浙教版初中数学教案八年级下册-全册教案

1.1二次根式

目标：1.理解二次根式的含义，掌握二次根式中根号内字母取值氛围的求法。2.能运用二次

根式的概念解决有关问题。3.体会数学知识的不断拓广是为了工作、生活的需要，提高学好

数学的自觉性。

教学重点：二次根式的概念。

教学难点：例1的第（2）（3）题学生不容易理解。

教学过程：

（1）4的平方根是；（2）O的平方根是；

（3）-16的平方根是；（4）9的算术平方根是：

（5）面积为5的正方形的边长是.

答案：（1）±2；（2）0；（3）没有；（4）3；（5）√5.

师：（5）面积为5的正方形的边长是多少呢？

生1：2.5。

生2：2.5的平方等于6.25,生1把2.5z算成2.5X2.5了。

师：生2分析得非常不错，那么哪个正数的平方等于5呢？

生（部分）：找不到。

师：这就是我们今天要学的§1.1二次根式，象“5”一样找不到一个数的平方为5时，我

们就用符号“「来表示。“5”的算术平方根用表示。

设计目的：让学生通过填空，回忆起平方根和算术平方根的概念，（5）的主要设计意图

是为符号“一”的引入埋下伏笔（当一个数的算术平方根无法用学过的数表示时，必须引

进新的知识）。

平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。

算术平方根的概念：正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。用八（。20）表示。

合作学习：

根据下图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空：

直角三角形的边长是：；

正方形的边长是：；

等腰直角三角形的的腰长是:.

即课本P4的填空：√a2+4,√F≡3,√2io

师：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？

各代数式的共同特点：

1.表示的是算术平方根；

2.根号内含有字母的代数式。

象JY+4,√⅛≡3,岳这样表示的算术平方根，且根号中含有字母的代产叫做二次

根式。为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。如J5,j∣.

例1求下列二次根式中字母α的取值范围：'

解：(1)由a+120得，a》一；.字母a的取值范围是大于或等于T的实数.

(2)由一!一>0,得1-2a>0。即a<L字母a的取值范围是小于L的实数.

l-2022

(3)因为无论a取何值，都有(a-3)'(O,.∙.a的取值范围是全体实数.

师：求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么？

生：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。

例2当X=T时，求二次根式扪-2x的值。

解答：将X=T代入二次根式，得：√l-2x=√l-2×(^)=√9=3.

谈谈收获：

1.二次根式的概念：表示算术平方根的代数式。

2.如何求二次根式中字母的取值范围。

注意：(1)二次根式的双重非负性：4a≥0,a≥0o(2)分母不能为0。

3.求二次根式的值。

作业布置：

1.2二次根式的性质(1)

【教学目标】

1.经历二次根式的性质：(JZ)=〃(a20),=U卜［α(α≥O)的发现过程,体验

-a(aY0)

归纳,猜想的思想方法

2.了解二次根式的上述两个性质.

3.会运用上述两个性质进行有关的计算.

【教学重点、难点】

重点：本节的重点是二次根式性质：(√^)2=q(a2O),

q=∣α『'(心。)

-a(aY0)

难点：^far=∖a卜<α(α≥0)

-a(aY0)

【教学过程】

一、引入新课

提问：2的平方根是什么？什么数的平方是2?(±√2)得到：(√2)2=2(-√¾2=2

2

提问：(V7y=?(ʌʃɪy=9(-√2i)=?

选三个中下游的学生回答，教师鼓励学生大胆发言。

二、新课讲授

1.由上面的提问得到什么样的结论？(JZ)=a

2、那么对于上面的性质，a能小于0吗？(不能，a必须大于等于0)

(√«)^=a(a>0)

7

3、提问：757=?|2]==?—5=?VU=?0=?

请几个中游的学生回答。(2,2；5,5；0,0)

4、议一议：与Id有什么关系？当a20时，^J~O^=?当a<0时，7β7=?

经学生讨论后，指定一名学生(程度中下)回答，再指定一名学生(程度较好)点评。

教师总结:4ar=Id=≥°)

[-ɑ(ɑY0)

5、提问：J(-7)2=7√≡^=?J(%一3)2=?

三、讲解例题

例1、计算

(I)√(-10)7-(A∕15)2(2)[√2-√(-2)2]∙√2+2√f2

按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，问题设计：

D应用哪一个性质？具体怎么算？

2)计算顺序应该怎样？

第一题选择中下游学生回答，第二题选择中上游学生回答。

教师总结：计算时应看清符合哪一个性质？a是大于O还是小于0?

