导数及其应用-五年（2018-2022）高考数学真题汇编

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编5-导数及其

应用（含解析）

一、单选题

1.（2022・全国•统考高考真题）当x=l时，函数f（X）=∙nx+2取得最大值_2,则∕,（2）=

X

（）

A.—IB.――C.ɪD.1

2.（2022.全国•统考高考真题）函数/（x）=COSX+（x+l）SinX+1在区间［0,2π］的最小值、

最大值分别为（）

ππ3ππCπ兀CC3ππc

A.——，一B.-----‘，一C.——,-+2D.——，一+2

22222222

,上泊=CoSLC=4si∕,

3∙（2022∙全国•统考高考真题）己知C则（）

3244

A.ob>aB.b>c7>CC.a>b>cD.a>c>b

4.（2022,全国•统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上

若该球的体积为36］，且3≤∕≤3√L则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A.18,—B.—C.—D.[18,27]

_4JL44_L43J

5.(2022•全国•统考高考真题)设α=0.1e'"∕=t

，c=-In0.9,则()

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<b

?+!，g(x)=sinx,则图象为如图的函

6.(2021・浙江•统考高考真题)已知函数/(X)=入

4

数可能是()

_7LoI7Lx

a∙y=f(χ)+g*Tb∙y=/*)—g(x)一；

v=l∞

C.y=f(χ)g(χ)D.

ʃ(ɪ)

7.(2021.全国.统考高考真题)设4#0,若x="为函数f(x)=α(x-ap(x-∕>)的极大

值点，则（）

A.a<hB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

8.（2021.全国.统考高考真题）若过点（。,力）可以作曲线y=e'的两条切线，则（）

A.eb<aB.ea<b

C.O<a<ehD.O<⅛<efl

9.（202。全国•统考高考真题）若直线/与曲线广五和]2+y2=（都相切，则/的方程为

（）

A.y=2x+∖B.y=2x+yC.y=^-χ+∖D.y=+g

10.（2020•全国•统考高考真题）函数/（幻=--2丁的图像在点（1,/⑴）处的切线方程为

（）

A.y=-2x-↑B.y=-2x+↑

C.y=2x-3D.y=2x+l

11.（2019・天津・高考真题）已知αeR,设函数/（X）=卜~2ax+2a'&]，若关于X的

x-a∖nx9x>∖,

不等式/（X）∙∙O在R上恒成立，则”的取值范围为

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[∖,e]

12.（2019・全国・高考真题）曲线y=2Sinx+COSΛ在点（n,T）处的切线方程为

A.X-y-π-∖=0B.2x-γ-2π-l=0

C.2x+γ-2π+l=0D.x÷y-π+l=0

13.（2019∙全国•统考高考真题）已知曲线y=ge'+xlnx在点（1,。G）处的切线方程为

y=2x+bf贝IJ

i

A.a=e,h=-lB.a=e9h=iC.a=e∖b-1D.a=e~,b=-∖

14.（2018・浙江•高考真题）已知%成等比数列，且

a}+02+03+α4=ln（α1+a2+a3）.若α∣>l,则

A.q<%,%v%B.aλ>a3,a2<a4C.ax<a3,a2>a4D.aλ>a3,a2>a4

15.（2018•全国•高考真题）设函数/（H=/+.-1）/+,—若〃χ）为奇函数，则曲线

y=∕（χ）在点（0,0）处的切线方程为（）

A.y=-2xB.y=rC.y=2xD.V=X

16.（2018•全国•高考真题）函数'=-/+/+2的图像大致为

二、多选题

17.(2022•全国•统考高考真题)已知函数F(X)=Sin(2x+防(0<∕<π)的图像关于点

(年，。)中心对称，则()

A./(x)在区间(0,U单调递减

B./(x)在区间午)有两个极值点

C.直线X=?是曲线y=f(χ)的对称轴

O

D.直线y=E-x是曲线y=∕(x)的切线

18.(2022•全国•统考高考真题)己知函数f(x)=V-x+l,则()

A.AX)有两个极值点B.F(X)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=F(X)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=∕(x)的切线

19.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(x)及其导函数f(X)的定义域均为R,记

g(x)=f'(x),若/(∣-2x),g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g(-[=°C./(-1)=/(4)D.g(T)=g(2)

三、填空题

20.(2022・全国•统考高考真题)已知x=x∣和X=X2分另IJ是函数/O)=2α'-ex?(。>0且

a≠↑）的极小值点和极大值点.若王＜々，则α的取值范围是.

