2022-2023学年北师大版高一下数学：正弦定理和余弦定理（附答案解析）

2022-2023学年北师大版高一下数学：正弦定理和余弦定理

一.选择题（共8小题）

1.（2021秋•南岗区校级期末）若已知ANBC的周长为9,且小b：c=3：2：4,则COSC

的值为（）

A.-ɪB.ɪC.-2D.2

4433

2.（2021秋•思明区校级期中）在aNBC中，内角4,B,C的对边分别是α,b,c,若/+房

=c1+absmC,且asinBcosC+csinBcosAXɪb，贝Utan^等于（）

A.3B.-XC.3或」D.-3或工

333

3.（2021秋•平顶山期中）已知aZBC的角4B,C所对的边分别为α,b.c,b=我,a

=1,B=22L,则C=（）

3

A.√5B.2C.√3D.3

4.（2020•洛阳三模）已知锐角三角形AZBC的内角Z,B,C的对边分别为α,6,c.且6

=2t∕sin8,则cos8+sinC的取值范围为（）

A.（0,√3]B.（1,√3]C.（返,3）D.（ɪ,返）

2222

5.（2015春•银川校级期末）AABC中,若=_⅛,则该三角形一定是（）

cosBCosA

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.直角三角形但不是等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

6.（2021秋•会宁县期末）在AZBC中，角/,B,C所对的边分别为α,b,C.若α=√w

8=45°,C=I5°,则b=（）

A.ʧθ.B.√9C.

3√2D.√6

2

7.（2021秋•民乐县校级期中）如图，在4/8C中，BD=DC=∖,AC=M,^DAC=30

°,N/OC为锐角，贝∣J∕8=()

BDC

第1页（共18页）

A.√3B.√7C.2√2D.2√3

8.（2021秋•焦作期中）在平面凸四边形48CD中，NBAD=105°,N∕8C=60°,ZCAD

=45°,NCBD=I5°,/8=3,则C£>=（）

A.B.3C.3√2D.3√3

2

二.填空题（共4小题）

9.（2021秋•信阳期中）在三角形48C中，已知α,b,C分别为角4,B,C的对边，A^-,

3

h-c=∖,庐+/=13,。在BC上，⅛hS^ABD=cS^ACD,则8。的长为.

10.（2021秋•荷泽期中）在448C中，角4,B,C所对的边分别为α,b,c,若48边上

的高为工c，当红2W⅛得最大值时的SinC=.

3sinBsinA

11.（2021秋•洛阳期中）在4/8C中，a,b,C分别为三个内角/,B,C的对边，CeoS3+

（2a+b）cosC=O,若4/8C的外接圆面积为π,则α+6的最大值是.

12.（2021秋•湖北期中）若G为4/8C的重心，BGLCG,则COSN的最小值为.

三.解答题（共4小题）

13.（2021秋•新乡期中）如图，在4/8C中，NACB=JL,BC=瓜延长/8至。，使

2

得N∕OC=N.

6

（1）若BD=2,求4/8C的面积；

（2）求ABCO面积的取值范围.

14.（2021秋•鼓楼区校级期中）在①三边长成等差数列，②三边长为连续奇数，③C2+402

=4庐，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出CoSC

的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在44δC,它的内角4,B,C对边分别是a,b,c,且a<6<c,C=2∕,

15.（2021秋•虹口区校级期中）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，

最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点8处被台风折断且形成120°角，树

尖C着地处与树根/1相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设NOB=。（A,

B,C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）.

第2页（共18页）

（1）若。=45°,求折断前树的高度（结果保留一位小数）；

（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由.

16.（2021•未央区校级模拟）在aZBC中，内角1、B、C的对边分别为α,b,c已知6

CcosA~2cosC)=(2c-a)cosB.

(1)求负递∙的值；

sinC

(2)若COS8=JL,b=2,求4Z3C的面积S.

4

第3页（共18页）

2022-2023学年北师大版高一下数学：正弦定理和余弦定理

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

I.（2021秋•南岗区校级期末）若已知4/8C的周长为9,且a：b：c=3：2：4,则CoSC

的值为（）

A.-ɪB.ɪC.-2D.2

4433

【考点】余弦定理.

【专题】解三角形.

【分析】根据三角形周长及三边之比，利用比例的性质求出三边长，利用余弦定理表示

出CoSC,将三边长代入即可求出COSC的值.