例2计算+---

对于此题，学生可能会先算括号里的，讲解时可以把两种方法作比较，以体现二次根式的性

质。+2的优点。在这里应强调判断中a的符号。

练习：

由学生独立完成解题过程，指定一名中等水平的学生板演。老师点评板演结果。

完成课本“课内练习”

四、小结

师生共同完成：通过今天的学习，你有什么收获或困惑？

五、布置作业

课本作业本

1.2二次根式的性质（2）

【教学目标】

1.探索二次根式的性质的由来，体验归纳、类推的思想方法.

2.会用二次根式的性质进行简单的计算和化简.

【教学重点、难点】

重点：二次根式的积和商的性质.

难点：例3中（4）及探究活动涉及的较复杂的化简过程与技巧.

【教学过程】

一、引入新课

动手做一做：填空（可用计算器计算）：

,4x9=_,∖∕4X79=_;V4×5=_,〃X石=_;

比较每一组左右两边的等式，结果相等吗？多试几组类似的计算，想一想能否到一般形式?

如果能，请用字母表示你发现的规律。

二、新课讲解

一般地，二次根式的积与商的性质：

[a_y/a

积的性质:∖[ab=∙Ja∙4b(a20,b》0);商的性质:(a≥0,b>0)

性质深化：

练习：判断下列等式是否成立？若不成立，请说明理由并改正:

(1)√M)×(-9)=√≡4×√≡9；

(2)=√4=2（a为任意实数）

解：（1）不成立。因为被开方数不能为负，√≡4."无意义。

改正：J(T)x(—9)=廊=6.

（2）不成立。因为a作为分母不能为零，所以a不能为任意实数，即a的取值范围是不等于

零的任何实数。

3、讲解例题：

化简：⑴√121×225；(2)√42×7；(3)岛(4)

解：(1)√121×225=√121×√225=11×15≈165;(2)√42×7=√41×√7=4√7；

/2_f277

(4)—VM；

9丁丁；«7X而7

注：①一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数,

且自然数的因数中，不含有除1以外的自然数的平方数。

②被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简

先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0∙01）

⑶JO.OO1>O.5

解：⑴J(—18)x(—24)=√2×9×3×8=√24×33=√FX后=12G^20.78；

⑶=JlCr3χiOT>5=JlCT4x5=J（I（T2）2×√5=10^2×√5=0.01√5≈0.02

总结：化简的结果要求：①根号内不再含有可以开方的因式；②根号内不再含有分母

练习：先化简，再求出下面算式的近似值：（1）5^∣（结果保留4个有效数字）；

(精确到0.01).

三、小结:

师生共同完成：通过今天的学习，你有那些收获或困惑？

四、布置作业

见作业本

L3二次根式的运算(1)

【教学目标】

1.了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.

2.会进行简单的二次根式的乘除运算.

【教学重点、难点】

重点：本节教学的重点是二次根式的运算法则.

难点：例1第(3)题和例2的计算过程中涉及多种运算和运算法则,

是本节教学的难点。

【教学过程】

1、二次根式有哪些性质。

(夜=a,(α≥0)

=Ial

4ab=^a∙4b,(α≥0,⅛≥0)

4a∙y[b-4ab,(α≥O,b≥O)

2、怎样化简二次根式。化简下列二次根式：√12,,旧,√48

3、怎样计算？是否有简便方法？√O9×√10,理

√3

4、引导、启发把二次根式的乘除性质公式左右交换一下。概括二次根式的乘除运算法则。

4cι×4b=4ab{a≥0,⅛≥0);

Γ,U√0^9×√10=√0.9×10=√9=3

存ʤ”

理LJ%=师=0.1

√3V3

例1计算

(1)√2×√6(2)^1127(3),5.2x107(2)中被开方数是带分数要先化成假分，运算结果

Io√1.3×109

我不能写成舞或L5"

解：(3)原式=

5、乘除运算的一般步骤。

(1)运用法则，化归为根号内的实数运算；

(2)完成根号内相乘、相除(约分)等运算；

6、屏幕显示例2,帮助学生审题。

(1)作AOJ∙BC,则

BD=CD=-BC=-×2/2=y∕2

22

(2)由勾股定理算出AD

2222

AD=y∣AC-CD=Λ∕(2√2)-(√2)=√8-2=√6

(3)路标的面积

S=ɪ×BC×AD=-×2√2×√6=√12=2√3(平方单位)

22

说明计算结果能化简的，则应化简。没有精确度要求，结果用化简的二次根式表示。

7、问：这一节课学习了什么

①二次根式的乘除运算法则。

4a×4b=y[ai>{a≥0,b≥0);

[=岳≥0,b>0)

②被开方数是带分数要先化成假分。

③规范书写。如工正不能写成1L√Σ或1.5√I

22

@二次根式的简单应用一一三角形面积算法。

1.3二次根式的运算(2)

【教学目标】

1.会进行简单的二次根式的四则混合运算.