21.（2022•全国•统考高考真题）若曲线y=（x+α）e＞有两条过坐标原点的切线，则α的

取值范围是.

22.（2021.全国.统考高考真题）已知函数/（幻=卜-“,再＜0,%＞。，函数Ax）的图象

在点AaJ（XJ）和点B（X2,∕（9））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，

则提取值范围是______-

IHNI

23.（2021.全国.统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数

/（X）：----------------

①/（∙M⅛）=rα）/（W）；②当xe（0,+oo）时，∕,（x）＞0;③/'（X）是奇函数.

24.（2021•北京•统考高考真题）己知函数/（χ）=∣IgXl-H-2,给出下列四个结论:

①若&=O，/O）恰有2个零点；

②存在负数晨使得/（x）恰有1个零点；

③存在负数3使得/O）恰有3个零点；

④存在正数3使得/（x）恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

ɔV—1

25.（2021•全国•统考高考真题）曲线丫=三一在点（T-3）处的切线方程为.

26.（2021•全国•统考高考真题）函数/（x）=∣2x-1|-2InX的最小值为.

27.（2020•江苏・统考高考真题）在平面直角坐标系Xo），中，已知喈,0）,A,8是圆C：

x2+（y-g）2=36上的两个动点，满足P4=P3,则△用B面积的最大值是.

28.（2020∙全国•统考高考真题）设函数/（X）=工.若/⑴=；,则“=.

29.（2020•全国•统考高考真题）曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的

方程为.

30.（2019・天津・高考真题）曲线y=cosx-∙∣在点（0,1）处的切线方程为.

31.（2019•全国•高考真题）曲线y=3（∕+χ）e∙'在点（0,0）处的切线方程为.

32.（2019•江苏•高考真题）在平面直角坐标系XOy中，点A在曲线y=hιr上，且该曲线

在点A处的切线经过点（-e,-l）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是一.

4

33.（2019∙江苏•高考真题）在平面直角坐标系XOy中，P是曲线y=x+-（x＞0）上的一

个动点，则点P到直线χ+y=O的距离的最小值是.

34.(2018•全国•高考真题)曲线》=(以+l)e'在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则

a=.

35.(2018•全国•高考真题)曲线y=21nx在点(1,0)处的切线方程为.

36.(2018•江苏高考真题)若函数/(x)=2χ3一加+l(αeH)在(0,e)内有且只有一个

零点，则f(x)在［-15上的最大值与最小值的和为.

37.(2018•全国高考真题)已知函数"x)=2SinX+sin2x,则/(x)的最小值是

38.(2018・全国•高考真题)曲线y=2M(x+l)在点(0,0)处的切线方程为.

39∙(2018∙天津•高考真题)已知函数/)=ex∕,m尸⑴为段)的导函数，则广⑴的值为

四、解答题

40.(2022•天津•统考高考真题)已知”,b∈R,函数/(x)=∕-asinx,g(x)=∕√7

(1)求函数y=∕(x)在(OJ(O))处的切线方程;

⑵若y=/(χ)和y=g(χ)有公共点,

(i)当α=0时，求匕的取值范围;

(ii)求证:a2+b2>e.

41.(2022・北京・统考高考真题)已知函数/(x)=e'ln(l+x).

(1)求曲线)，=/(X)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=rCr),讨论函数g(x)在［0,+∞)上的单调性；

(3)证明：对任意的s"e(O,+∞),有/(s+f)>/(S)+/⑺.

42.(2022•浙江•统考高考真题)设函数/(x)=F∙+lnx(x>0).

