第9讲 变量之间的关系 七年级数学下册同步讲义

第9讲变量之间的关系

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1.一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，5=60/,

速度60千米/时是常量，时间f和里程S为变量∙f是自变量，S是因变量.

2.表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火

车的时刻表，平方表等.

3.关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.

4.图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要

角色.

般知识精讲

知识点01.常量与变量

（1）变量和常量的定义：

在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量.

（2）方法：

①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否

在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；

②常量和变量是相对于变化过程而言的.可以互相转化；

③不要认为字母就是变量，例如π是常量.

【知识拓展11（2021春•成华区期末）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化

而变化，在这个变化过程中，自变量是（）

A.汽车B.路程C.速度D.时间

【即学即练1】（2021秋•天长市月考）一本笔记本5元，买X本共付y元，则5和X分别是（）

A.常量，变量B.变量，变量C.常量，常量D.变量，常量

【即学即练2]（2021春•莱阳市期末）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内其

关系如表所示：

温度C-20-100102030

传播速度318324330336342348

（mis'）

则下列说法错误的是（）

A.自变量是传播速度，因变量是温度

B.温度越高，传播速度越快

C.当温度为10℃时，声音IOS可以传播3360，〃

D.温度每升高10℃,传播速度增加6m∕s

知识点02.函数关系式

用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式.

注意：

①函数解析式是等式.

②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数.

③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是X的函数，若写成x=-y+9就表示X是y的

函数.

【知识拓展2】（2021秋•成都期末）现有一小树苗高IOOtro,以后平均每年长高50cro.X年后树苗的总高

度y（c∕n）与年份X（年）的关系式是.

【即学即练1】（2021秋•龙口市期末）如图，在平面直角坐标系XQy中，以。为圆心，适当长为半径画弧,

交X轴于点4,交y轴于点再分别以点A,B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限

2

交于点C,若点C的坐标为（χ-2,2y）,则y与X的函数关系式为

【即学即练2】（2021秋•三水区期末）一辆车的油箱有80升汽油，该车行驶时每1小时耗油4升，则油箱

的剩余油量y（升）与该车行驶时间X（小时）（OWXW20）之间的函数关系式为.

【即学即练3】（2021秋•香洲区期末）某种产品今年的年产量是20f,计划今后两年增加产量.如果每年的

产量都比上一年增加X倍，两年后这种产品的产量y与X之间的函数表达式是.

【即学即练4】（2021秋•杜尔伯特县期末）如图所示，梯形的上底长是5c∕n,下底长是13a”.当梯形的高

由大变小时，梯形的面积也随之发生变化.

（1）在这个变化过程中，自变量是,因变量是.

（2）梯形的面积yCcm2）与高X（cm）之间的关系式为.

（3）当梯形的高由IOa"变化至U1。*时，梯形的面积由，变化到cm2.

【即学即练5］（2021秋•密云区期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm矩形的面积是Sa/A设矩形的宽

为XCto,当X在一定范围内变化时，S随X的变化而变化，则S与X满足的函数关系是（）

X

A.5=4x+6B.S=4x-6C.S=x2+3xD.S=X2-3X

【即学即练6］（2021秋•临漳县期末）某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，油箱中

的汽油大约消耗了工，如果加满汽油后汽车行驶的路程为X千米，油箱中剩余油量为y升，则y与X之

5

间的函数关系式是（）

A.y=0Λ2xB.y=60+0.12x

C.y=-60+0.12xD.y=60-0.12x

【即学即练7］（2021秋•滨海县期末）某商场为了增加销售额，推出“元月销售大酬宾”活动，其活动内

容为：“凡元月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠.”在大酬宾活

动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品X件（x>2）,则应付货款y（元）与商品件数X

的函数关系式是.

知识点03.函数的图象

函数的图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点

组成的图形就是这个函数的图象.

注意：①函数图形上的任意点（x,y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对尤、y的值，所对

应的点一定在函数图象上；③判断点P（x,y）是否在函数图象上的方法是：将点Py）的x、y的值代

入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点

就不在函数的图象上..

