《17.1勾股定理》课件（三套）

人教版八年级（下）勾股定理一

毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。SA+SB=SCABCBAC图甲A的面积B的面积C的面积448SA+SB=SCC图甲1.观察图甲，小方格的边长为1.⑴正方形A、B、C的面积各为多少？⑵正方形A、B、C的面积有什么关系？毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。A、B、C的面积有什么关系？SA+SB=SCABC对于等腰直角三角形有这样的性质：两直边的平方和等于斜边的平方ABC图乙2.观察图乙，小方格的边长为1.⑴正方形A、B、C的面积各为多少？91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的面积有什么关系？448ABC图甲图甲图乙A的面积B的面积C的面积CSA+SB=SCAB图乙2.观察图乙，小方格的边长为1.91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的面积有什么关系？448ABC图甲图甲图乙A的面积B的面积C的面积abcabcCSA+SB=SCABCC图乙SA+SB=SCSA+SB=SC图甲abcabc.猜想a、b、c之间的关系？a2+b2=c2命题１：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2caba2+b2=c2aaaabbbbcccc用拼图法证明.a、b、c之间的关系a2+b2=c2∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2abS大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4·ab+c2=c2+2ab∴a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2+b2=c2证法一：abcS大正方形＝c2S小正方形＝（b-a）2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形弦图

现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧！证法二：黄实朱实朱实朱实朱实baacab经过证明被确认正确的命题叫做定理.cba用赵爽弦图证明勾股定理=ba1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。美国总统的证明证法三：aabbcc伽菲尔德证法:∴a2+b2=c2

勾股定理（gou-gu法则)如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。abc勾股弦在西方又称毕达哥拉斯定理耶！abc

两千多年前，古希腊有个哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955勾股世界国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前

两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。

我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。勾股史话

商高定理：

商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，所以在我国人们就把这个定理叫作“商高定理”。

商高定理就是勾股定理哦！毕达哥拉斯定理：

毕达哥拉斯

“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．

相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．

毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前572～前497），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年．

勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。cba公式变形c2=a2+b2a2=c2－b2b2=c2-a2课堂练习1、求下图中字母所代表的正方形的面积。225400A81225B6251442.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③做一做6255761441693、求出下列直角三角形中未知边的长度68x5x13解：（1）由勾股定理得：x2=36+64x2=100x2=62+82x=10∵x2+52=132∴x2=132-52x2=169-25x2=144x=12（2）由勾股定理得：比一比看看谁算得快！4.求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程.方法小结:8x171620x125xABCD7cm5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。4911请谈谈你的收获１、如图,一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为()A.3米B.4米C.5米D.6米C３４5或2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为___________.试一试:43ACB43CAB３、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为()2、4、6Ｃ4、6、8B试一试:Ｂ6、8、10Ｄ8、10、124、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的公元前方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?A1、判断题：

1)直角三角形三边分别为a,b,c，则一定满足下面的式子：a2+b2=c2()

2)直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5.()

××能力比拼17.1勾股定理ACB你对直角三角形有了哪些认识了呢？这幅图有什么特殊的含义吗？

相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数量关系进而发现直角三角形三边的某种数量关系．ABC

我们也来观察右图中的地面，你也能发现A、B、C面积之间有什么数量关系吗？（图中每个小方格代表一个单位面积）(1)正方形A中含有____

个小方格，即A的面积是

个单位面积．正方形B的面积是

个单位面积．正方形C的面积是

个单位面积．4484合作探究1ABC图2ABC图1结论：在图1中三个正方形A，B，C的面积之间数量关系是？SA+SB=SC

你能发现正方形A、B、C的面积之间有什么数量关系吗？ABC图32．观察右边两个图并填写下表：A的面积B的面积C的面积图316925合作探究2SA+SB=SC在图3中还成立吗？方法即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积ABC图3(1)式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?(2)那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是_____________。合作探究2abc

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．abc我们的猜想aaaabbbbcccc用拼图法证明.a、b、c之间的关系a2+b2=c2∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2abS大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4·ab+c2=c2+2ab∴a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2+b2=c2a2+b2+2ab证法一：证明猜想abcS大正方形＝c2S小正方形＝（b-a）2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形弦图

现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧！证法二：证法三：aabbcc伽菲尔德证法:∴a2+b2=c2

如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股弦在西方又称毕达哥拉斯定理耶！勾股定理（gou-gu法则)abcabc定理：经过证明被认为是正确的命题叫做定理.

勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。cba公式变形c2=a2+b2a2=c2－b2b2=c2-a2勾股史话

商高定理：

商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，所以在我国人们就把这个定理叫作“商高定理”。

商高定理就是勾股定理哦！毕达哥拉斯定理：

毕达哥拉斯

“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．

相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．

毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前572～前497），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年．课堂练习1、求下图中字母所代表的正方形的面积。225400A81225B6251442.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③做一做625576144169求出下列直角三角形中未知的边610ACB巩固反馈比一比看看谁算得快！求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程.方法小结:8x171620x125x

如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？4米3米回归生活小结变式训练ABCD7cm如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49再变式训练Let’ssaytogether在本节课中,我们……1.本节主线问题情境分析探究得出猜想总结应用证明归纳2.学习内容及方法

学习了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法.3.本节的数学思想

借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。4.学了本节课后我们有什么感想？

很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现.这节课我们还认识了两位伟大的数学家,受到了数学文化辉煌历史的教育。1.必做题：课本第113页，习题19.1第1,2题.2.选做题：课本第116页“阅读与思考”，了解勾股定理的多种证法.3.上网查阅了解勾股定理的发现和证明并写一篇关于关于它的小论文.作业１、如图,一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为()A.3米B.4米C.5米D.6米C３４5或2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AB＝３,则BC的长为___________.试一试:43ACB43CAB３、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为()A2、4、6Ｃ4、6、8B试一试:Ｂ6、8、10Ｄ8、10、124、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的公元前方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?A1、判断题：

1)直角三角形三边分别为a,b,c，则一定满足下面的式子：a2+b2=c2()

2)直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5.()

××能力比拼(1)求墙的高度?（精确到0.1米）解：∴AC=∵∠ACB=90°AB=3，BC=1==≈2.8(米)(2)若梯子的顶端下滑50厘米,底端将向外水平移动多少米?AA′BB′3m1mC∴AB2=AC2+BC2

有一架3米长的梯子靠在墙上,刚好与墙头对齐,此时梯脚B与墙脚C的距离是1米。探究117.1.1勾股定理勾股定理复习提问

1、任意三角形三边满足怎样的关系？2、对于等腰三角形，三边之间存在怎样的特殊关系？等边三角形呢？3、对于直角三角形，三边之间存在怎样的特殊关系？2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案。这个图案就是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”探索勾股定理

相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。CBA情景引入ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2（1）观察图1

正方形A中含有

个小方格，即A的面积是

个单位面积。

正方形B的面积是

个单位面积。正方形C的面积是

个单位面积。99918你是怎样得到C的面积的？与同伴交流交流。123（2）（3）探究活动一：ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2分割成若干个直角边为整数的三角形（单位面积）

返回ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2（单位面积）把C看成边长为6的正方形面积的一半

返回ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2（2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？（3）你能发现图1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？SA+SB=SC

即：以等腰直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积探究活动二：（1）观察右边两幅图：

（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：A的面积B的面积C的面积左图右图49169？？（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.

“割”“补”“拼”（4）分析填表数据，你发现了什么？

A的面积B的面积C的面积左图4913右图16925结论2

以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.议一议：（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？

（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

勾股定理（gou-gutheorem)如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。abc表示为：Rt△ABC中，∠C=90°则议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由：

(1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5(2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5.

(3)在Rt△ABC中，∠C=90°,如果a=3，b=4,则c=5.

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股探究活动分成四人小组，每个小组课前准备好4个全等的直角三角形和以直角三角形各边为边长的3个正方形（如右图）.

运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几种.图１图３图２方法一：而所以即，，..因为，方法二：，化简得：方法三：，化简得：1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③做一做625576144169比一比看看谁算得快！2.求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程.方法小结:8x171620x125x做一做CA.8米B.9米C.10米D.14米１、如图,一个长8