2.通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用，体验迁移、化归等数学思想.

【教学重点、难点】

重点：本节教学的重点是二次根式的四则混合运算.

难点：例3的计算思路的形成比较困难是本节的难点.

【教学过程】

一、课题引入

12

计算2a----a-----a

33

并回答问题：你是应用什么知识解决上面的计算？（学生回答后，教师板书解题过程

2a--a--a=（2----）a=a2后-」四-2血=（2-！-2）板=/

33333333

上题中的a若用血替代，即：你认为运算是否正确？（答案是肯定的）

k教师归纳》我们发现整式中的合并同类项法则在二次根式的运算中也适用.

猜想:那么整式中的其它运算法则或运算律或运算次序是否也适用于二次根式的运算呢？（教

师作肯定回答后）导出课题:二次根式的四则运算.

二、进行新课

1.复习回忆:整式中的有关法则、运算律、运算次序.（通过复习对例3的计算思路的

形成有所帮助,一定程度上降低了例3的教学难度）

2.举例分析：

先化简,再求出近似值（精确到0.01）

启发提问:⑴这是一题二次根式的什么运算？能否适用合并同类项的方法进行合并？（学生会

做出否定回答）（2）上面的二次根式是否还可以化简?请同学们试一下.然后再回答提问⑴

归纳:⑴二次根式加减之前，应先化简二次根式；再把所含二次根式完全相同的合并成一

项.⑵在二次根式加减（或其它运算）时,把根号前的乘数看作它的系数.如中2后的2就看

作遍的系数

牛刀小试:先化简,再求出近似值（精确到0.01）

--^√24--√12).

362

(J∣-3Λ∕3)∙>∕6

√27-3√6×2√2(√48-√27)÷√3

例2.计算:（1）⑵Y8⑶

例3.计算:⑴Q叵-36）（3/+2后）⑵（2-√2）（3+2√2）

提问:⑴这两题的计算与整式中的什么运算相近？

⑵第⑴题又有什么特征？（教师板书解题过程）

课堂小结

1.整式中的各运算法则、运算律各运算次序在二次根式运算中也能适用.

2∙二次根的加减运算时,应先化简二次根式;然后合并二次根式完全相同的.

3∙含有二次根式的代数相乘,可以把它看作多项式相乘,运用多项式乘法法则和乘法公式.

4.适当运用运算律简便计算.

三、布置作业

L3二次根式的运算（3）

【教学目标】1.会应用二次根式解决简单的实际问题,掌握坡比的意义.

2.进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.

【教学重点、难点】

重点：本节教学的重点是二次根式及其运算的实际应用.

难点：课本上的例7涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂,是本节教学的难点.

【教学过程】

一、导言

二次根式的知识在实际生活中有广泛的用途.

如图,我们规定斜坡的铅直高h与水平长度1的比叫做坡比（或坡度），即:N7

T，

h

-

已知斜坡的坡比为3:4,且其高CE=2dm,宽AB=Idm.一只蚂蚁从H

E

A点爬到C点,最短路程多少?

说明：设计本题有以下目的：

⑴介绍预备知识“坡比”；AB

⑵激发学生的兴趣；

⑶会用二次根式表示未知量.在RtΔBCE中,BC的长宜直接表示为:BC=啊铳；

⑷建议用投影机播放此题目和图片，教师引导学生分析，解答过程宜板书而弃PowerPoint.

以下例题同.

二、应用举例

K例口（课本15页例6）如图,扶梯AB的坡比为1:0.8,滑梯CD的坡比为

1:1.6,AE=∣,BC=初一男孩从扶梯走到滑梯的

顶部,然后从滑梯滑下,他经过了多少路程（结

果要求先化简,再取近似值,精确到0.01米）？

分析：

［㈠从已知看！己知什么？］

3

扶梯AR的坡比为I:。［8,且AE=T

______能得什丝______

—!=­

可求得BE和AB

㈢已知滑梯CD的坡比

为1:1.6有何用？

缺CD,BC⅛D.怎样求CD?

I缺什么？I

求AB+BC+CD

I㈡从所求看!求什么？

说明：以上的分析过程显示了求解问题的格式化的程序,学生必须养成这样的思维习惯.

R练习一工（课本18页A组3）

K例2》（课本16页例7）如图㈠是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40cm.将斜边上的高

CD四等分,然后截出3张宽度相等的长方形纸条.