【知识拓展3]（2021秋•藜江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强

追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度/?（米）与小强出发后的时间r（分钟）的函数关系如图

所示，下列结论正确的是（）

A.爷爷比小强先出发20分钟

B.小强爬山的速度是爷爷的2倍

C./1表示的是爷爷爬山的情况，/2表示的是小强爬山的情况

D.山的高度是480米

【即学即练1]（2021秋•长丰县期末）小明上午8：00从家里出发，跑步去他家附近的抗日纪念馆参加抗

美援朝70周年纪念活动，然后从纪念馆原路返回家中，小明离家的路程y（米）和经过的时间X（分）

之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（）

B.小明从家到纪念馆的平均速度为180米/分

C.小明在纪念馆停留45分钟

D.小明从纪念馆返回家中的平均速度为100米/分

【即学即练2]（2021秋•大东区期末）疫苗接种，利国利民.甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫

苗.甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种.甲地经过。天后接种人数达到30

万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间

内，甲、乙两地的接种人数y(万人)与各自接种时间X(天)之间的关系如图所示，当乙地完成接种任

【即学即练3](2021秋•南岸区期末)一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km∕h的平均速度行驶4∕ι到

达目的地，并按照原路返回甲地.

(1)返回过程中，汽车行驶的平均速度V与行驶的时间f有怎样的函数关系？

(2)如果要在3〃返回甲地，求该司机返程的平均速度；

(3)如图，是返程行驶的路程S(km)与时间t(A)之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以

平均速度为85km∕h的速度回到甲地.求该司机返程所用的总时间.

【即学即练4](2021秋•徐汇区校级期末)某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进

行空中加油.在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为。吨，加油飞机的加油箱余油量为0吨，加

油时间为f（分），Q1、。2与f之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：

（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了一吨油；运输飞机的油箱有余油量一吨油；

（2）这些油全部加给运输飞机需一分钟；

（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟一吨油；

（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行一小时.

【即学即练5]（2021秋•沛县期末）小明爸爸开车从单位回家，沿途部分路段正在进行施工改造，小明爸

爸回家途中距离家的路程）如“与行驶时间xmin之间的函数关系如图所示.结合图象，解决下列问题：

（1）小明爸爸回家路上所花时间为min；

（2）小明爸爸说：“回家路上，有一段路连续4分钟恰好行驶了2.4千米.”你认为该说法有无可能？若

有，请求出这4分钟的起止时间；若没有，请说明理由.

【即学即练6]（2021秋•龙凤区校级期末）如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地

行驶过程的图象，两地间的距离是80h〃，请你根据图象解决下面的问题.

（1）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？

（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？

（3）若用y表示自行车行驶过的路程，用X表示自行车行驶过的时间，写出y与X的关系.

知识点04.动点问题的函数图象

函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题,

还可以提高分析问题、解决问题的能力.

用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

【知识拓展4】（（2021秋•东阳市期末）已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线/上，且点C与点

B重合，如图①所示.AABC固定不动，将B'C在直线/上自左向右平移.直到点B'移动到与

点C重合时停止.设B'C移动的距离为X,两个三角形重叠部分的面积为y,y与X之间的函数

关系如图②所示，则4ABC的直角边长是（）

【即学即练1】（2021秋•龙岩期末）如图，正方形ABC。的边长为2,点E和点尸分别在BC和CO上运动,

且保持NE4F=45°.若设BE的长为x,E尸的长为户则y与X的函数图象是（)

【即学即练2】（2021秋•沛县期末）如图1,在矩形ABCf）中，点尸从点C出发，沿C-O-A-B方向运

动至点B处停止.设点P运动的路程为X,Z∖P8C的面积为y,已知y关于X的函数关系如图2所示，

则长方形ABC。的面积为（）

【即学即练3］（2021秋•金湖县期末）如图（1）,ZUBC和AAEC是两个腰长不相等的等腰直角三角形，

其中，NA=/4=90°.点B、C、B、C都在直线/上，AABC固定不动，将AAbC在直线/上自左

向右平移，开始时，点。与点3重合，当点8移动到与点C重合时停止.设4AbC移动的距离为X,两

个三角形重叠部分的面积为y,y与X之间的函数关系如图（2）所示，则8C的长是—.