Ix

⑴求/*)的单调区间：

⑵已知α,heR,曲线y=/(X)上不同的三点(XJa)),仁J(X2))，(wJ(X3))处的切线

都经过点(“∕)∙证明:

(i)若α>e,则0<8-∕(α)<

2Q-a112e-a

(ii)右0<α<e,XQ2<x3,则二百<三+工<厂京∙

(注：e=2.71828是自然对数的底数)

43.(2022.全国•统考高考真题)已知函数/(X)=Xe"-e"

(1)当“=1时，讨论F*)的单调性；

(2)当x>0时，/(X)<-1,求。的取值范围;

111,,,、

(3)设“eN",证明：,+/、，c++/，>ln("+l).

√12+1√2-+2√w2+n

44.(2022・全国•统考高考真题)已知函数/(x)=Or-L-(α+l)lnx.

X

(1)当α=0时，求/(X)的最大值；

(2)若/(x)恰有一个零点，求。的取值范围.

45.(2022•全国•统考高考真题)已知函数Ax)=/—χ,g(χ)=d+a,曲线y=∕(x)在点

(再"(%))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

⑴若再=-1,求。；

(2)求α的取值范围.

46.(2022•全国•统考高考真题)已知函数〃X)=£-lnx+x-“.

⑴若/(x)20,求〃的取值范围；

(2)证明：若/(x)有两个零点芭,占，贝也占<1.

47.(2022・全国•统考高考真题)已知函数/(x)=In(I+x)+0xe-'

(1)当α=l时，求曲线y=∕(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)若〃x)在区间(-1,0),(0,E)各恰有一个零点，求”的取值范围.

48.(2022•全国•统考高考真题)已知函数F(X)=必和g(x)=or-InX有相同的最小

值.

⑴求a∙,

(2)证明：存在直线y=6,其与两条曲线y=f(χ)和y=g(χ)共有三个不同的交点，并且

从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

49.(2021・天津•统考高考真题)已知4>0,函数f(x)=Or-Xe'.

(I)求曲线y=∕(x)在点(OJ(O))处的切线方程：

(II)证明fO)存在唯一的极值点

(III)若存在“，使得/(x)V"+b对任意XWR成立，求实数方的取值范围.

50∙(2021∙全国•统考高考真题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一

个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，

该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁

殖下一代的个数，P(X=i)=p,(i=(U,2,3).

(1)已知Pi)=O.4,Pl=O.3,p?=0.2,P3=0.1,求E(X)；

(2)设夕表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于X的方程：

P°+Pd+P2∕+P3χ3=x的一个最小正实根，求证:当E(X)≤1时，P=I,当E(X)>1

时，P<l;

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

51.(2021.全国•统考高考真题)已知函数/(x)=(X-I)e'-0√+6.

(1)讨论F(X)的单调性;

(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)只有一个零点

1«2

@—<a≤—,b>2a;

22

(2)0<a<-,b≤2a.

2

3-2r

52.(2021・北京・统考高考真题)已知函数/(x)=jW∙

(1)若4=0,求曲线y=∕(χ)在点(1,/。))处的切线方程；

(2)若/(χ)在A-I处取得极值，求”χ)的单调区间，以及其最大值与最小值.

53.(2021•浙江•统考高考真题)设m6为实数，且α>l,函数〃X)=优-版+e2(x∈R)

(1)求函数〃x)的单调区间;

(2)若对任意b>2∕,函数/(%)有两个不同的零点，求”的取值范围；

()当“时，证明：对任意函数)有两个不同的零点满

3=eb>e',“X％,Λ2,(Λ⅛>XI),

口b∖nbe2

足>刀丁工1÷^Γ∙

2eb

(注：e=Z71828…是自然对数的底数)

54.(2021•全国•统考高考真题)已知抛物线C:V=2刀(p>0)的焦点为尸，且尸与圆

M:x'+(y+4y=1上点的距离的最小值为4.

(1)求

(2)若点尸在M上，PA依是C的两条切线，A,B是切点，求z√¾B面积的最大值.

55.(2021.全国•统考高考真题)设函数f(x)=ln(α-x),已知x=()是函数y=0∙(x)的

极值点.