⑴分别求出3张长方形纸条的长度；

⑵若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图（二）,正方形美术作品的面积

最大不能超过多少cm2?

图㈠图㈡

分析:⑴①如图㈠,从已知能得什么？

在RtAABC中，CD±,AC=BC=40,易求得AB和CD长（让学生求），则CE3=E3F3=F3G3=G3DqCD,

纸条的宽度可求.

②怎样求纸条的长度？

纸条的总长度=E∣E2+FF2+GG,如怎样求E∣Ez（让学生想一想）？EE=2CE3.,FF2和GQ呢？同

理,FE=2CF3,G62=2CG3.

⑵如图㈡，由⑴得纸条的总长度为60√2,它被四等分,每条长AC=15√i它们所围成的正方形

的边长AB多少？AB=AC-BC=10√2.

2.1一元二次方程

课时1、经历一元二次方程概念的发生过程.

教学2、理解一元二次方程的概念.

目标3、了解一元二次方程的一般形式，会辨认一元二次方程的二次项系数、

一次项系数和常数项.

教学本节教学重点是一元二次方程的概念，包括它的一般形式.难点代数式的

设想变形和等式变形两个方面，计算容易产生差错，是本节教学的难点.

教学程序与策略

一、合作学习，探究新知

1、列出下列问题中关于未知数X的方程：

(1)把面积为4平方米的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形

的边长。

设正方形的边长为X,可列出方程;

(2)据国家统计局公布的数据，浙江省2001年全省实现生产总值6万亿元，2003年生产

总值达9200亿元，求浙江省这两年实现生产总值的年平均增长率。

设年平均增长率为X,可列出方程;

(3)从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖

着比门框高2尺.另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少

刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？

设竹竿为X尺，可列出方程。

学生自主探索，并互相交流，自己列出方程。

2、观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的共同和不同之处.

学生各抒己见，发表自己的发现：共同点：①它的左右两边都是整式，②只含一个未知

数；不同点：未知数的最高次数是2。

二、得出新知，运用强化

1、教师指出符合上述特征的方程叫做一元二次方程.板书课题及一元二次方程的定义并

指出：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)。

2、判断下列方程是否是一元二次方程：

(1)IOx2=9;(2)2(χ-l)=3x;(3)2x2-3x-l=0;(4)ɪ-ɪ=θ.

XX

3、判断未知数的值x=T,x=0,x=2是不是方程f-2=X的根。

通过此题的求解向学生说明：一元二次方程的解(或根)的概念与一元一次方程的

解(或根)的概念类似，但解的个数不同。

4.一元二次方程概念的延伸

提问：一元二次方程很多吗?你有办法一下写出所有的一元二次方程吗？

引导学生回顾一元二次方程的定义，分析一元二次方程项的情况，启发学生运用字母，

找到一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

D提问a=0时方程还是一无二次方程吗？为什么？(如果a=0、bWO就成了一元一次方

程了)。

2)讲解方程中ax?、bx、C各项的名称及a、b的系数名称.

3)强调：一元二次方程的一般形式中“=”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以

不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的

是“=”的右边必须整理成0。

5、强化概念

例1把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、

常数项：

(1)9Λ2=5-4x;(2)3∕+l=2√3γ;(3)4/=5;(4)(2—x)(3x+4)=3.

在本例中教师要讲清方程变形时，哪些属于代数式变形，运用了什么法则；哪些属于等

式变形，依据什么性质。并板书示范解题过程。

三、课堂小结

(1)本节课主要介绍了一类很重要的方程一一元二次方程(方程两边都是整式，只含

有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程)；

(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2+bx十c=O(a≠O),并且注意一元二次方程

的一般形式中“=”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现，但二次项必须

存在。特别注意的是“=”的右边必须整理成0；

(3)要很熟练地说出随便一个一元二次方程中二次项、一次项、常数项：二次项系数、

一次项系数.

四、布置作业

1、作业本2.1

2、书本作业题

2.2一元二次方程的解法(1)

课时L掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.

教学2.会用因式分解法解一元二次方程.

目标

教学设想教学重点：用因式分解法解一元二次方程.

教学难点：例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成(、历了，才能分

解因式，是本节教学的难点.

教学程序与策略

复习引入

1、将下列各式分解因式：

(l)√-3y(2)4√-9(3)(3x-4)2-(4Λ-3)2(4)√-2√2X+2

教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.

2、你能利用因式分解解下列方程吗？

(l)∕-3γ=0(2)4X2=9

请中等学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.之后教师指出：像上面这种利

用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。(板书课题)

二.新课学习

1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：

教师首先指出：当方程的一边为0,另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解

法求解方程比较方便.然后归纳步骤：(板书)

①若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；

②将方程的左边分解因式；

③根据若M∙N=O,则M=O或N=O,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.