A

图⑴图⑵

【即学即练4】(2021秋•龙华区期末)如图I,动点P从长方形ABe。的顶点4出发，沿A-C-。以lcτn∕s

的速度运动到点。停止.设点P的运动时间为X(s),△/¾B的面积为y(S?).表示>与X的函数关系

的图象如图2所示，则长方形ABC。的面积为C"P.

函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法.

其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式

法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然;

图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律.

注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化.

【知识拓展5](2021秋•紫金县期末)在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度(h)与下滑

的时间(力的关系如下表：

支撑物高∕z(cm)1020304050…

下滑时间f(s)3.253.012.812.662.56…

以下结论错误的是()

A.当力=40时，r约2.66秒

B.随高度增加，下滑时间越来越短

C.估计当A=8Oa〃时，f一定小于2.56秒

D.高度每增加了IOC∕n,时间就会减少0.24秒

【即学即练1]（2021秋•肇源县期末）河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车

行驶路程S（千米）有如下关系：

行驶路程S（千米）050100150200…

剩余油量Q（升•）4035302520…

则该汽车每行驶100千米的耗油量为—升.

【即学即练2]（2021春•富平县期末）在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好

奇的王红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（10（ΓC）,王红家只有

刻度不超过IO（TC的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔IOs测量

一次锅中油温，测量得到的数据如下表：

时间t!s010203040

油温y∕°C1030507090

王红发现，烧了IlOS时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（）

A.加热10s,油的温度是30℃

B.在一定范围内，每加热10s,油的温度升高20°C

C.估计这种食用油的沸点温度约是230°C

D.加热50s,油的温度是100℃

知识点06.分段函数

（1）一次函数与常函数组合的分段函数.

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数.（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意自变量取值范

围的划分，既要科学合理，又要符合实际.）

（2）由文字图象信息确定分段函数.

根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：

①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量.

②关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标.

③在实际问题中，要注意图象与X轴、y轴交点坐标代表的具体意义.

【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点

1.自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示.

2.当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与

X轴的夹角就越大.

3.各个分段中，准确确定函数关系.

4.确定函数图象的最低点和最高点.

【知识拓展6］（2021春•滦南县期末）在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：

信件质量机/g0<m≤2020<zn≤4040≤m≤6060<∕n≤80

邮资W元1.202.403.604.80

某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（）

A.4.80B.3.60C.2.40D.1.20

【即学即练1］（（2021•永州）已知函数°^X<1,若y=2,贝IJX=—.

2χ-2,x≥1

【即学即练2］（（2021•锡山区校级模拟）某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离X,单位：公里.

乘车距离Xx≤66≤x≤1212≤x≤2222≤x≤32x>32

票价（元）3456每增加1元可乘20公里

另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后,

超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折.小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，

每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时,

她刷卡支出的费用是一元.

GS能力拓展

【考点1］：用表格表示变量间关系

例题1.（2020•山东济南市•七年级期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了

耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：

汽车行驶时间t（h）0123

油箱剩余油量Q（L）100948882

①根据上表的数据，请你写出Q与■的关系式；

②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少；

③该品牌汽车的油箱加满50L,若以IOokm/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远.

【变式1】（2019•广东深圳市•七年级期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数X（人）与每

月利润（利润=收入费用-支出费用）＞（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）；

X（人）50010001500200025003000•••

y（元）-3000-2000-1000010002000•••

（1）在这个变化过程中，是自变量，是因变量；（填中文）

（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损；

（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为元？

（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达人.

【变式2】（2020.辽宁丹东市.七年级期末）某路公交车每月有X人次乘坐，每月的收入为丁元，每人次乘坐

的票价相同，下面的表格是y与X的部分数据.

M人次50010001500200025003000

y/元1000200040006000

（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）请将表格补充完整.

（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到IOoOO元，则每月乘坐

该路公交车要达到多少人次？（利润=收入一支出费用）

【考点2】：用关系式表示变量间关系

例题2.（2020•甘肃酒泉市•七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm,交叉重叠部分的圆的直

径为0.8cm.