(1)求4;

Y4-f(

(2)设函数g(x)=证明：g(x)<L

Λ7^(X)

56.(2021•全国•高考真题)设函数/(x)=α*+αr-3inx+l,其中α>0.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若y=y(x)的图象与X轴没有公共点，求α的取值范围.

57.(2021•全国•统考高考真题)已知α>0且函数/(x)=^(x>0).

ax

(1)当α=2时，求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y=∕(χ)与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取值范围.

58.(2021•全国•统考高考真题)已知函数/(x)=χ3-χ2+αx+ι.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.

59.(2021.全国.统考高考真题)已知函数/(x)=MITnX).

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设α,b为两个不相等的正数，且“nα-αln8=a-6,证明：2<1+:<e.

ab

60.(2020・天津•统考高考真题)已知函数.F(X)=XlAlnx(ZeR),/'(X)为/(X)的导函

数.

(I)当《=6时，

(i)求曲线y=∕(χ)在点(1,7(1))处的切线方程；

9

(ii)求函数g(χ)=∕(χ)-∕(χ)+-的单调区间和极值；

X

(II)当k..-3时，求证：对任意的为,/e[l,+00),且外>%，有

/'(3)+/'(々))/(3)-/(々)

2x1-X2

61.(2020・北京•统考高考真题)已知函数/(x)=12--.

(I)求曲线y=/(χ)的斜率等于-2的切线方程;

(II)设曲线y=f(χ)在点(rj(f))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(r),求

S(r)的最小值.

62.(2020・浙江•统考高考真题)已知l<αV2,函数/(x)=e'-x-α,其中e=2.71828...

为自然对数的底数.

(I)证明：函数y=∕(χ)在(0，+8)上有唯一零点;

(II)记初为函数y=∕(χ)在(0，+8)上的零点，证明：

(i)∖∣a-1≤x0≤J2(α-1)；

(ii)∙⅛∕(e频)N(e-l)(α-l)α.

63.(2020・海南•高考真题)已知函数/(x)="ei-lnx+ln”.

(1)当α=e时，求曲线y=f(x)在点(1J(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面

积；

(2)若不等式/(x)≥l恒成立，求α的取值范围.

64.(2020•江苏•统考高考真题)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图

如图所示：谷底。在水平线MN上，桥AB与MV平行，。。'为铅垂线(O'在AB上).

经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离用(米)与D到OO'的距离。(米)之间满

足关系式4=如;右侧曲线B。上任一点F到MN的距离与(米)与F到。。'的距离伙米)

之间满足关系式鱼=-工尸+6b.己知点B到OO'的距离为40米.

(1)求桥AB的长度；

(2)计划在谷底两侧建造平行于。0'的桥墩CQ和EF,且CE为80米，其中C,E在

3

AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价六(万元)(Q0).问O'E

为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？

65.(2020江苏•统考高考真题)已知关于X的函数y=∕(x),y=g(x)与

∕7(x)=kx+b(k,人∈R)在区间。上恒有/(x)>h(x)Ng(x).

(1)若/(x)=χ2+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-∞,+∞),求/G)的表达式；

(2)若/(x)=XZi-X+1,g(x)=&lnx,h(x)=kx-k,D=)(0»+∞),求)的取值范围;

(3)若

4232

f(x)=x-2x,g(x)=4f_8,∕z(χ)=4(Z-∕)X-3√+2Z(0<∣∕∣≤√2),

Q=1∙V∑,∙^],求证：n-m≤s∕l.

66.(2020∙全国•统考高考真题)设函数/(x)=χ3+zw+c,曲线y=∕(x)在点弓，人表)

处的切线与y轴垂直.

(1)求4

(2)若/(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：/(x)所有零点的绝对值都不大于1.

67.(2020.全国•统考高考真题)已知函数/(x)=χ3-h+/.

(1)讨论/O)的单调性；

(2)若/(χ)有三个零点，求左的取值范围.

68.(2020•全国•统考高考真题)已知函数/(x)=e*-α(x+2).