2、讲解例2.

(1)解下列一元二次方程：

(l)(x-5)(3%-2)=10(2)x-2=x(x-2)(3)(3x-4)2=(4x-3)2

教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把χ-2及3χ-4和4χ-3看成整体，还要突出化归

的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板

演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用“且。

(2)想一想：将第(1),(2),(3)题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？

(3)归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型：

①先变形成一般形式，再因式分解：

②移项后直接因式分解.

在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式。

讲解例3.解方程/=2√2%-2

在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项2看成(亚丁，另外对于方程中出

现两个相等的根，教师要做好板书示范。

3、补充例4若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？

首先让学生设出未知数，列出方程(∙√=χ),再让学生求解.根据学生的求解情况强调：

对于此类方程不能两边同时约去X,因为这里的X可以是0。

三、巩固练习：课本第32页课内练习。

四、体会和分享

能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？

先由学生自由发言，教师再投影演示：

1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两

个一次因式的积；

2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：

(1)将方程的右边化为零；

(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

(3)令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；

(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

3.用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式中至少

有一个等于0

4、用分解因式法解一元二次方程的注意点：L必须将方程的右边化为零；2.方程两边不

能同时除以含有未知数的代数式.

5、数学思想：整体思想和化归思想.

五.课后作业

1.书本作业题；2.作业本

2.2一元二次方程的解法（2）

教学目标（1）理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意（2）会用直接

开平方法解一元二次方程。（3）理解配方法。（4）会用配方法解二次项系数

为1的一元二次方程。

教学［教学重点］掌握直接开平方法及配方法解某些一元二次方程。

设想［教学难点］理解掌握配方法。

教学程序与策略

一、复习旧知1,引入新课

2

1用因式分解法解方程X-4=0O

2若将方程先移项，得：χ2=4.你能直接得到该方程的解吗？其解是什么？

3引入新课，板书课题。

二、［讲解新课］

L了解直接开平方法解一元二次方程的概念。

将方程：X2-4=0,先移项，得：χ2=40

因此，x=±2即，xi=2,x2=-2«

讲（或提问）至IJ此，指出：这种解某些一元二次方程的方法叫做开平方法。

2.初步掌握直接开平方法解一元二次方程。

提问：用直接开平方法解下列方程：

1、X2-144=0；2、X2-3=0;

22

3、X+16=0；4、X=Oo

（1、xι=12,x2=-12；2、Xι=JJ,x2=-ʌ/ɜ；3、无解---负数没有平方根；4、X=O—

一0有一个平方根，它是。本身）。

3.深刻掌握直接开平方法解一元二次方程

例1解方程：（1）3X2-27=0（2）（X+3）2=2。

说明与分析：此例要求解出方程的根，同时通过此例的学习也为进一步解公式法作准备。

实际上，我们将用此例以及类似的题目推导出一元二次方程的另一解法一一配方法。可

以看出，原方程中x+3是2的平方根，

练习：解下列方程：

1、(x+4)2=3；2、(3x+l)2=-3»

(1、Xi=-4,xz=+4;2、无解。)

4.合作学习

(1)想一想：你能用直接开平方法解方程X2+6X+7=0吗？

(2)你能将方程X2+6X+7=0转化为(x+a)Jb的形式吗？

(3)请与同伴尝试解这个方程。

5.探索配方法解一元二次方程一般步骤

将方程：(+6x+7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2∙x∙3,得：x2+2∙x•3

=一7。由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上32,即：X2+2∙X-3

+32=-7+3*(x+3)2=2。

解这个方程，得：x∣=-3+V2,x2=-3—V2»

6.总结配方法的概念：把一个一元二次方程左边配成一个完全平方式，右边为一个非负

数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

三、课堂小结

(1)开平方法可解下列类型的一元二次方程x'b(bNO)；(χ-a)2=b(b≥0)»

根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，上列两式中的b20,当

b<0时，方程无解。

(2)配方的关键是：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。

2.2一元二次方程的解法(3)

教学目标1、理解一元二次方程求根公式的推导过程.

2、会用公式法解一元二次方程.

教学设想重点：用公式法解一元二次方程.

难点：一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识

和能力，是本节的难点.

教学程序与策略

一、引入新课，，1

用配方法解下列一元二次方程⑴¢+15=1OX(2)3X2-12Λ+-=0

完善“配方法”解方程的基本步骤

★一除、二移、三配、四开平方、五解.