【解答】解：根据题意设α=3Lb=2k,c=4%,则有3A+2什44=9,

解得：k-∖,

∙*∙U~396=2,c=4,

则CoSC=ɪ2应9+4-16=,ɪ.

2ab124

故选：A.

【点评】此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

2.（2021秋•思明区校级期中）在aNBC中，内角4,B,C的对边分别是α,b,c,若公+房

=c2+α6sinC,且αsinBCoSC+csinBCCISA=^^^b,则tart4等于（）

A.3B.」C.3或-AD.-3或工

333

【考点】余弦定理；正弦定理.

【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】依题意，可求得tanC=2,ta∏β=l,利用诱导公式及两角和的正切可求得tag

=-tan（C+B）的值，得到答案.

【解答】解：在4/8C中，∙.∙α2+y=c2+α∕>sinC=c2+2"cosC,

∙'∙tanC=2>1,

.∙.c∈（―,2L）；

42

第4页（共18页）

又αsin8cosC+csinBcosA=.卜

由正弦定理得：sin∕sin8cosC+sinCsin8cos∕=Yɪsin8,又sin8>0,

_2

.*.SilVICoSC+sinCcos/=sin8=2Z^,

2

.∙.8=JL或2ZL（舍去），

44

•♦tan5=1,

/.tanA--tan（C+5）=-tarK，+tanE，=_._≤Ξtl—=3,

1-tanCtanB1-2×1

故选:A.

【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查诱导公式及两角和的正切，考查运

算求解能力，属于中档题.

3.（2021秋•平顶山期中）已知aZBC的角/,B,C所对的边分别为α,b.c,b=初,α

=1,B=22L,则C=（）

3

A.√5B.2C.√3D.3

【考点】余弦定理.

【专题】计算题：转化思想；综合法；解三角形；数学运算.

【分析】利用余弦定理列出关系式，将6=√7,α=l,8=2ZL代入即可求出C的值.

3

【解答】解：∙.∙b=√7α=1,8=等，

/.由余弦定理得fe2=α2÷c2-2αccos8,

即7=12+C2-2X1XCXCoS^2L,

3

解得c=2或C=-3（舍去负值）.

故选：B.

【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题

的关键.

4.（2020•洛阳三模）已知锐角三角形ANBC的内角N,B,C的对边分别为0,6,c.且6

=2αsinS,则COS8+sinC的取值范围为（）

A.（0,√3]B.（1,√3]C.（返,旦）D.（ɪ,返）

2222

【考点】正弦定理.

第5页（共18页）

【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算.

【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求SirL4,进而可求4,结合锐角三角的条件可

求8的范围，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求

解.

【解答】解:因为6=2αsinB,

由正弦定理可得，SirLβ=2sinJsiαδ,

因为SirLSWO,

故sin√l=A,

2

因为“为锐角，故N=2L,

6

（1

0<B<-∣-π

由题意可得，，Lk.，

0<-¾--B<y∏

uN

解可得,-I-π<B<⅛-π,

32

则COS∙S+sinC=cos8+sin（且L_R）,

6

=c°s8+∕°s8+亨SinB

^√3.r3_

~^^sιnB÷^cosB

=心in<B+∣π）C亭，∣∙）∙

故选：C.

【点评】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，还考查了和差角公式在三角

化简求值中的应用，属于中档试题.

5.（2015春•银川校级期末）Z∖∕8C中，若」_则该三角形一定是（）

cosBCosA

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.直角三角形但不是等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【考点】正弦定理.

【专题】解三角形.

第6页（共18页）

【分析】已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即

可确定出三角形形状.

【解答】解：由己知等式变形得：αcos∕=bcos∙S,

利用正弦定理化简得：SiiVlCoS∕=sin8cos8,即sin2Z=sin28.

.∙.2∕=28或2∕+2B=180°，

."=3或4+3=90°,

则4/8C为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

【点评】此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本

题的关键.

6.（2021秋•会宁县期末）在aNBC中，角N,B,C所对的边分别为α,b,c.若。=√W

8=45°,C=75°,则6=()

A.后B.√2C..⅛2.D.√β

22

【考点】正弦定理.

【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；数学运算.

【分析】先根据三角形内角和求得4进而利用正弦定理求得6.

【解答】解：由题意可知，4=180°-45°-75°=60°,

由正弦定理可知」b

sinAsinB

所以z)=a∙sinB

sinA

2

故选:B.

【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题.

