人教版八年级数学下册全册同步教案 第16章 二次根式

16.1二次根式

第1课时二次极式的概念

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范

围.

【过程与方法】

经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括

能力.

【情感态度与价值观】

经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的

快乐，并提高应用意识.

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式的概念，二次根式有意义的条件.

【教学难点】

求二次根式中字母的取值范围.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P2〜P3的内容，完成下面练习.

（3min反馈】

1.一个正数有画个平方根；O的平方根为。；在实数范围内，负数没有平方根.因此，

在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.

2.一般地，我们把形如/（α≥0）的式子叫做二次根式，“I”称为二次根号.

3.下列式子中，不是二次根式的是（B）

A.√45B.√ςς3

C.yja2+3D.ʌʃl

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?

ViLV^^5*72,Λ∕13,z∖J∣-

2

√3-X（Λ≤3）,y[~x（x≥O）fy∣a~I,

y∣-χ1-5,∙∖ja-h2（ah>O）.

【互动探索】（引发学生思考）要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2,

二是看被开方数是不是非负数.

【解答】因为平,-∖∣-72,λ∕3r（烂3）,y∣a-∖2,，“一1（出JK））中的

根指数都是2,且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.折5的根指数不是2,4苍，√ςz^

（x>0）,（一江一5的被开方数都小于0,所以不是二次根式.

【互动总结】（学生总结，老师点评）判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是

否具备以下条件：（1）带二次根号；（2）被开方数是非负数.

【例2】当X,Λ∕x+3+*γ在实数范围内有意义.

【互动探索】（引发学生思考）二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他

条件？

【分析】要使[而+由在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x+3≥0和分母

x+l≠0,解得x≥-3且好一1.

【答案】二一3且样一1

【互动总结】（学生总结，老师点评）使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考

虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幕的底数不为

零.

活动2巩固练习（学生独学）

1.下列式子中，是二次根式的是（A）

A.-√7B.¾7

C.yfxD.X

2.使式子—―工一52有意义的未知数X有（B）

A.0个B.1个

C∙2个D.无数个

3.当X是多少时，在实数范围内有意义？

f3

2x+3≥O,x>—ɔ,

解：依题意，得,解得2

Λ≠0,.x≠0.

.∙.当后一时，史产+/在实数范围内没有意义.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】若实数x、y满足y>∙∖∕χ-2+#—3x+3,求.一3|一'χ-y2的值.

【互动探索】要求|.y—3|--∖∕χ-）∙2的值,需确定出x、y的取值范围.根据式子y>∙∖∕χ-2

+、6—3x+3,可以确定出x、y的取值范围.

【解答】由题意，得χ-2≥0且6—3Λ≥0,

解得x=2,则y>3.

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用二次根式有意义的条件求出X的值，从而确定y

的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

［概念

一次根式，

一I有意义的条件——被开方数是非负数

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时二次根灰的性质

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解g（αK））是一个非负数、（犯）2=4（“工0）和亚="（”20）,并利用它们进行计算和化简；

了解代数式的概念.

【过程与方法】

在明确（g）2=α（α≥0）和亚=。（定0）的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作

交流，培养学生的合作意识.

【情感态度与价值观】

通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力.

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式的性质.

【教学难点】

运用二次根式的性质进行有关计算.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P3〜P4的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.(1)当4>o时，W表示”的算术平方根，因此M⅛0;

(2)当“=0时，W表示0的算术平方根，因此W=0.

概括：一般地，、仿(“≥0)是一个非负数.

2.教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空：

(1)(√4)2=4;(@2=2；

而『a

(2)一般地,(yfa)2=a(a>0).

3.教材P4“探究”，填空：

(1枢=2；√0.012=0.01；

∖[^)2=l褥=。

(2)一般地，√P=β(Λ>O).

教师点拨：二次根式的三个性质：(l)W(aK))是一个非负数；(2)(g)2="(αK));(3版=

α(a≥0).

4.用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

5.计算:√0.0196×22500=21；Ml=

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(1)(√L5)2;(2)(2巾K

(3)√16;(4)√ςς?.

【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的

被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？

【解答】(1)(√T3)2=1.5.(2)(2√5)2=22×(√5)2=4×5=20.(3)√16=(√45)=4.

(4)Λ∕(—5)2=√55=5.

【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.当

L[a(a>O);

二次根式的被开方数是一个完全平方数时，W5=Hi=V,、

〔一α(α<O).

【例2】化简下列二次根式.

(IN84%(αN0,b>0)↑

(2)√-36×169×-9.

【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简.注意：二次根式的结果是最简二次

根式.

[解答](1)√Sa3h=y∣22-a2-2ah=y∣2a2y∣2ab=2cty∣2ah.

(2)√-36×169×-9≈√36×169×9=6x13x3=234.

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；

(2)1多二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式.

活动2巩固练习(学生独学)

I.下列各式正确的是(D)

A.yj—4×-9=∙∖∕—4×y∣—9

B∙ΛJ16+^√16×^∣

c∙

D.,∖∣4×9=y∣4×y∣9

2.计算：

(D(√9)2;⑵一(小P;

(3)√64;(4y∖∣a2+2a+1.