（1）观察图形，填写下表:

链条的节数/

234

节

链条的长度

/cm

（2）如果X节链条的长度是y,那么y与X之间的关系式是什么？

（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安

装后）总长度是多少？

【变式1】（2020•江西九江市♦七年级期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的端固定，在其下端悬挂物体,

下面是测得的弹簧的长度y（αn）与所挂物体的质量x（依）的一组对应值:

所挂物体的质量M版）012345

弹簧长度y（cm）182022242628

（1）在这个变化的过程中，自变量是；因变量是

（2）写出y与X之间的关系式，并求出当所挂重物为6打时，弹簧的长度为多少？

【变式2】（2020•甘肃酒泉市•七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm,交叉重叠部分的圆的

直径为0.8cm.

（I）观察图形，填写下表:

链条的节数/节234

链条的长度/cm

（2）如果X节链条的长度是y,那么y与X之间的关系式是什么？（3）如果一辆某种型号自行车的链条

（安装前）由6（）节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？

【考点3】：用图象表示变量间关系

例题3、（2020•四川达州市•七年级期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达

起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑.当小明出发时，朱老师已经距起点200米了.他们距起点的

距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）.据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）在上述变化过程中，自变量是,因变量是；

（2）朱老师的速度为米/秒，小明的速度为米/秒；

（3）当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？

O70110t（秒）

【变式1】（2020・四川达州市•七年级期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到

达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑.当小明出发时，朱老师已经距起点200米了.他们距起点

的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）.据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）在上述变化过程中，自变量是,因变量是；

（2）朱老师的速度为米/秒，小明的速度为米/秒；

（3）当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？

【变式2】（2020•贵州毕节市•七年级期末）如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与

距离之间的关系的一幅图.

（1）下图反映了哪两个变量之间的关系？

（2）爷爷从家里出发后20分钟到30分钟可能在做什么？

（3）爷爷每天散步多长时间？

（4）爷爷散步时最远离家多少米？

（5）分别计算爷爷离开家后的20分钟内、30分钟内、45分钟内的平均速度.

【变式3】（2021•山东聊城市•七年级期末）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎

新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增

确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确

诊人数呈下降趋势，其中正确的是..（填上你认为正确的说法的序号）

A新馆确诊人数（除湖北省）

SOO

700

500

400

300

200

100

010101/01/01/01,01/01/01/02/时间

/15/171921232527293102

f∣i分层提分

题组A基础过关练

一.选择题（共5小题）

1.（2021秋•龙泉驿区期末）小亮放学回家走了一段，发现一家新开的店在搞活动，就好奇地围观了一会,

然后意识到回家晚了妈妈会着急，急忙跑步回到家.若设小亮与家的距离为s（米），他离校的时间为t

（分钟），则反映该情景的图象为（）

2.（2021秋•丰台区期末）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止.若用〃（单位:

cm）表示容器底面到水面的高度，用U（单位：cw?）表示注入容器内的水量，则表示M与〃的函数关

系的图象大致是（）

3.（2021秋•毕节市期中）油箱中存油60升，油从油箱中均匀流出，流速为0.3升/分钟，则油箱中剩余油

量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（）

A.Q=O.3fB./=60-0.3βC.f=0.3QD.。=60-0.3f

4.（2021秋•济阳区期中）一水池的容积是90〃?，现有蓄水IO”，，用水管以5//〃的速度向水池注水，直

到注满为止.则水池蓄水量V（AT?）与注水时间t（A）之间的函数关系式为（）

A.V=5tB.V=IOrC.V=5r+10D.V=80-5t

5.（2021秋•无棣县期中）己知关于X与y之间的关系如表所示：

X1234…

y5+0.610+1.215+1.820+2.4…

下面用的式子中，正确的是（）

A.y=5x+0∙6B.y=（5+0.6）xC.y=5+0.6xD.y=5+0.6+x

二.填空题（共3小题）

6.（2021秋•成都期末）现有一小树苗高IOOC相，以后平均每年长高50c”?.X年后树苗的总高度y（Cm）与

年份X（年）的关系式是.

