2023年一轮复习《指数函数和对数函数》综合练习(含解析)

2023年一轮复习《指数函数和对数函数》综合训练

-、单选题(本大题共12小题，共60分)

1.(5分)已知函数y=/(%)是定义域为R的奇函数.当％》0时/(%)=

T若恰有S个不同的实数%「"2，…，右，使得/(x)=mx成立，则

实数Tn的值为()

A.√2-lB.2√2-2C.2-√2D.3-2√2

2.(5分)已知某抽气机每次可抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的

0.2%,则至少要抽的次数是(参考数据：lg2=0.301)()

A.6B.7C.8D.9

3.(5分)己知函数f(%)=SinC%)+α(ex^1+?一%+1)有唯一零点，则Q=()

A.-1B.-ɪC.-D.1

22

4.(5分)已知Xi是方程%+$%=3的根，%2是方程％+10”=3的根，那么与+%2的值

为()

A.6B.3C.2D.1

5.(5分)函数y=∣ln∣x-2∣∣+/-4x的所有零点之和是()

A.-8B.-4C.4D.8

6.(5分)已知函数f(x)={gyn：；S，若关于X的方程2f(X)—"+I=0有四个

J1%Il.jfΛ,&U

不同的实根，则实数A的取值范围是O

A.U(ɪ,i]

'4'6jV4,2J

B-t-4--⅛u⅛⅛

c∙(-r-⅛u⅛1l

D∙[JT

7.(5分)已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+oo)上单调递减，f(-2)=0,

则不等式Xf(X+1)>0的解集为()

A.(—3,—1)U(0,4-oo)B.(—8,—3)U(0,1)

C.(—8,—3)U(—1,+8)D.(—3,0)U(1,+∞)

8.(5分)己知函数y=f(%)的定义域为(0,+oo),满足对任意x∈(0,+oo),恒有

若函数y=f(x)-4的零点个数为有限的九何∈N*)个，贝M的最大值

为()

A.1B.2C.3D.4

9.(5分)下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(-1,1)内有零点的函数是()

A.y=-X3B.y=2x—1

2

C.y=x-ʌD.y=Iog2(%+2)

10.(5分)(示范高中)已知x>0,y>0,§2'+§4'=§2,则：的最小值是()

A.6B.5C.3+2√2D.4√2

H.(5分)己知函数f(χ)=｛噎则函数g(x)=f(∕(x))-l的零

点个数为()

A.3B.4C.5D.6

12.(5分)已知函数/(x)在［-3,4］上的图象是一条连续的曲线，且其部分对应值如表:

X一3一2一1012ɪɪ

f(x)6Tn一4-6-6-4n^6^

则函数/Q)的零点所在区间有()

A.(-3,-1)和(—1,1)B.(―3,-1)和(2,4)

C.(—1,1)和(1,2)口.(-8,-3)和(4,+00)

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.(5分)若IoggGa+4b)=Iog3√⅛,则α+3b的最小值是.

a+b

14.(5分)已知2。=3,b=Iog25,则2〃=,2=.

15.(5分)若Iga,Igb是方程2x2-4x+l=0的两个实根，则ab=.

16.(5分)计算5g23∙log38=.

三、解答题(本大题共6小题，共72分)

II7

17.(12分)求值：(I)0.027-3-(一？-2-3-1+(-勺。；(2)3lo≡32+lgl6+31g5-

78

lg?

18.(12分)计算下列各式的值.

(l)i-i2+i3-i4+...+i2021-i2022；

271

(2)log8+IolTg$-(—)3+(1-√2),≡1.

1604

19.(12分)已知函数f(x)=α-岛(αCR)为定义域上的奇函数.

(I)求α的值；

(2)判断/(%)在定义域上的单调性，并加以证明；

(3)若关于X的方程/(X)=I在区间(b,b+l)(ð∈N*)内有唯一解，求b的值.

20.(12分)设二次函数/(x)=ax2+(/?-3)x+3.