解：(1)9.(2)-3.(3)8.

(4Na2+2α+ι=N(α+l)2=∣α+[∣.当生一1时,原式=。+1；当a<—1时，原式=-a

-1.

3.已知

实数a、。在数轴上的位置如图所示，化简：√^+P+2√⅛→2-∣a-ft∣.

IIII4II，1'IIII.

-5-4-3-2-I012345

解：从数轴上〃、方的位置关系，可知一2VaV—1,1VZ>V2,且方>出故a+l<0,b-

l>0,a-b<O,原式=∣a+l∣+2—一1|一∣a-6∣=—(a+l)+2，-l)+(a—b)=b-3.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】已知〃、b、C是的三边长，化简Λ∕G+方+c2—同方+c—层+勺,—6—让.

【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b+c>”,人+α>c.根据二次根式的性质得出

含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可.

【解答】Vα∙,b、C是AABC的三边长，，b+c>O,b+a>c,，原式=|“+b+c|—∣b+c

-a∖+∖c-b-a∖=a+b+c-(b+c-a)+(b+a-c')=a+b+c-b-c+a+b+a~c=3a+b-c.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等

关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简.

环节3课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

r√a>00>0

二次根式的性质<3一""K)

而=间=产：

IV'Iaa<0

练习设计

请完成本课时对应训练!

16.2二次根式的乘除

第1课时二次极灰的乘法

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解&∙yβ=∙∖[Hi>(a≥O,b>0),-∖[ab=y[cι-∖∣h(a>O,b>0),并利用它们进行计算和化简.

【过程与方法】

经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相

互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创

新，感受数学的严谨性.

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式的乘法运算法则.

【教学难点】

运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P6〜P7的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

1.教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？

(lh∕4×^∕9=6,(4x9=6；

(2)√16×√25=20,√16×25=20；

(3)√25×√36=30,√25×36=30.

规律：一般地，二次根式的乘法法则是3・班=两("≥0,⅛≥0).

2.把W∙√^=√7反过来，就得到√%=g∙√k利用它可以进行二次根式的化简.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(1)√3×√5;(2)ʌyi×√27;

(3)√9×√27;(4)^∣×√6.

【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算.

【解答】(i)√5><木=√B.

(2

(3)√9×√27=√9^27=√9⅜=9√3.

(4

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被

开方数必须是非负数.

【例2】化简：

(1)9×√16;(2)√16×81;(3)81×100;

(4)√4οΨ;(5)√54.

【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注

意什么？

【解答】(1Λ∕9x16=M√B=3X4=12.

(2)√16×81=V16×√8T=4×9=36.

(3)√81×lθθ=√81×√lθδ=9×lθ=9θ.

(4)y∣4crP=-∖[4-y[cP∙-∖[i?=2∙a∙-∖∣b2∙b=2ab∖[i>.

(5h∕54=√9×6=√32×√6=3√6.

【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意

被开方数必须是非负数.

活动2巩固练习(学生独学)

1.等式山+INX—1=W2-1成立的条件是(A)

A.x>lB.x>—1

C.-l<x<lD.x>∖或烂一1

2.计算：

解：(1)6.(2)3√Tθ.(3)18.

3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:

(1)√-4×-9=√→×√ςς9；

解：(1)不正确.

改正：yJ-4×-9-yj4×9=√36=6.

(2)不正确.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】比较大小：

(1)3巾与5小；(2)-4√Π与一5j∏.

【互动探索】由于根号外的因数不为1,可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开

方数的大小.

【解答】(1)3小=√^x小=麻，

5√3=√25×√3=√75.

因为相<√无，所以3小<54.

(2)-4√T3=-√T6×√T3=-√208,

-5√∏=-√25×√∏=-√275.

因为√丽<小汴，所以一观丽>一√无，所以一4√T5>-5Λ/TL

【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式

的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小.

环节3课堂小结，当堂达标

练习设计

请完成本课时对应训练!

第2课时二次板式的除法

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

毒(α≥0,6>0)及利用它们进行运算;

2.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

【过程与方法】

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果

是否满足最简二次根式的要求.

【情感态度与价值观】

在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣.

二、重难点目标

【教学重点】

最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则.

【教学难点】

二次根式商的算术平方根的运用.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P8〜PlO的内容，完成下面练习.

[3ɪnin反馈】

(一)二次根式的除法

I.教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？

-

644

--

2-

555

规律：一般地，二次根式的除法法则是生0,⅛>O）.

2.把*='器反过来'就得到情=强位°，

⅛>0）,利用它可以进行二次根式的化简.

（二）最简二次根式

1.观察教材P8〜P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如2√Σ米,平等,

可以发现这些式子有如下两个特点：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

2.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为堇通二次根式，并且分母中不含二次根

式.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【互动探索】（引发学生思考）利用二次根式的除法运算法则进行计算.

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被

开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式.

