我国高新技术专利申请数（万件），即可以预测2022年我国高新技术专利数为4.01万件.18．(1)(2)【分析】（1）首先求出焦点的坐标，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用焦点弦公式求出，即可得解；（2）由（1）可得，直线的方程为，利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆的标准方程.【详解】（1）解：由已知得点，直线的方程为，联立，消去整理得，设，，则，所以，解得，抛物线的方程为．（2）解：由（1）可得，直线的方程为，圆的半径，圆的方程为．19．(1)(2).【分析】（1）利用两圆内外切的充要条件可求出动点到两定点的距离，再运用椭圆的定义判断动点的轨迹，最后对轨迹上的特殊点进行检测，去除不符题意的点即得；（2）利用椭圆的中点弦问题运用“点差法”即可求出弦的斜率即得直线方程.【详解】（1）设动圆M的半径为r，动圆M与圆F1外切，与圆F2内切，，且，于是，

动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，故，，椭圆方程为

又因当M点为椭圆左顶点时，动圆M不存在，故不合题意舍去，故动圆圆心M的轨迹C的方程为；（2）设，由题意，显然，则有，，两式作差可得，即有，又Q为线段AB的中点，则有，代入即得直线l的斜率为，

直线l的方程为，整理可得直线l的方程为.20．(1)(2)【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.【详解】（1）由抛物线过点，且，得所以抛物线方程为；（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，设，联立得，所以，所以，所以因为，所以，则，，即，解得或，又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去；所以实数的值为.21．(1)证明见解析(2)2或3【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，连接，由题意及正弦定理可得，结合，可证明结论；（2）由（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，由平面与平面的夹角的余弦值为【详解】（1）过点作的垂线，垂足为，连接，由题知平面，因为平面，所以，又因为平面，所以，所以四边形为矩形，所以.因为，，，所以，由正弦定理易知，，所以，又因为，且，所以AE⊥平面ADP.因为，所以平面，因为平面PCD，所以平面平面；（2）由（1）知，两两垂直，分别以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，易得：，所以…设平面的法向量，所以

，令，可得平面的一个法向量，设平面的法向量，所以，令，可得平面的一个法向量，…所以，解得，所以.22．(1)(2)证明见解析，定点【分析】（1）根据焦点三角形的面积和点坐标求解出的值，则的值可求，故椭圆的标准方程可知；（2）当直线的斜率不存在时，直接分析即可；当直线的斜率存在时，设出的方程并与椭圆方程联立得到横坐标的韦达定理形式，将斜率关系转化为坐标运算，从而求解出直线方程中参数的关系，由此可求直线所过的定点.【详解】（1）因为点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为，所以且，所以，，所以，所以椭圆的标准方程：；（2）设，当直