(1)若函数/(%)的零点为-3,2,求函数/(%)；

(2)若f(l)=l,α>0,b>0,求;+：的最小值.

21.(12分)解下列方程.

(l)log2[log2(2x+3)]=2；

(2)(∣)<82X=4.

p2

22.(12分)已知函数/(%)=-％2+2ex+m—1,g(x)=x+γ(x>0).

(1)若y=g(%)-m有零点，求实数6的取值范围;

(2)求实数m的取值范围，使得g(x)-/(x)=O有两个不相等的实根.

四、多选题(本大题共5小题，共25分)

23.（5分）已知α>0,b>0,Ina=芋=蛇箸，则下列说法错误的是（）

A.Z?=2aB.3a÷2b=b3

Inbɔln∂

c∙^πy=10≡23D.e~=3

={ζ,^jJθ,若f（x）-α=0有三个不同的实数根，则实

24.（5分）设函数f（x）μo0

数ɑ的取值可以是（）

B.1C.-1D.2

25.（5分）若关于X的不等式αe'+bx+c<0的解集为（―1,1）,则（）

A.b>0B.∣α∣<∣c∣C.a+b+c>OD.8a+2b+c>O

26.（5分）下列各选项中，值为1的是（）

A.Iog26.Iog62B.log62+log64

1111

C.（2+√3）i∙（2-√3）ΞD.（2÷√3）Ξ-（2-√3）i

（分）已知函数（）

27.5/x={%y∕°若方程f(%)+/(-X)=O有几个不同的实根,

IV-A*p人》U

从小到大依次为%,X2,%3,…，%n，则下列说法正确的是()

x=

A.x1+X2÷3÷∙.∙÷xnθB.当n=l时，k<—ɪ

C.当九=3且k<O时，tanx3=――D.当k>三时，几=3

'X32π

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：函数y=f(x)是定义域为R的奇函数.%≥。时/Q)=

(x2,0≤%≤1

If(x-1)+llx>1,

.∙√(0)=0,

若恰有5个不同的实数与，％2，…，与，使得/(%)=mx成立，

则f(%)=mx有且仅有两个正根，

则Tn>0,

且y=mx的图象，与y=/(%)，%∈[1,2]的图象相切，

由y=f(x)=(X-I)2+1,X∈[1,2],

故mx=(x-1)2÷1有且只有一个解，

即--(m÷2)x+2=0的/=0,

解得：m=2√2-2,或m=-2四一2(舍去)，

故?n=2√2—2,

故选：B

由已知中恰有5个不同的实数与，x2,...,x5,使得/(%)=mx成立，可得/(x)=mx有

且仅有两个正根，则m>0,且y=mx的图象，与y=/(%)，%∈[1,2]的图象相切，进

而可得答案.

此题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中结合函数奇偶性的函数特

征，分析出f(x)=mx有且仅有两个正根，是解答的关键.

2.【答案】B;

【解析】解：假设至少要抽的次数是人则(1—0.6严<0.002,

ʌnɪgθ,4<IgO.002,

・•・至少要抽的次数是7.

故选:B.

假设至少要抽的次数是九，则(1-0∙6尸<0.002,化为对数式即可得出.

该题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.【答案】B;

【解析】解：因为函数/(x)=SinG%)+α(βx^1+e^x+1),

令X—1=t,t∈/?,

则g(t)=SinG(t+1))++"一‘)=COSGt)+α(et+为偶函数，

因为函数/(%)=SinG%)+α(ex^1+峭一1)有唯一零点，

所以g(t)=CoSet)+α(et+eT)有唯一零点，

根据偶函数的对称性，则g(0)=1+2a=0,

解得a=-：，

故选：B.

令X-1=3转化为g(t)=COSGt)+a(et+e^)有唯一零点，根据偶函数的对称性求

解.

此题主要考查了函数的零点问题，属于中档题.

4.【答案】B;

【解析】解：第一个方程：5x=3-

第二个方程，(3-%)=x.