7.（2021秋•福田区期末）元旦期间，大兴商场搞优惠活动，其活动内容是：凡在本商场一次性购买商品超

过100元者，超过100元的部分按8折优惠.在此活动中，小明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒

XCx>2）件，则应付款y（元）与商品数X（件）之间的关系式，化简后的结果是.

8.（2021秋•李沧区期中）如图，甲、乙两地相距120h",现有一列火车从乙地出发，以80hM∕z的速度向

丙地行驶.设x（〃）表示火车行驶的时间,y（km）表示火车与甲地的距离，写出X,y之间的关系式.

甲乙丙

JI--------»SO千米/时）［IJ

≡.解答题（共4小题）

9.（2021春•庄河市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（0,3）,点C坐标为（6,0）,AB∕∕x

轴，且OA=A动点P从点O出发以2个单位/秒的速度沿O-A-B-C的路线匀速运动，运动到点C

时终止.过点P作PQJ_x轴，垂足为。，设点P的运动时间为X（S）,线段尸。的长为y.

（1）求NC的度数：

（2）求y与X的函数关系式.

10.（2021•罗庄区一模）经过实验获得两个变量X（x>0）,y（y>0）的一组对应值如表.

xl23456

y6321.51.21

（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式.

（2）点A（xι,yι）,B（x2.”）在此函数图象上.若xι<x2,则yι,”有怎样的大小关系？请说明理

⅛.

H.（2021•寻乌县模拟）数学活动课上，老师提出问题：如图1,有一张长4力”，宽3力〃的长方形纸板，在

纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长

为多少时，盒子的体积最大（已知长方体的体积=长X宽X高）.

下面是探究过程，请补充完整：

（1）设小正方形的边长为X而7,体积为K加3,y和X的关系式是；自变量X的取值范围是

(2)①列

图1

xldm∙∙∙ɪɪɜɪ5311.ə_5

848~28^48^8

y∕dnτl-1.32.22.732.82.51.50.9

②描点：根据表中的数值，继续描出2中剩余两个点（x,y）；

③在平面直角坐标系中用平滑的曲线画出该函数的图象.

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当图1中小正方形的边长约为时，盒子的体积最大,

最大值约为dm3（结果精确到0.01）.

12.（2020•南山区校级开学）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利

润=收入费用-支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：

X(人)50010001500200025003000•••

y(元)-3000-2000-1000010002000・・・

(I)在这个变化过程中，是自变量，是因变量；

(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损；

(3)由表格猜想y与X关系式，并估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元?

(4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达人.

题组B能力提升练

易错点一：常量、变量（自变量、因变量）基本概念认识

1.（2020•山东济南市•七年级期末）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这

一问题中，因变量是（）

A.沙漠B.体温C.时间D.骆驼

2.（2020•贵州毕节市•七年级期末）甲以每小时20km的速度行驶时，他所走的路程S（km）与时间t（h）

之间可用公式s=20t来表示，则下列说法正确的是（）

A.数20和s,t都是变量B.S是常量，数20和t是变量

C.数20是常量，S和t是变量D.t是常量，数20和S是变量

易错点二：列表法表示变量之间的关系

1.（2020•山东青岛市•七年级期末）某品牌热水壶的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了

调查，结果如下：

定价/元708090100110120

销量/把801001101008060

现销售了105把水壶，则定价约为（）

A.115元B.105元C.95元D.85元

2.（2020•山东济南市•七年级期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了

耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：

汽车行驶时间t（h）0123•••

油箱剩余油量Q（L）100948882…

①根据上表的数据，请你写出。与t的关系式；②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少:

③该品牌汽车的油箱加满50L,若以IOOkm/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远.

3.（2020•山东荷泽市•七年级期末）在建设社会主义新农村过程中，某村委决定投资开发项目，现有6

个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：

所需资金（亿元）124678

预计利润（千万元）0.20.350.550.70.91

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）如果预计要获得0.9千万元的利润，你可以怎样投资项目？

（3）如果该村可以拿出10亿元进行多个项目的投资，预计最大年利润是多少？说明理由.

易错点三：关系式表示变量之间的关系

1.（2020•河北石家庄市•八年级期中）汽车开始行驶时，油箱中有油30升，如果每小时耗油5升，那么

油箱中的剩余油量N（升）和工作时间》（时）之间的函数关系式是—，自变量的取值范围—.