(1)当“=1时，讨论/3的单调性；

(2)若/(x)有两个零点，求〃的取值范围.

69.(2020.全国.统考高考真题)已知函数/(x)=e'+αχ2-χ.

(1)当α=l时，讨论/(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥y√+I,求α的取值范围.

70.(2020•全国•统考高考真题)已知函数J'(x)=21IU+1.

(1)若/(x)<2x+c,求C的取值范围；

(2)设时，讨论函数g(%)=AX)二7®的单调性.

x-a

71.(2020.全国•统考高考真题)已知函数於)=si∏2χsin2r.

(1)讨论7U)在区间(0,Tr)的单调性;

(2)证明：∣f(χ)∣≤延;

8

γ

(3)设〃WN*,证明：sin⅛sin22xsin24x...sin22∏jc<—.

~4n

72.(2019•天津♦高考真题)设函数F(X)=e*cosx,g(x)为f(x)的导函数.

(I)求/(χ)的单调区间;

(II)当Xeɪ,ɪ时，证明f(%)+g(x)(IT)∙∙0；

(III)设X”为函数"(x)=∕(x)T在区间［2"万+了2"万+万)内的零点，其中"∈N,证

e^2"π

明2nπ+^-xn<

sinx0-CoSa)

73.(2019・全国•高考真题)己知函数/(X)=(X-I)InX-X-I.证明：

(1)/(x)存在唯一的极值点；

(2)/(尤)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

v∙-l-1

74.(2019•全国•高考真题)已知函数9(%)=InA工

(1)讨论y(x)的单调性，并证明火χ)有且仅有两个零点；

(2)设起是HX)的一个零点，证明曲线尸InX在点A(X°,InXO)处的切线也是曲线y=e*

的切线.

75.(2019•全国•高考真题)已知函数/(x)=SinX-In(I+x),/'(幻为/(χ)的导数.证明:

(1)/(χ)在区间(-1,5)存在唯一极大值点；

(2)〃x)有且仅有2个零点.

76.(2019•全国•统考高考真题)已知函数9(x)=2χ3-o?+6

(1)讨论F*)的单调性；

(2)是否存在。力，使得F(X)在区间［0,1］的最小值为T且最大值为1?若存在，求出

的所有值；若不存在，说明理由.

77.(2019・浙江・高考真题)已知实数4wθ,设函数/(x)="lnx+√77T,x>0.

3

(1)当。=-二时，求函数/O)的单调区间；

4

(2)对任意工€」,+0))均有了(初4正，求。的取值范围.

e-2a

注：e=2∙71828…为自然对数的底数.

78.(2019・江苏・高考真题)定义首项为1且公比为正数的等比数列为数列”.

(1)已知等比数列｛〃〃｝满足：¾tz4=α5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列｛〃〃｝为数列”;

122

(2)已知数列｛加｝满足:=---—，其中S〃为数列｛加｝的前〃项和.

①求数列｛6〃｝的通项公式；

②设，〃为正整数，若存在“M—数列,对任意正整数鼠当上加时，都有Q≤4≤∕M

成立，求机的最大值∙

79.(2019•江苏•高考真题)设函数/(x)=(x-α)(X-AXX-C)M也c∈R,尸⑺为/(x)

的导函数.

(1)若a=b=c,f(4)=8,求〃的值；

(2)若a≠b,b=c,且f(x)和广⑴的零点均在集合｛-3,1,3｝中，求/(χ)的极小值；

4

(3)若a=0,0<b,,l,c=l,且Fa)的极大值为M,求证:MW药.

80.(2019•北京•高考真题)已知函数Ax)=:/-/+*

(I)求曲线y=/(X)的斜率为1的切线方程；

(II)当X€［-2,4］时，求证：x-6<f(x)<X;

(IH)设尸(x)>∕(X)-(X+α)∣3wR),记F(X)在区间［-2,4］上的最大值为M当

M(α)最小时，求”的值.

81.(2019・全国•高考真题)已知函数Ax)=2/-。/+2.

(1)讨论/O)的单调性；

(2)当0<”3时，记/(x)在区间［0』的最大值为M,最小值为"?，求M-机的取值

范围.