注意第二个方程

如果做变量代换y=3-X,则与y=3-y,

其实是与第一个方程一样的.

如果X],%2是两个方程的解，则必有无1=3-%2，

•,∙%]+%2=3•

故选：B.

第一个方程：^%=3-x,第二个方程，0(3-X)=x.注意第二个方程如果做变量代

换y=3-x,则§y=3—y,由此能求出结果.

该题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运

用.

5.【答案】D;

【解析】解:根据函数了=|111氏一2||+*2-4*的零点,

转化为IlnIX-2∣∣+X2-4x=0的根,

令y=∣ln∣x—2∣∣,y=-x2+4x,

两个函数的对称轴都为％=2,

在同一坐标系中，画出函数的图象：

x3»%2关于％=2对称,所以Λ⅛+%2=4,

x1,%4关于X=2对称，所以Xl+%4=4,

所以+久2+%3+%4=8，

故选：D.

根据函数y=∣ln∣x-2∣∣÷x2-4x的零点n∣ln∣x-2∣∣+x2-4x=O的根=y=∣ln∣x—

2∣∣,y=-∕+4x交点的横坐标，由两个函数都有对称轴％=2,结合图象可得X3,X2

关于％=2对称，x1,%关于X=2对称，进而得出答案.

该题考查函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

6.【答案】C;

【解析】解：当%>O时,∕z(x)=Inx,

当O<X<1时，∕,(x)<0,当X>1时,∕,(x)>0,

所以当%>O时，f(%)在(0,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增，

又当X≤O时，/(x)=f(x+1),

所以根据周期为1可得：当％<0时f(x)的图象，故/Q)的图象如图所示:

k

-X

将方程2∕(x)-kx+1=0,转化为方程f(x)2T有四个不同的实根,

令g(x)=枭W，其图象恒过(0,-分,

因为/(%)与g(x)的图象有四个不同的交点，

k上

所以V]<ME或]<^AE9

又由4(—3,0),8(—2,0),C(—2,-1),D(—1,-1)>E(0,--),

1k11f1

或

以c

-<-≤--<-<-

422426

即5Vk41或一5Vʃɑ≤---

故选：C.

把方程2f(%)-依+1=0有四个不同的实根，转化为函数y=/(χ)和g(χ)=的

图象有四个交点，作出两个函数的图象，结合图象，即可求解.

此题主要考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，难点在于作出图象，属于中

档题.

7.【答案】B;

【解析】

本题查抽象函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题。

根据/(X)为偶函数，可得f(x)在(-oo,0］上的单调性，将所求Xf(X+1)>0整理为

｛∕cΛ*>o或｛/(/；；<0'根据/Q)的性质，即可求得答案.

解：因为/Q)在R上的偶函数，且［0,+oo)上单调递减，

所以/(%)在(-8,0］上单调递增,且/(2)=f(-2)=0,

由于Xf(X+1)>。等价于｛∕0Λ1)°>°或｛/(［；：<°，

根据/(X)的单调性，可得％VJ)V?或"

UʌsʌIJLR⅛乙ʌIJL"∙⅛乙

解得0<X<1或X<-3.

故选B.

8.【答案】B;

【解析】解：满足对任意X∈(0,+8)，恒有H∕(x)-曰=4,

.∙./(X)-:为一个大于零常数，设这个常数为m(m>0),

则f(%)~~=m,且/(rn)=4，

∙∙∙∕(χ)="加，

再令％=Tn得，/(m)=ʌ+m=4,

整理得，τ∏2-4m+l=0,

解得：m=2±√3,

函数y="%)-4的零点个数，即为方程/(x)=4的根的个数，即m的值的个数，

・•・九的最大值为2,

故选：B.

由题意可知/(X)一：为一个大于零常数，设这个常数为m(m>0),则/(久)—：=m,

且f(m)=4,从而求出山的值，函数丫=/(无)-4的零点个数，即为方程f(x)=4的根

的个数，即巾的值的个数，从而求出结果.

此题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了学生转化思想和运算求解能力，

是中档题.