2.（2020•张家口市第十九中学七年级期中）某次实验中，测得两个变量m和V之间的4组对应值如表，

则m与之间的关系接近于下列各式中的（）

m1234

V0.012.908.0215.10

A.v=2mB.v=m2-1C.v=3m+lD.v=3m-l

3.（2020•丹东市第二十九中学）如图，长方形ABCD的边长分别为AB=12cm,ΛD=8cm,点P、Q从点A出发,

P沿线段AB运动，点Q沿线段AD运动（其中一点停止运动，另一点也随着停止），设AP=AQ=XCnl在这个变

化过程中，图中阴影部分的面积y（cn?）也随之变化.（1）写出y与X的关系式（2）当AP由2cm变到8cm,

图中阴影部分的面积y是如何变化的？请说明理由

ApB

4.（2020•安徽淮北市•）某广场用如图1所示的同一种地砖拼图案，第一次拼成的图案如图2所示，共用

地砖4块；第2次拼成的图案如图3所示，共用地砖4+2x4=12；第3次拼成的图案如图4所示，共用

地砖4+2x4+2*6=24,….

图I图2图3图4

（1）直接写出第4次拼成的图案共用地砖________块；

（2）按照这样的规律，设第〃次拼成的图案共用地砖的数量为y块，求y与〃之间的函数表达式

易错点四：根据实际信息判断函数图象

1.（2020•广东佛山市•七年级期末）一辆公共汽车从车站开出，加速一段时间后开始匀速行驶，过了一

段时间，发现没多少油了，开到加油站加了油，几分钟后，又开始匀速行驶.下面哪一幅图可以近似刻画

易错点五：行程问题中的变量关系

1.（2020•四川成都市•成都实外七年级期中）早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途

中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇

后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟后妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/

分的速度步行，小刚和妈妈的距离y（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间t（单位：分）之间的函数

关系如图，下列四种说法：①打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米；

②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校；③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为15（）米/分；

④小刚家与学校的距离为2550米.其中正确的有.（在横线上填写正确说法的序号）.

易错点六：打折销售、水电费等类型中的变量关系

1.（2020•陕西榆林市•榆林十二中七年级期中）由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图

是某水库的蓄水量V（万立方米）与干旱持续时间t（天）之间的关系图，请根据此图，回答下列问题：

（1）该水库原蓄水量为多少万立方米？持续干旱10天后，水库蓄水量为多少万立方米？

（2）若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报，请问持续干旱多少天后，将发出严重干

旱警报？（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？

IOOO

800

600

400

200

2.（2020•成都市•七年级期末）成都市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费;

第一档：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费；第二档：每月用电超过180度但不足280度时，

其中超过部分按每度0.6元计费；第三档：280度以上时，超出部分按每度0.8元计费.（1）若李明家1月

份用电160度应交电费元，2月份用电200度应交电费元.（2）若设用电量为X度，应交电费为

y元，请求出这三档中y与X的关系式.并利用关系式求交电费108元时的用电量.

易错点七：几何图形中动态问题的变量关系

1.（2020•山东青岛市•七年级期末）如图，在长方形ABC。中，动点P从A出发，以相同的速度，沿

A-B-C-O-A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为X,APCO的面积为y,如果y与X之间的

关系如图所示，那么长方形ABC。的面积为（）

ʌ.12B.24C.20D.48

题组C培优拔尖练

一、单选题

1.（2020.济南外国语学校七年级期末）星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速

走了60min后回家，图中的折线段OA-AB-BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）

之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（）

2.（2017∙云南楚雄彝族自治州•七年级期末）如图表示的是汽车在行驶的过程中，速度随时间变化而变化的

情况.

速度/(km/h)

时间/分

（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？

（2）汽车在那些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？

（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？

（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.

3.（2020.广东梅州市.七年级期末）如图①所示，在AABC中，4力是三角形的高，且AO=6cm,E是一

个动点，由B向C移动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知8C=8cm.

（1）求当E点在运动过程中aABE的面积ʃ与运动时间X之间的关系式；

（2）当E点停止后，求A