二、新课学习

1.做一做：

你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax?+bx+c=0(aW0)吗？

处理：给学生充足的时间做一做，配方法掌握好的学生最后求解的结果可能不会考虑到

b?-4ac≥0的条件，也可能答案不够简练；然后教师引导学生再去探索

思考：4ac<0Π寸，方程有实数解吗？

一般地，对于一元二次方程ax?+bx+c=O(arθ),如果从-4ac≥0,那么方程的

—b+Jb2—4ac

两个根为X=%~主上这个公式就叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公

2a

式，由一元二次方程的系数a,b,c,直接求得一元二次方程的根.这种解一元二次方程

的方法叫做公式法.(它是解一元二次方程的一把万能钥匙)

2.现学现用：填空(用公式法解方程)课内练习

说明：利用求根公式，就是代入公式求值，关键是确定a,b,c的值，目的就是应

用求根公式时，应将方程化成一般式.进而引导学生总结出公式法解一元二次方程的基本

步骤

(1)把方程化成一般形式，并写出a,b,c的值.(2)求出4ac的值.

—b+Jb2-4ac

(3)代入求根公式：：.x=——------------(4)写出方程x”X2的解

2a

3.试一试:用公式法解下列方程

(1)X2+3X-4=0；(2)2x2-13x+15=0；(3)x2+3=2√3x:

2

(4)I?一一X=］；(5)X+x+ι=o

24

让学生独立完成，师生共同评价，由(3),(5)说明

方程根的情况：(1)当b2-4ac≥0时，方程有两个不相等的实数根

(2)当b2-4ac=O⅛,方程有两个相等的实数根

(3)当b?-4ac<O0寸，方程没有实数根

4.问：解一元二次方程的方法都有哪些？

说明：至于选择哪一个方法解一元二次方程，看你觉得哪个方法好用或方便就用哪

个.

选择适当的方法解下列方程

2

⑴搭、晨⑵5x=2xi（3）（x-2）-9χS

（4）3X2+l=4x；⑸X（IX-I）=（X-2）2

（5）先化成一般式，再用公式法.

三、课堂小结

请谈谈你的收获！

1.一元二次方程的求根公式.（公式成立的条件）

2.公式法解一元二次方程的基本步骤

四、布置作业

2.3一元二次方程的应用（1）

教学目标1.经历一元二次方程的实际应用，体验一元二次方程的应用价值.2.会列

一元二次方程解应用题.

教学设想本节教学的重点是列一元二次方程解应用题.例2的数量关系比较复杂，

学生不容易理解，是本节教学的难点.

教学程序与策略

一、引例：要做一个高是8cm,底面的长比宽多5cm,体积是528C”/的长方体木箱，问

底面的长和宽各是多少？

二、回顾：

1、以前我们己经经历了几次列方程解应用题？①列一元一次方程解应用题；②列二元一

次方程组解应用题；③列分式方程解应用题.在思想方法和解题步骤上有许多共同之处.

2、提问：列方程解应用题的基本步骤怎样？

①审（审题）；

②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基

本数量关系、相等关系）；

③设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）；

④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；

⑤列（列方程）；

⑥解（解方程）；

⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.

对照步骤，引导学生完成解题过程

板书：（主题）一元二次方程的应用

三、新课

1.多媒体显示课本例1

（1）着重指清“每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元”的含义.

（2）思考：直接设每盆植X株好吗？为什么？

启发：设什么为X才好？

（3）指导学生用X表示其他相关量.

（4）问:你怎样列方程呢？指导学生解方程，并进行检验.

请每位同学自己检验两根.发现什么？

2.完成课内练习1：学生完成练习后出示正确答案核对（略）

3.讲解例2；显示例2（屏幕显示），注意：叙述年平均增长率时，要有明确规范的说法,

如：“从何年到何年的年平均增长率”，“从何月到何月的月平均

增长率”，不要随用其他的说法，否则学生解题时容易产生歧义.

请大家以学习小组为单位讨论如下问题，然后以组为单位回答：

（1）增长率与什么有关系？（增长率与时间相关.必须弄清楚从何年何月何日到何年何

月何日的增长率.）

（2）年平均增长率怎么算？纠正学生的各种错误回答并小结；

经过两年的年平均变化率X与原量a和现量b之间的关系是：α（l+x>=b（等量关系）.

（3）X的正负性有什么意义？（当x>0时表增长，当x<0时表示下降.）

4.完成课内练习2；

四、课堂小结：这节我们学到了什么？

1、学会了列一元二次方程解应用题.

2、列一元二次方程解应用题的步骤.

3、经过两年的年平均变化率与原量a和Ib之间的关系是：a（l+x）2=h（等量关系）.

对例1,使用间接设元更能表示其他的相关量.