7.（2021秋•民乐县校级期中）如图，在4/8C中，BD=DC=∖,AC=43,ND4C=30

°,NNDC为锐角，贝∣J/8=（）

BD

A.√3B.√7C.2√2D.2√3

第7页（共18页）

【考点】三角形中的几何计算；正弦定理.

【专题】计算题：转化思想；综合法：解三角形：逻辑推理；数学运算.

【分析】利用已知条件推出/CLOC,然后求解/5即可.

【解答】解：如图，在4/8C中，BD=DC=I,AC=M，ND4C=30°,N40C为锐

角，

可得tan3O°=8L=叫所以NCJLOC,

3√3AC

二角形/C8是直角二角形，BC-1∙)

所以/8=ʌʃ22+(Λ∕3)2=々'

故选：B.

BD

【点评】本题考查三角形的解法，三角形中的几何计算，是中档题.

8.(2021秋•焦作期中)在平面凸四边形N8CZ)中，ZBAD=∖05o,ZABC=GO0,ZCAD

=45°,NCBD=I5°,48=3,则Cz)=()

A.B.3C.3√2D.3√3

【考点】三角形中的几何计算；正弦定理.

【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算.

【分析】利用正、余弦定理解三角形，即可求CZX

【解答】解：由题设，得如下示意图，

易知：Z∖∕8C为等边三角形且N∕O8=30°,NDoC=I5：

所以，由正弦定理，

在AADB中，一蛆—=~ʌŋ_得AD=3五

sin300sin450

在D中，—丝L=——过二一=__ŋ0--'

sin300sinl050Sin450

而Sinlo5°=sin(60o+45o)=VθjV∑,

4

所以40=3(愿-1),

DO=3我）,

第8页(共18页)

则CO=3(2-√3).

在ACOO中，CD2=CO2+DO2-2CO∙DO∙cos75a=9.

所以CD=3,

故选：B.

【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

二.填空题（共4小题）

9.（2021秋•信阳期中）在三角形/8C中，己知α,b,C分别为角4B,C的对边，A=-,

_3

b-c=l,b2+c2^13,。在BC上，且6SJBO=CS则8。的长为_冬£_.

5

【考点】三角形中的几何计算；余弦定理.

【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；数学运算.

【分析】由已知可得b=3,¢=2,根据余弦定理求出再由bS^BD=CSJCD，可得毁N∙,

~CD3

然后求出BD.

【解答】解：因为6-c=l,⅛2+c2=13,所以6=3,c=2,

在三角形Z3C中，由余弦定理有a2=h2+c2-2hccosA,

所以α=J13-12cos专=*，

又因为6品相。=CS△"£>,即也幽L=£,

sΛACDb

所以坨上，又BD+CD=五

CD3

所以8A=2J7.

5

故答案为：

5

【点评】本题考查三角形中的余弦定理的应用，属基础题.

10.（2021秋•荷泽期中）在A48C中，角/,B,C所对的边分别为α,b,c,若48边上

第9页（共18页）

的高为Lc，当叁地四取得最大值时的SinC=_盟亘_.

3sinBSinA13

【考点】三角形中的几何计算；基本不等式及其应用；正弦定理；余弦定理.

【专题】函数思想；综合法；换元法；解三角形；数学运算.

【分析】根据三角形的面积公式结合正弦定理进行转化，得到且+b=据inC+2cosC,

ab

再利用辅助角公式转化为三角函数进行求解即可.

【解答】解：设力8边上的高为人贝

3

则三角形的面积S=Ac∙Ac=Aa⅛sinC,得c2=3α6sinC>

232

在A∕8C中，由正弦定理得：≡in⅛,4⅛L=A+k=∆⅛i,

sinBsinAbaab

222

又c=a+b-2abcosCf

.*.a1+b2=c2+2tzftcosC,

222__

则a+b=C+2abcosC=3absinC+2abcosC=3sinc+2cosC=√13（sinC•

ababab

—2=÷cosC∙^_），

√13√13__

令HNp=,=八，H则sinφ=—三-=*V,

√1313√1313

22

则Ok-=Ji3出（C+φ）,

ab

・•・当C+φ=J⅛,取得最大值J石，

2

止匕时C=Jl--φ,SinC=Sin（ɪ--φ）=CoSφ=±JH∙,

2213

故答案为：当叵.

13

【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查三角形的面积公式、正弦定理、辅助角公

式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，是中档题.