9.【答案】B;

【解析】解：对于4,y=-二是减函数，不符合题意，

对于B,y=2*—1在(―1,1)上是增函数，且x=—l时，y=-ɪ<O,X=I时，y-

1>0,••・函数有零点，满足题意；

对于C,y=/—：在(-oo,0)为减函数，在([0,+8)为增函数，；.不满足题意；

对于。，y=log2。+2)定义域内为增函数，但是当x=-l,y=0,当X=1,y>l,

函数在(一1,1)无零点，二不满足题意.

故选:B.

根据题意，分别判定每一个选项中的函数是否满足条件即可.

该题考查了函数的单调性与零点的问题，解题时应根据题目要求进行判定即可，是基

础题.

10.【答案】C;

【解析】解：02z+g4y=02x+$22y=(X+2y)02,

又由=02,

则无+2y=1,

进而由基本不等式的性质可得，

当且仅当X=√∑y时取等号，

故选：C.

由对数的运算性质，2x+^4y=$2x+g22y=(%+2y)g2,结合题意可得，x+

2y=1;再利用1的代换结合基本不等式求解即可.

该题考查基本不等式在最值问题中的应用、基本不等式的性质与对数的运算，注意基

本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换.

11.【答案】C;

【解析】解：令g(χ)=f(f(X))-1=0,可得/(无)=或/(无)=1或/(%)=4,

函数/O)={l'°⅞cx+的图象如图所示，

由图象可知，当f(x)=-g时，有1个解；

当f(x)=l时，有3个解；

当/(X)=4时，有1个解.

综上所述，函数g(x)=/(f(x))-1的零点个数为5个.

故选：C.

先由g(x)=0,求出/(%)=或f(x)=1或/(%)=4,作出函数f(x)的图象，由图象

分析求解即可.

此题主要考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，

常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的

图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析

得解).属于中档题.

12.【答案】B;

【解析】解：依题意，•••/(—3)>0,∕∙(-l)<0,/(4)>0,/(2)<0,

二根据根的存在性定理可知，在区间(-3,-1)和(2,4)含有一个零点，

故选B.

根据根的存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可.

这道题主要考查函数零点个数的判断，用二分法判断函数的零点的方法，比较基础.

13.【答案】25;

【解析】

此题主要考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础

题.根据logg(3a+4b)=l0g3d而，可得3a+4b=ab,得到\+：=1，利用基本不等式

即可求出最值.

解：Iogg(3a+4b)=Iog3√ab,,

∙∙∙log3√3a+4b=Iog3Vab,

∙∙∙√3a+4b=Vab,

:∙3a+4b=ab,

4,3

:•—Fr=1,

ab

则α+3b=(α+3b)《+^)=4+9+y+^≥13+2JT=I3+12=25,

当且仅当a=2b时取等号.

∙∙.a+3b的最小值是25.

故答案为25.

14.【答案】5;15;

【解析】解：由b=log25,得2>=5,2α+b=2α∙2b=15.

故答案为：5；15

由b=k)g25,化为指数式，再利用指数运算性质即可得出.

该题考查了对数式化为指数式、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

15.【答案】100;

【解析】解：:Iga,Igb是方程2χ2-4x+l=0的两个实根，

.*.lga+lgb=-

S

=2,

即Igab=2,则ab=100,

故答案为：100

16.【答案】3;

【解析】I？：log23∙∖og33=log23∙3∖og32=3.

故答案为：3

17.【答案】解：(1)原式=(0.3)3×4)-(-i)-2-3-1+l

，

=-1-0---49----1--,Fγl=-45L

33

(2)原式=2+41g2+31g5+lg5=2+41g2+41g5=2+4=6;

【解析】此题主要考查分数指数事和对数式的化简求值，是基础题.

解题时要注意指数和对数的性质及运算法则的合理运用.

(1)利用分数指数累的性质和运算法则求解；

(2)利用对数的性质和运算法则求解.