82.(2019•天津•高考真题)设函数F(X)=Inx-α(x-l)e",其中α∈R.

(1)若α≤0,讨论/(x)的单调性；

(II)若0<α<L

e

(i)证明/(x)恰有两个零点

(ii)设与为/(x)的极值点，阳为/(x)的零点，且%>∙⅞,证明3xl)-x∣>2.

83.(2019・全国•高考真题)已知函数/(x)=2siιu~XCOSX-JC,f(X)为/(x)的导数.

(1)证明：/(x)在区间(0,兀)存在唯一零点；

(2)若χG［0,π］时，/(x)>ax,求α的取值范围.

84.(2018・北京・高考真题)设函数f(x)=［αri-(4α+l)x+44+3］e'.

(1)若曲线y=∕(x)在点(1,/(ɪ))处的切线与X轴平行，求。；

(2)若/(x)在x=2处取得极小值，求。的取值范围.

85.(2018•北京•高考真题)设函数/(x)=[αχ2一(3α+i)χ+3α+2]e*.

(I)若曲线y=∕(x)在点(2J(2))处的切线斜率为O,求田

(II)若，J)在χ=l处取得极小值，求。的取值范围.

86.(2018.全国.高考真题)己知函数/(x)=(2+x+0γ2)ln(l+x)-2x.

(1)若a=0,证明：当一l<x<0时，/(x)<05当x>0时，/(x)>0i

(2)若X=O是/(x)的极大值点，求α.

87.(2018•全国・高考真题)已知函数f(χ)=竺詈二L

(1)求曲线y寸(X)在点(0，-1)处的切线方程；

(2)证明：当α≥l时，/(x)+e≥0.

88.(2018•浙江•高考真题)已知函数/(X)=6-InX.

(1)若Ax)在X=%I,Λ2(X产&)处导数相等，证明：/(x1)+∕(⅞)>8-81n2i

(2)若α≤3-41n2,证明：对于任意火>0,直线y=丘+”与曲线y=/(x)有唯一公共

点.

89.(2018・全国•高考真题)已知函数/(x)=%3-α(χ2+χ+ι).

(1)若。=3,求"x)的单调区间;

(2)证明："x)只有一个零点.

90.(2018•全国•高考真题)已知函数f(x)="e*-∕nr-l.

(1)设下2是〃力的极值点.求。，并求“x)的单调区间：

(2)证明：当"≥,时,/(x)≥0.

e

91.(2018・江苏・高考真题)记r(x),g'(x)分别为函数"x),g(x)的导函数.若存在

XOeR,满足/(xo)=g(%)且r(xo)=g'(∙¾),则称与为函数/(x)与g(x)的一个“S点”.

(1)证明：函数f(x)=X与8(6=幺+2工一2不存在“S点”；

(2)若函数/(X)=加-1与g(x)=l∏x存在“S点”，求实数〃的值；

(3)已知函数/a)=-—+。，g(x)=q.对任意4>0,判断是否存在〃>0,使函

数“χ)与g(χ)在区间(o,y)内存在“S点”，并说明理由.

92.(2018・全国•高考真题)已知函数f(x)=e、一加.

(1)若a=l,证明：当x≥0时，/(x)≥l；

(2)若/(x)在(0,+8)只有一个零点，求“的值.

93.(2018・天津・高考真题)已知函数/(x)=α",g(x)=lognx,其中α>l.

(I)求函数MX)=/(X)-Hna的单调区间;

(II)若曲线在点(χj(AI))处的切线与曲线y=g(χ)在点α,g(w))处的切

线平行，证明：x∣+g(x,)=-孚吧；

Ina

(In)证明：当时，存在直线/，使/是曲线y=∕(χ)的切线，也是曲线y=g(χ)

的切线.

94.(2018•全国•高考真题)已知函数/(x)=L-X+αlnx.

X

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若存在两个极值点％,与，证明："6"A2L-2.

不一吃

95.(2018•天津•高考真题)设函数"x)=(XTI)(XT2)(XT3)，其中：出，，3大R,且%冉，与

是公差为d的等差数列.