11.（2021秋•洛阳期中）在AZBC中，a,b,C分别为三个内角/,B,C的对边，CCoS8+

（2。+6）COSC=0,若4/8C的外接圆面积为π,则a+b的最大值是2.

【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理.

【专题】计算题；整体思想；演绎法；解三角形；逻辑推理；数学运算.

【分析】先由正弦定理求出CT□c=√3-再利用余弦定理和基本不等式求解。+人的

3

最大值.

第10页（共18页）

【解答】解：CCoS8+(2α+b)COSC=0,

由正弦定理得：sinCcosβ+(2SirL4+sinβ)cosC=0,

即SinCCOSB+sinBCoSC+2SirL4cosC=0,

所以Sin(B+C)+2SirL4cosC=0,即SinJ(l+2cosC)=0,

因为∕∈(0,π),所以SirL4W0,故COSC=-，■，

因为C∈(0,π),所以c=2;，

•••△/8C的外接圆面积为n,.∙.Z∖ZBC的外接圆半径为1,

.∙.由正弦定理得：-ɪ-=_GL=2,解得：C=√3,

SinC.2兀

Sw3

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos等=(a+b)2-ab=3，则成=("6)2-3,

由基本不等式得：abC∙")2,当且仅当α=b时等号成立，

所以(a+b)2-3<Q})2,解得：α+6W2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，基本不等式求最值的方法等

知识，属于中等题.

12.(2021秋•湖北期中)若G为AZBC的重心，BGlCG,则COS力的最小值为_匹」.

—5―

【考点】三角形中的几何计算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算.

【分析】令福=；,正=］，且它们的模长分别为α,b,夹角为90°,以此为基底向量,

表示出CosA的值，然后借助于基本不等式求解.

【解答】解：如图：令而=Z,ξc=b;且它们的模长分别为“，b,夹角为90°,

则族=AG+GB=2≡+GC=25+b,同理正=2b+Z，

所以I标I=√(2a÷b)2=GT?，∣AC∣=√^W，

AB-AC=(2l+b)∙(a+2b)≈2a2+2⅛2,

故cos/=~⅞⅞=L2a2+2b2=2(a2+b2)=

IABIIACIV(4a2+b2)(4b2+a2)√4(a2+b2)2+9a2b2

第11页(共18页)

2

①，

口212

9ab

4，2-2∖2

(a+b)

22

因为a+b^2ab,所以(/+庐)224『62,当且仅当a=b时取等号，故①式

即cos4的最小值为刍.

5

故答案为：1.

5

【点评】本题考查数量积的运算以及基本不等式求最值，属于中档题.

三.解答题(共4小题)

13.(2021秋•新乡期中)如图，在4/8C中，ZACB=-,BC=M,延长/8至。，使

2

得N∕OC=N.

6

(1)若BD=2,求4/8C的面积；

(2)求48Co面积的取值范围.

【考点】三角形中的几何计算；正弦定理.

【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算.

【分析】(1)由正弦定理有一区一=一些•一，可得SinNBCD=返，得NBCD

sinZBDCSinZBCD2

=JL,从而求得∕C=8Ctan∕N8C=2j^∙Λ/^,可求面积；

4

(2)设/NBC=。，正弦定理可求得8O=2√⅞in(θ-ɪ),从而SMCθ=Lc∙80sin

62

NCBD=1-Sin(2θ+2L),由8的范围可求得面积的范围.

23

【解答】解：(1)在48CD中，ZBDC^ZADC^-,由正弦定理有——风——=

6sinZBDC

第12页(共18页)

BD

sinZBCD'

又BC=近,BD=Z,所以SinN8CZ>=BDsinNBDC=返,

BC2

因为/8CD为锐角，所以NBCO=工，所以NNBC=N8CZ)+N8DC=旦L,

412

在RtZ∖ASC中，5C=√2-ZT45C=∑≡-,则/C=BCtan∕N8C=2扬返，

故SΔABC-XAC∙BC-2+^

(2)在Rt△/〃C中，设N/8C=。，则∕CSD=n-0,ZBCD=Q-―,

6

在ABS中，由正弦定理有——区——=——迎——，得BD=2j9in(。-工),

sinZBDCsinZBCD6

所以SABCD=UC∙3Osin∕C8Z)=Lx√^X2√⅞in(θ-ɪ)sinθ=2sinθsin(θ-―),

一2266

2

=2sinθ(ɔ/ɪsinθ-ACoSO)=∖Γ^mθ-SineCoSO=^ɪ-弓Sin2θ+2Zlχos2θ)=2/ɜ.