18.【答案】解：(1)i-i2+i3-i4+...+i2021-i2022=i+1-i-l+i+1-i-1+∙∙∙+i+l=(i+l-i-1)+

(i+l-i-1)+∙∙∙+(i+l-i-1)+i+l=i+l.

(2)原式=IOg2423、^-吟3]5+(1-√∑)0=j+2+1=3.;

【解析】

(1)根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解.

(2)根据指数、对数函数的运算法则，即可求解.

此题主要考查复数的运算法则，以及指数、对数函数的运算法则，属于基础题.

19.【答案】解：(1)由已知易得/(x)的定义域为R,

又∙∙∙/(x)是R上的奇函数，有/(0)=0,

ʌa—=0,解得α=1,

此时/(x)=1—=-f(-x),故α=1满足条件；

(2)证明：设%L%2ER,%lVT2,则:

fg一/(&)=(1一岛)一(1一3)

2(2打_2叼

一(2χι+1)(2^2+1),

由VX2,OV2X1<2χ2,

Λ2χι-2必<0,2必+1>0,2必+I>0,

∙∙√(X1)-∕(X2)<O-SP∕(X1)</(X2).

故/(X)在定义域上单调递增；

(3)∙∙∙/(x)在(b,b+1)上单调递增且f(x)=g有唯一解，

由零点存在性定理知，

f(b)<-l-√-<≡

32,即｛2^32.

/(b+l)>,

可以解得T<2b<5,

.∙.2<∣<26<5<8,即2】<2b<23,

所以1<b<3,

由beN*,故∕?=2.;

【解析】

此题主要考查函数的奇偶性，单调性及其证明，以及函数的零点存在定理和方程的根

与函数的零点的关系，属于中档题.

(1)可令X=0,利用/(0)=0求解，再验证即可；

(2)根据定义证明，注意最后结合指数函数的性质判定/Qi)-/(次)的正负；

(3)结合单调性及零点存在定理列出不等式组求解.

20.【答案】解:(I)根据题意,二次函数/(%)=αM+(b—3)久+3,

若函数的零点为-3和2,

则方程ɑ/+(b一3)χ+3=O的两根为-3和2,

ZQXI9匕-3

(—3)+2=-------α=W

则有,α3,解可得1

b=-

(-3)×2=-2

则f(%)=-∣x2-∣x÷3,

(2)若/(1)=1,则α+b=l,

则5+2=G+》(a+b)

L,bI4a、L,c/b4aC

=5d-----F—≥5+2/—ו—=9>

aby∣ab

当且仅当b=2a=I时等号成立,

则工+：的最小值为9.;

ab

【解析】该题考查函数的零点与方程根的关系以及基本不等式的性质，注意利用韦达

定理求出a、b的值，属于基础题.

(1)根据题意，由函数的零点与方程根的关系，分析可得方程a/+s—3)x+3=O的

,ɔb-3

+2=-------

两根为-3和2,进而可得a3,解可得a、b的值，代入函数的

(-3)×2=-

解析式即可得答案；

(2)根据题意，由函数的解析式可得若/(1)=1,则a+b=l,进而可得;+£=(；+

⅛(a+b)=-+⅛由基本不等式的性质分析可得答案.

bJab

21.【答案】解：(l)log2[log2(2x+3)]=2,则log2(2x+3)=4,贝∣j2x+3=16,

解可得：x=T，

(2)(∣)x.82x=4,即26XT=22,贝∣j6x-l=2,解可得χ=5

故X=：•；

【解析】

(1)根据题意，原方程变形可得bgz(2x+3)=4,即2x+3=16,解可得X的值，即可

得答案，

(2)根据题意，原方程变形可得26x7=22,解可得X的值，即可得答案.

该题考查对数、指数塞的运算性质，注意指数暴、对数的运算性质，属于基础题.

2

22.【答案】解：(1)作出g(%)=x+3(x>O),y=m的大致图象，如图所示.

由图可知若y=g(x)-Tn有零点，则m>2e,

.•・实数m的取值范围是[2e,+∞).

