第09讲 双曲线及其性质【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

第09讲双曲线及其性质【人教A版2019】·模块一双曲线的定义和标准方程·模块二双曲线的几何性质·模块三课后作业模块一模块一双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系【考点1曲线方程与双曲线】【例1.1】（2023秋·高二单元测试）方程x2-yA．当θ=B．当θ∈π2,πC．当θ=π时，表示圆D．当θ∈0,π2【例1.2】（2023春·全国·高二开学考试）已知曲线C的方程为x22-k-y22k-5=1（k∈R），若曲线CA．-1<k<5 B．k>52 C．k≠-1或5 D【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）对于常数a，b，“ab<0”是“方程ax2+by2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1.2】（2023秋·湖南常德·高二校考期末）已知曲线C的方程为x2k2A．当k=8时，曲线C为椭圆，其焦距为4+B．当k=2时，曲线C为双曲线，其离心率为3C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线D．当k=3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆x-42【考点2利用双曲线的定义解题】【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）设F1，F2为双曲线C：x23-y2=1的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，A．3-2 B．3+2 C．【例2.2】（2023秋·广东广州·高三校考开学考试）已知双曲线Γ:x24-y22=1的左右焦点分别为F1,F2A．5+4 B．25+4 C．2【变式2.1】（2023·高二课时练习）设F1，F2是双曲线x24-y26=1A．6 B．12 C．610 D．【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）设双曲线x29-y216=1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2+y2=9A．-12 B．-1 C．-32 D【考点3双曲线的标准方程的求解】【例3.1】（2023·全国·高二专题练习）与椭圆C:y216+xA．x2-yC．y22-【例3.2】（2023秋·广东揭阳·高三校考开学考试）已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),O为坐标原点，F1A．y24-C．y23-【变式3.1】（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F10,3，F20,-3，P是双曲线上一点且A．x24-C．y24-【变式3.2】（2023·高二课时练习）如图，F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，且F1-A．5x27C．x2-y模块二模块二双曲线的几何性质1．双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：图形标准方程范围x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半轴长实半轴长为a,虚半轴长为b离心率渐近线方程2．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.3．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【考点4利用双曲线的几何性质求标准方程】【例4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2A．x24-C．x216-【例4.2】（2023·四川绵阳·模拟预测）与椭圆x215+y2A．x25-C．x24-【变式4.1】（2023春·四川宜宾·高二校考开学考试）已知双曲线C与双曲线y23-x22=1A．y24-C．y28-【变式4.2】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为3，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，A．x28-C．x24-【考点5双曲线的渐近线方程】【例5.1】（2023春·江西吉安·高二校联考期末）双曲线x2-yA．y=±3x B．y=±13x C．y=±【例5.2】（2023秋·云南大理·高二统考期末）若直线y=2x+1与双曲线C：x2-my2=1的一条渐近线平A．2 B．12 C．4 D．【变式5.1】（2023·山东菏泽·山东省校考三模）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A．23 B．34 C．26 D．39【变式5.2】（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）如图所示，点F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线C的右支上存在一点

A．±3 B．±23 C．±13 D【考点6求双曲线的离心率的值或取值范围】【例6.1】（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1A．12 B．233 C．2【例6.2】（2023秋·湖北武汉·高三校考阶段练习）已知点F是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0,b>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于xA．(1,+∞) BC．(2,1+2) D【变式6.1】（2023春·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，PFA．3 B．3 C．2 D．2【变式6.2】（2023秋·河南许昌·高二统考期末）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，从F2

A．173 B．375 C．102【考点7双曲线中的最值问题】【例7.1】（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知点F1，F2是双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点F2向A．2 B．7 C．3 D．4【例7.2】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）双曲线x2m-y2n=1(m>0,n>0)的离心率是2A．32 B．2 C．3 D．【变式7.1】（2023·全国·高三专题练习）已知F1，F2为双曲线C:x2a2-y216=1(a>0)的左､右焦点，点A在双曲线的右支上，点P(7A．237-6 B．10-35 C．8-【变式7.2】（2023·全国·高二专题练习）已知F1,F2分别为双曲线x29-y2A．19 B．23 C．25 D．85模块三模块三课后作业1．（2023·全国·高二专题练习）当ab<0时，方程ax2-aA．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线2．（2023秋·高二课时练习）若点M在双曲线x216-y24=1A．2 B．4 C．8 D．123．（2023秋·高二课时练习）已知点M-2,0,N2,0，动点P满足PM-PNA．x22-C．x24-4．（2023·江苏·高二假期作业）已知双曲线x29-A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线D．两个双曲线的离心率相等5．（2023·全国·高二专题练习）已知A(7,3)，双曲线C：x24-y25=1的左焦点为F，A．-1 B．2 C．109 D．96．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）已知双曲线C：x24-y2=1的左焦点为F1，右焦点为F2，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点A．34 B．1 C．54 D7．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，FA．2,2 BC．(1,3] D8．（2023·四川·校联考一模）双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为52，直线x-3y+1=0与C的两条渐近线分别交于点AA．±2 B．－1 C．1 D．3

9．（2023·全国·高二专题练习）已知F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两个焦点，C的离心率为5，点P(A．-3a,3a B．-3a,-aC．-75a,10．（2023·四川泸州·统考三模）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线H：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点．过F1作圆O：x2+y2=b2的一条切线FA．x22-C．x2-y11．（2023秋·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是-5,0,5,0,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于(2)焦点在x轴上，经过点P4,-2和点Q12．（2023·全国·高二专题练习）已知x21-k-(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x轴上的双曲线；(3)表示焦点在y轴上的双曲线．13．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线E:x2m(1)若m=4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E的离心率为