五、作业布置：（1）完成课本“作业题”.

（2）作业本

2.3—元二次方程的应用（2）

教学目标L继续探索一元二次方程的实际应用，进一步体验到列一元二

次方程解应用题的应用价值：

2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能。

教学设想本节的重点是继续探索一元二次方程的应用：“合作学习”的问题较为复

杂，计算量大是本节教学的难点。

教学程序与策略

（-）创设情境，引入新课

提出问题：（1）如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒？（学生动手实践,

并发表意见）

（2）无盖长方体纸盒的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？

（二）例题讲解

例3：如图1有一张长40cm,宽25Cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方

形之后，折成如图2那样的无盖纸盒，若纸盒的底面积是450cm2,那么纸盒的高是多少？

设问：（1）若设纸盒的高为X,那么裁去的四个正方形的边长为多少？

（2）底面的长和宽能否用含X的代数式表示？（用虚线画出纸盒的底面）

（3）你能找出题中的等量关系吗？你怎样列方程？

（4）请每位同学自己检验两根，发现什么？

（三）课内练习：第40页作业题第3题

（四）合作学习：

一轮船以30Km∕h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中

心正以20Km∕h的速度由南向北移动。已知距台风中心200Km的区域（包括边界）都

属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500Km,BA=300Kmo

（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方

法来判断？

（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入

台风影响区？

（3）如果把航速改为10Km∕h,结果怎样？

提示：（1）若以接到台风警报开始，经t时轮船到达G,台风中心到达

B1,那么船是否受到台风影响与什么有关系？

（2）当BC符合什么条件时，船会受到台风的影响？

（3）你能用关于t的代数式表示BC两点之间的距离吗？

（4）你能用一元二次方程表示船开始受台风影响的条件吗？

（五）课堂小结：提问：通过本堂课的学习，你学会了什么？

3.1平均数

K教学目标》

♦1、理解平均数的概念，会计算平均数.

♦2、了解加权平均数，会计算加权平均数.

♦3、会用样本的平均数来估计总体的平均数.

K教学重点与难点』

♦教学重点：本节教学的重点是平均数的计算（包括加权平均数）.

♦教学难点：例2的问题情境比较复杂，还涉及加权平均数的计算是本节教学难点.

K教学过程』

创设情境，提出问题.

图片欣赏（出示课件：播放水果在收获前，果农常会先估计果园里果树的产量，你认为应该

怎样估计呢？

二、启发诱导，探索新知.

1.合作学习

某果农种植的IOO棵苹果树即将收获.果品公司在付给果农定金前，需要对这些果树的

苹果总产量进行估计.

（1）果农任意摘下20个苹果，称得这20个苹果的总质量为4千克.这20个苹果的平均

质量是多少千克？

（2）果农从100棵苹果树中任意选出10棵，数出这10棵苹果树上的苹果数,得到以下

数据（单位:个）：

154,150,155,155,159,150,152,155,153,157.你能估计出平均每棵树的苹果

个数吗？

（3）根据上述两个问题，你能估计出这JOO棵苹果树的苹果总产量吗？

2.引出平均数的概念，平均数用符号X表示，读做“X拔”，计算平均数公式

j_

X=n（%+/+—HX"）

指出：在实践中，常用样本的平均数来估计总体的平均数.例如，在上面的例子中，用

20个苹果的平均质量0.2千克来估计100棵苹果树上苹果的平均质量，用10棵树的平均苹

果个数154个来估计100棵树的平均苹果个数.

3∙做一做仍8

三、学以以致用，体验成功.

1.讲解“78例1

方法（一）：直接根据平均数的意义来计算，这里的王，％,…%指的是什么？”等于多

少？

方法（二）：15个数据中有几个6,几会7,几个8,几个9,几个10?〃=15与这些相

同数的个数之间有什么关系?所求的平均数X的算式还可以写成怎样的算式？

2.由上例中的方法（二）概括出加权平均数的概念和权的意义

3.讲解「79例2

分析：第（1）题只需求一般的平均数，学生容易理解.

第⑵题涉及加权平均数，不妨以801班为例，表中相应的3个尊据幺广I=料，

々=84,七=87,给定三个项目的极的比为15：,35：50,即表示工：力：Λ=

15：：，浜MP1⅛⅜⅞涵辅B独层8力上的密O∙⅜¾⅞f）面附Q*7加权平均引

X=l5k+35k+50k15+35+50

4.课本课内练习第1,2

四、总结回顾，反思内化.

通过这节课的学习，你有什么收获？

1.知识小结，这节课我们学习了平均数、加权平均数的概念，会计算平均数和加权平

均数.