(2)5(χ)-/(%)=。有两个不相等的实根，即g(χ)与fQ)的图象有两个交点.

∙.∙/(x)=-X2+2ex+m—1=—(x—β)2+τn—1+e2,

其图象的对称轴为直线X=e,开口向下，最大值为m-l+e2.

作出函数f(x)与g(x)的大致图象，如图所示.

故当Tn-I+e?>2e,即m>-e?+2e+1时，，g(x)与f(x)的图象有两个交点,

即9(久)—/(%)=。有两个不相等的实根，

二实数ni的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).;

【解析】此题主要考查实数取值范围的求法，解题时要认真审题，注意合理地进行等

价转化.灵活运用导数的性质、函数图象进行求解.属于中档题.

02

(1)作出g(x)=x+7(x>0)的图象如图:观察图象，能求出加的取

值范围.

(2)若g(x)-/(X)=O有两个相异的实根，即g(x)=f(x)中，函数g(x)与/(x)的图象

p2

有两个不同的交点，作;Hg(X)=%+或(％>0)的图象，由f(%)=-X2+2ex+m-1,

知最大值为τn-1+?2,故当m>-小+2e+1时，g(x)与f(%)的图象有两个不同的交

点.

23.【答案】ABD;

【解析】

此题主要考查对数运算和指数幕运算，属于基础题.

根据题意有61nα=31nb=21n(3a+2b),则d=〃=©a+2b)2,所以小=从代入

题中原式有Q6=(3a+2Q2)2,化简得小一2a-3=0,即(Q-3)(Q+1)=0,又α>

0,所以Q=3,b=9,则依次对选项进行判断即可.

解：由题意得61nα=3lnb=2ln(3a+2b),即a=fe3=(3a+2b)2.

由=台3得小=b,代入M=(ɜa+2b)2得d=(3a+2a2)2,

BPa2[α4—(3+2a)2]=0,BPα2[α2-(3+2a)][α2+(3+2a)]=O,

而α>0,因此02-2a—3=0,即(Q-3)(α+1)=0,解得α=3,b=9,则b≠2a,

/错误；

3a÷2b=27≠63,8错误；

Infeln9In3C-Trfe

T--T=rτ=TT=1log3,C正确；

ln(α+l)In4In2N2

InbIn9、工1

n93

ev=ev=(e')=9三≠3,D错误.

本题选的是说法错误的，故选ABD.

24.【答案】AB;

【解析】解：作出函数=图象如下：

l1053xbx>U

又"乃-α=O有三个不同的实数根，

所以函数/(%)={μoζ^Jθ0，与直线y=α有三个交点，

由图象可得：O<α41.

故选：AB.

先作出函数的图象，f(x)-α=O有三个不同的实数根，化为函数f(x)=

(μoζ^Jθ0,与直线y=α有三个交点，结合图象，即可得出结果.

此题主要考查根据函数零点的个数求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的性质,

利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型，属于基础题.

25.【答案】BD;

【解析】解：根据题意，关于X的不等式α∕+bx+c<0的解集为(―1,1)，

则方程ɑe*+bx+c=0的两个根为一1和1,则有产、3一°十,=0,

aβ+&÷c=0

联立可得：c=b=

0∈(-lll),则有ae。+bX0+c=a+c=α—QV0,变形可得：*(；)ɑV0,

则有Q>0,

依次分析选项：

对于√4,由于b=-(2"α,且QV0，则有b=--^2~ɑV0'4错误；

对于B,由于C=-W^α,则Iel=9∣Q∣>∣α∣,8正确；

对于C,Q+b+c=α-----Ct---------=(1—e)α<0,C错误；

对于D,8a+2b+c=8a—(e—ɪ)ɑ-=(8-怖+ɪ)ɑ>0,O正确；

故选：BD.

根据题意，分析可得方程αex+bx+c=θ的两个根为一1和1,可得广'［一匕+。=°

ae+b+c=0

联立两式，用α表示氏c,进而分析可得α