(I)若"O,d=ι,求曲线y=/(无)在点(Oj(O))处的切线方程;

(II)若d=3,求〃x)的极值；

(IlD若曲线y="χ)与直线y=-(χf)-6G有三个互异的公共点，求d的取值范围.

五、双空题

96.(2022•全国•统考高考真题)曲线y=InI刈过坐标原点的两条切线的方程为

，・

97.(2019•北京・高考真题)设函数/I)=ex+aeh为常数).若/G)为奇函数，则

α=;若/(x)是R上的增函数，则α的取值范围是.

参考答案:

1.B

【分析】根据题意可知/(I)=2/'⑴=O即可解得。也再根据广(力即可解出.

【详解】因为函数〃力定义域为(0,+⑹，所以依题可知，/(l)=-2,Γ(l)=0,而

r(χ)=｝［,所以。=-2,T=O,即“=-2/=-2,所以r(x)=-∣+*因此函数“X)

在((U)上递增，在(1,R)上递减，x=l时取最大值，满足题意，即有r(2)=-l+g=-；.

故选：B.

2.D

【分析】利用导数求得Fa)的单调区间，从而判断出了(X)在区间［0,2可上的最小值和最大

值.

【详解】∕,(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosΛ=(x+l)cosx,

所以“X)在区间画)和仔,2,上用x)>0,即/(x)单调递增；

在区间6考)上了'(x)<0,即F(X)单调递减,

又〃0)=〃2兀)=2,图=-怎+】卜=卡，

所以/(x)在区间［0,2π］上的最小值为-3，最大值为5+2.

故选：D

3.A

【分析】由：C=4tanI4结合三角函数的性质可得c〉A;构造函数

b4

/(X)=COsX+g--1,XW(O,+8),利用导数可得》,即可得解.

【详解】［方法一］：构造函数

因为当XWW

,X<tanX

C1c

故厂4ta∕>l,故小，所以c>R

12

设/(犬)=CoSX+万龙〜一l,x∈(0,+∞),

ft{x}=-sinx+x>O,所以f(x)在(O,÷oo)单调递增,

故H(O)=0,所以CoSLT>0,

432

所以b>",所以<?>〃>〃，故选A

［方法二］：不等式放缩

因为当x∈(θ,］}sinx<X,

取X=:得：cosɪ=1-2sin2ɪ>1=—,故

848(8J32

4si∏!+cos!=Vr7sin［ɪ+^I,其中Q∈∕θ,工］,且SinG=-^=,cos夕==

、t,,.11∕ΓZ7„,1兀F711

当4sin—+cos-=√17时，一+夕=一,及φ=-------

一444224

,.14I1

此时sin-=cos¢7=-=,cos—=Slne=-=

4√1j74√1f7

“114.1.1,,

故cos：=—<-j==sin—<4sin—,故人<。

4√17√1744

所以b>",所以故选A

［方法三］：泰勒展开

,居nocmil311θ∙252,I0.2520.254

漫x=0.25,贝I」。=—=1---------,⅛=cos-≈11----------+-------,

322424!

.1

sin4

/.140.25∖0.25工留,日z―小A

c=4sm-=-ɪ-≈11----—÷-ʒɪ-,计算得c>Z?>a,故选A.

4

［方法四］：构造函数

因为g二4lanJ,因为当x∈(θ,g］,sinx<x<tanx,所以tan,>',即£>1,所以c>b;设

b4k2J446

f∖x)=cosʃ+ɪ%2-1,ɪ∈(O,+∞),/,(x)=-sinx÷x>0,所以/(χ)在(0,+8)单调递增，则

d1)>F(O)=O,所以cos1-m>0,所以，>“,所以c>b>α,

<4；432

故选：A.

［方法五］：【最优解】不等式放缩

因为f=4ta∕,因为当XjO,m),sinx<x<tanx,所以tan!」,即：>1,所以c>∕>;因

为当Xe(OSinX<X,取X=［得COSL=ι_2sin21>1-2(=—,故人”,所以c>b>α.