2.会用样本的平均数来估计总体的平均数.

五、作业

3.2中位数与众数

知识技能目标：

1.理解申位数和众数的意义.

2.会求一组数据的中位数和众数.

3.能选择合适的统计量表示数据的集中程度.

过程性目标：

L结合实际，感知数学与现实世界的密切，经历数据分析处理的全过程，初步形成良好的统

计观念.

2.结合具体情境，提出问题，并寻求解决问题的方法，进而获得解决实际问题的经验，增加

应用数学的意识

重点和难点

本节教学的重点是中位数和众数的意义和求法.

对统计数据需从多角度进行全面分析，如范例第(2)题，是本节教学的难点

教学过程

一、创设情境，提出问题

问题情境:某工程咨询公司技术部门有总工程师1人，工程师1人，技术员7人，见习

技术员1人;现需招聘技术员1人.小壬前来应征.总经理说:"我们这里的报酬不错，平均工

资是每月1900元，你在这里好好干!”小王在公司工作了一周后，找到总经理说:"你欺骗了

我，我己问过其他技术员，没有一个技术员的工资超过1900元，平均工资怎么可能是每月

1900元呢？”总经理说:“平均工资确实是每月1900元下表是该部门月工资报表：

工工科程师术员A术员B术员C术员D术员E术员F术员G习技术

师员H

工资50004000180017001500120012001200IoOoIOoo

问题(1):请大家仔细观察表中的数据，讨论该部门员工的月平均工资是多少?总经理是否欺

骗了小王？

问题(2):平均月工资能否客观地反映员工的实际收入？

二、合作交流，感知问题

问题(3):再仔细观察表中的数据，你们认为用什么数据反映一般技术员的实际收入比较

合适？

(要求学习小组进行讨论交流,并记录交流结果.教师把学生得出的纷繁多样的结论有目

的地引向“中等水平的工资〃和〃大多数员工的工资”来反映比较合理，引出中位数与众数的课

题.)

三、理性概括，纳入系统

结合上面的问题情境，让学生讨论以下问题：

(1)用自己的语言阐述众数和中位数的概念.(在学生讨论、教师补充的基础上概括出概念)

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.

一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据（当有偶数个数据时，为最中间两个数据

的平均数）叫做这组数据的中位数.

做一做:求下列数据的平均数、中位数和众数.

8,10,10,13,13,13,14,15,17,18,19.

让学生自学课本，继续讨论以下三个司题：

（2）指出中位数与众数的区别和共同点.

（3）在一组数据中，平均数、中位数、众数都是唯一的吗？

（4）在一组数据中，平均数、中位数、众数是否可能为同一个数?试举例说明.

（在学生讨论的基础上板书以下两点:）

①在一组数据申，中位数是唯一的；

②在一组数据中，众数并不唯一，众数是出现次数最多的数据，而不是次数.

（通过学生自学、讨论的形式，使学生自己对中位数、众数这两个概念进行归纳、整理，通

过比较概念之间的区别和，揭示概念的实质，形成新的知识结构，）

四、学以致用，体验成功

1.10位学生在家政课上进行包水饺比赛，在同一时间内包水饺的个数分别

为：15,17,14,10,15,19,17,16,

14,12.求这10位同学包水饺的个数的中位数.

（将数据按大小顺序排列后，中间两个数据都是15,所以中位数是15.）

2.求4.,6,7,6,5,4这组数据的众数.

（学生易回答众数有2个，而易漏答具体是哪两个.）

3,求1,2,3.,4,4,3,2,1这组数据的众数.

（学生可能会对这组数据是否有众数引起争论）

4.课木“课内练习”第1,2题.

五、总结回顾，反思内化

通过这节课的学习，你有什么收获？

L知识小结:这节课我们学习了众数、中位数的概念，了解了它们在描述一组数据的集

中程度时的不同角度和适用范围.

2.方法小结:①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序（从小到大或

从大到小），然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数；当数据

为偶数个时，最中司两个数的平均数就是中位数.

3.3方差和标准差

K教学目标U

♦1、了解方差、标准差的概念.

♦2、会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度.

♦3、能用样本的方差来估计总体的方差.

♦4、通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和

能力.

K教学重点与难点》

♦教学重点：本节教学的重点是方差的概念和计算。.

♦教学难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点.

K教学过程11

一、创设情景，提出问题

甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下表:

第第第第第

一次二次三次四次五次

甲命中环78889

数____________

乙命中环1061068

数____________

①请分别算出甲、乙两名射击手的平均成绩；

②请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图;

二、合作交流，感知问题

请根据统计图，思考问题：

①、甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比较，哪一个