22222

TT

-sin(2θ+----),

3

由/8CD=θ-JL,得e>工，又。为锐角，

66

所以θe(ɪ,2L),2e+2Le(2ZL,,⅛2τ),所以Sin(2θ+2L)∈(-返，返),

62333322

故488面积的取值范围为(0,√3)∙

【点评】本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握正余弦定理、两角差的正弦

公式和辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

14.(2021秋•鼓楼区校级期中)在①三边长成等差数列，②三边长为连续奇数，(3)c2+4a2

=4必，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出COSC

的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在ANBC,它的内角4B,C对边分别是α,b,c,且α<b<c,C=2∕,

?

【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算.

【分析】选①，不妨设α=6-d,b=b,c—b+d(<∕>0,a,b,c∈(0,+∞)),利用正

弦定理以及余弦定理，推出结果COSC=

8

另解：由2b=q+c得，2siιιβ=sirL4÷sinC,即2(3SinJ-4sirp4)=SirL4+2SirL4cosZ转化

第13页(共18页)

求解即可.

选②，不妨设“="-2,b=〃，c=n+2（〃23）,且〃为奇数，利用正弦定理以及余弦定

理，推出不存在奇数满足要求.

222

选③，利用C-2A,得至UsinC=Sin2A=2sinAcosA=2sinA∙^~^———-结合正弦定

2bc

理转化求解即可.

【解答】解：选①，不妨设a=b-d,b=b,c=h+d（d>0,a,b,Ce（0,+∞））,.........

（1分）

由正弦定理得b+d=b-d,得__b+d_上生，A=b+dι....................(4

sin2AsinA2sinAcosAsinA2(b-d)

分）

由余弦定理得海北+（喘:圮”）b2+4bd_b+4d

22（7分）

2b(b+d)=2(b+d)..................

所以b+d=b+4d,整理的川=5/，因为d>0,所以b=5d,................（9分）

2(b-d)2(b+d)

而三边长为4",5d,6d（d>0）能构成三角形,

(4d)2+(5d)2_(6d)21

所以CeISC='（11分）

2∙4d∙5d8

即COSC=J"•（12分）

O

（用正弦定理将三边关系转化为角的关系、结合三倍角公式也可解决此问题）

另解：由2b=a+c得，2sin8=siM+sinC,................(1分)

即2(3SirL4-4sin3∕4)=SirL4+2siMcos4,................(5分)

VsinJ>0,化简得8cos2∕-2cos4-3=0,(2cos√l+l)(4COS力-3)=0,................(9

分)

V2cosJ+l>0,解得COSA=3，................(11分)

4

cosC=cos2A=^.....................(12分)

O

选②，不妨设a=〃-2,b=n,c=〃+2(〃23),且〃为奇数，.........(1分)

由正弦定理得平W-平之，n+2-2,得COSA=严'2................(5

sin2AsinA2sinAcosAsinA2(n-2)

分)

由余弦定理得CoSAjn+2)2+12-∖n-2)2=n+8,......................(9分)

2n(n+2)2n+4

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所以一避—=n+2,整理的（〃+8）（〃-2）=（n+2）2,所以〃=10,................

2（n+2）2（n-2）

（11分）

因为〃=10不为奇数，不合题意，故不存在奇数满足要求...........（12分）

,2.2_2

选③，∖'C=2A,sinC=sin2A=2sinAcosA=2sinA-~=———>..................（3分）

2bc

222

由正弦定理得c=2ae+c-a=/ɔɪ.....................1分）

2bcb、’

222・2a212χ∙a4b5

c+4a=4b,,**c=T--(zc÷-rc),∙,7^T,—二，.........

4b4boco

（11分）

ΛCOSC=4^...........（12分）

O

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计

算能力，是中档题.

15.（2021秋•虹口区校级期中）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，

最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点8处被台风折断旦形成120°角，树

尖C着地处与树根/相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设NClB=S（A,

B,C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）.

（1）若e=45°,求折断前树的高度（结果保留一位小数）；

（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由.

【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算.

【分析】（1）由题意结合正弦定理可得一蛆k=~^―=一电k，代入计算即

sinl5sin45sinl20

可；

（2）设448C的内接矩形。EFG的边。E在/C上且。£=2,设。G=£F=A,由/C/8

=θ,构建函数/∕=gsinθsin（可。"）,再结合0范围求得分范围，然后与救援车

sin60

高比较即可得到答案.