12；848⑶32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数,

属于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式Xe(O,］J,sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属

于最优解.

4.C

【分析】设正四棱锥的高为6,由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系,

由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】：球的体积为36万，所以球的半径A=3,

［方法一］:导数法

设正四棱锥的底面边长为2〃，高为人

则产=却+*,3?=2/+(3-/O?,

所以6∕z=∕2,2a2=Z2-A2

112∕4I2∖(le\

所以正四棱锥的体积

33336O3oJ

所以VWgJ畀，⅜

当3≤∕≤2几时，V>>0,当2m<”36时，V,<0,

所以当/=2"时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为日，

又/=3时，丫==，∕=3√3⅛,V=*,

44

所以正四棱锥的体积V的最小值为子，

所以该正四棱锥体积的取值范围是卜日,片.

故选：C.

［方法二］：基本不等式法

由方法一故所以V=gα2∕z=∣(6∕L∕l2)∕j=g(12-2∕0∕lx∕⅛,；X(12-2?+/?+〃=.(当且

仅当〃=4取到)，

当力=|时，得〃=倍，则曦I=那T察)晨|=日；

—7Q

当/=3百时，球心在正四棱锥高线上，此时//+3=；,

鼻J="na=单，正四棱锥体积ν=卜”=:(茎)Y=?<£故该正四棱锥体积的取

22√233√2243

值范围是寻,争.

5.C

【分析】构造函数/(x)=In(I+x)-x,导数判断其单调性，由此确定α,b,c的大小.

【详解】方法一：构造法

1Y

设/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为∕'(X)=------1=-,

1+x1+x

当xw(-l,O)时，f'(x)>O,当Xe(O,+∞)时/(x)<O,

所以函数/(x)=In(I+x)-X在(0,+∞)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/(3<f(0)=0,所以In与一3<0,故］>lnE=-lnO.9,即b>c,

所以/(-历)<∕(0)=0,所以1啥+历<0,故言-。，所以土。

故α<b,

设g(x)=xe"+ln(l-x)(O<x<l),则g，(X)=(X+ι)e*+-Lj∙=+1,

令MX)=e*(f-l)+l,h'M=ex(x2+2x-∖),

当O<x<√∑-1时，I(X)<0,函数以幻=e%f-i)+ι单调递减,

当α-l<x<l时，h∖x)>O,函数〃(X)=e*,-l)+l单调递增,

又〃(O)=O,

所以当OCX<0-1时，4(x)<0,

所以当O<x<0-1时，g'(x)>O,函数g(x)=xe'+ln(l-x)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即(Me(U>Tn0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

,

解：α=0.1Z,⅛=7⅛-,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①Ina-In人=0.1+In(I-OJ),

令ʃ(ɪ)=%+ln(l—ɪ),ɪ∈(0,0.1],

贝IJ∕,u)=ι--!-=∙≡^<o,

I-X1-x

故/(ɪ)在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina-In(VO,所以a<b；

(2)a-c=0.1e°1÷ln(l-0.1),

令g(x)=xex+ln(l-x),x∈(0,0.1],

则g1力=XeX+/--L=0三IQ二),二1,

v71-x1-x

令MX)=(I+x)(l-x)e*-l,所以/(x)=(l-χ2-2x)e”>0,

所以k(x)在(0,0.1]上单调递增，可得A(X)>A(O)>O,即g'(x)>O,

所以g(x)在(0,0-11上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

6.D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=∕(x)+g(x)-；=d+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不

符，排除A；

对于B,y=∕(x)-g(x)-l=x2-sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

，1I-X1+ɪ∣cosx

对于C,y="χ)g(χ)=x~+—Sinx,贝IJy'=2xsinx+

44J

当X=E时，y=gχ*J)X号>0,与图象不符，排除C.

422164J2

故选：D.

7.D

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，

对“进行分类讨论，画出∕∙(Λ)图象，即可得到。力所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若q=b,则/(x)=α(x-α)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故标b.

.∙.∕(x)有％=。和X=〃两个不同零点，且在x=4左右附近是不变号，在