【例2】化简:

小、

(1

【互动探索】（引发学生思考）利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将

二次根式进行化简.

【解答】（1）原式=席=坐.

咽足=弛

（2）原式=

√3√3×√5√15

⑶原式=S=小X√Γ5-

也x(α+l)2+也

（4）原式==2+√2.

(√2-l)(√2+l)-2-1

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的

性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式.

2

7

C.√2D.

如果）是二次根式，那么化为最简二次根式是（）

2.yry>oc

和①

A.B.√A>J(),>0)

呼G'>0）

C.D.以上都不对

y

3.化简：

⑴善（匹⑶舟；

2(4⅛⅛

解：（1）4.（2）曙.（3）√3+l.

(4)ll-2√30.

活动3拓展延伸（学生对学）

ʌ/n=柜’且X为偶数,求（1+灯ʃ-5x+4

【例3】已知,工一的值•

【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式一确定X的取值范围一化简所求式子

9-χ>0,Λ≤9,

【解答】由题意，得•即<

ɪ-6>0,Λ>6,

/.6<x≤9.

•・”为偶数，・,*=8,

x~4x-lM=(+")舄='ι+xχ-4

，原式=（1+尤x+lx-l=(1+x：

当X=8时，原式==4x9=6.

【互动总结】（学生总结，老师点评）根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方

数是非负数，分母中被开方数是正数.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

练习设计

请完成本课时对应训练!

16.3二次根式的加减

第1课时二次根式的加琐

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算.

【过程与方法】

在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根

式的计算和化简.

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性.

二、重难点目标

【教学重点】

会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算.

【教学难点】

运用二次根式的加减运算解决问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P12~P13的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最值二次根式，再将被开方数相同

的二次根式进行合并.

2.计算下列各式.

(l)2√2+3√2;(2)2√8-3√8+5√8;

(3)√7+2√7+√9^7;(4)3√3-2√3+√2.

解：(1)原式=(2+3胞=56.

(2)原式=(2-3+5胞=4m=8s.

(3)原式=于+2币+3#=(1+2+3)币=6巾.

(4)原式=(3—2/+小=小+啦.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(D√27+ΛJ∣+√T2;

(2)3√2+√48-√8+√3;

(3)√3^2√2-

(4)(√6-2√2)2+(2√3-1)(2-∖∕3÷1).

【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算

时要注意哪些问题？

【解答】(1)√^+ΛJ∣+√Π=3√5+W+2√5=^√1

(2)3√2+√48-√8+√3=3√2+4√3-2√2+√3=√2+5√3.

(3制26普)+√T3-毕=2加—6+乎—平=旃—1√1

(4)(√6-2√2)2+(2√3-l)(2√3+l)=6-4√12+8+(12-l)=25-8√3.

【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简

二次根式，再合并同类二次根式.计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序.

【例2】已知ʌ/ɑ一小一2+[b-小+2=0,求∙√∙+b2+7的值.

【互动探索】（引发学生思考）根据算术平方根的非负性，可得“=小+2,b=√5-2,

然后再代入求值即可.

【解答】由题意，得7af-2=0,√⅛-√5+2=0,解得α=√5+2,⅛=√5-2,

√α2+⅛2+7=√5+4+4√5+5+4-4√5+7=5.

【互动总结】（学生总结，老师点评）此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术

平方根具有非负性.

活动2巩固练习（学生独学）

1.计算35一加的值是（D）

A.2B.3

C.√2D.2√2

2.若最简二次根式∙∖∕3α-8与∙∖∕17-2”可以合并,则a=5.

3.计算：（l）3√48-9Λy∣+3√l2;

（2）（√48+√20）+（√l2-√5）.

解：（l）=15√i（2）6√3+√5.

活动3拓展延伸（学生对学）

求∣.v而+尸\©一小^一52^!的值.

【例3】已知4x2+y2-4x—6y+10=0,

【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x—l>+（y-3）2=0,

即可求出X、），的值.再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类

二次根式，最后代入求值.

【解答】V4X2+√-4X-6>∙+I0=4Λ2-4Λ+I+/-6J+9=(2Λ-l)2+(y-3)2=0,ΛΛ=

1C

2,三

=2x∖[x+y[x)^χyjx+5y∣xy>

=x∖[x+6y[x)j.

当％=；，y=3时，

原式=2×λ∕l÷6^∖∕∣=∙^+3√6.

【互动总结】（学生总结，老师点评）化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入

求值.化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被

开方数相同的二次根式进行合并.

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时二次板式的混合运算

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用.

【过程与方法】

复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算.

【情感态度与价值观】

理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性.

二、重难点目标

【教学重点】

熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力.

【教学难点】

正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P14的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方,再乘除,最后加减,

有括号的先算括号里变的.

2.在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.

(3)√80-√45;(4)(2√5-√2)2.

解：(1)3.(2)华.(3)√5.(4)22-4√Tθ.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

(3)√2-(√3+2)÷√3.

【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？

［解答］(1)原式=39Xy与义看＜|=；*9＞＜邛2=啦.

⑵原式=(6小一斗^+4小