2022年福建省福州市翰英中学高二数学理期末试题含解析

2022年福建省福州市翰英中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的两个焦点是F1和F2，则（

）A. B.2 C.3 D.4参考答案：D【分析】根据双曲线的方程，可直接得出焦距.【详解】因为双曲线方程为，所以其焦距为.故选D【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.2.已知等比数列满足，且，则当时

A.

B.

C.

D.参考答案：C3.给出以下一个算法的程序框图（如图所示）：

该程序框图的功能是（

）A．求出a,b,c三数中的最大数

B．求出a,b,c三数中的最小数C．将a,b,c按从小到大排列

D．将a,b,c按从大到小排列参考答案：B4.设集合M={x|x2＜4，且x∈R}，N={x|x＜2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断．【分析】本题考查判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：M={x|x2＜4，且x∈R}={x|﹣2＜x＜2}．N={x|x＜2}，若a∈M，能推出a∈N，反过来，a∈N，不一定有a∈M，比如a=﹣3．故选A．【点评】判断充要条件的常用方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，结合集合间的基本关系，判断命题p与命题q的关系．5.已知函数，若，有，则（i是虚数单位）的取值范围为（

）A．(1,+∞)

B．[1,+∞)

C．(2,+∞)

D．[2,+∞)参考答案：C6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据34562.544.5根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（

）A.

3

B.

3.15

C.3.5

D.

4.5参考答案：A略7.函数的导函数的简图如右，它与轴的交

点是（1,0）和（3,0），则函数的极小值点为（

）A．1

B．2

C．3

D．不存在参考答案：C8.

参考答案：C9.“因为对数函数是增函数，而是对数函数，所以是增函数”，上面推理错误的是（

）A.大前提错导致结论错误

B.小前提错导致结论错误C.推理形式错导致结论错误

D.大前提和小前提都错导致结论错误参考答案：A略10.若圆上的点到直线的最近距离等于1,则半径r值是A.4

B.5

C.6

D.9参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数y=3x﹣x3的单调递增区间为．参考答案：[﹣1,1]．先求函数导数，令导数大于等于0，解得x的范围就是函数的单调增区间．解：对函数y=3x﹣x3求导，得，y′=3﹣3x2，令y′≥0，即3﹣3x2≥0，解得，﹣1≤x≤1，∴函数y=3x﹣x3的递增区间为[﹣1,1]，故答案为：[﹣1,1]．12.在中，,AB=4，BC=2则=________参考答案：-413.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是．参考答案：【考点】两点间距离公式的应用．【专题】函数思想；整体思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线过定点可得AB的坐标，由直线垂直可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得动直线x+my=0过定点A（0，0），直线mx﹣y﹣m+3=0可化为（x﹣1）m+3﹣y=0，令可解得，即B（1，3），又1×m+m×（﹣1）=0，故两直线垂直，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2=（|PA|+|PB|）2﹣2|PA||PB|≥（|PA|+|PB|）2﹣2（）2=（|PA|+|PB|）2，∴（|PA|+|PB|）2≤20，解得|PA|+|PB|≤2当且仅当|PA|=|PB|=时取等号．故答案为：2．【点评】本题考查两点间的距离公式，涉及直线过定点和整体利用基本不等式求最值，属中档题．14.已知，则 参考答案：15.规定符号表示一种运算，即其中、；若，则函数的值域

参考答案：略16.某个圆的圆心在双曲线的一条准线上，并且圆经过双曲线的一个顶点和一个焦点，则双曲线的离心率是

。参考答案：217.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是

．参考答案：90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）?=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．【点评】本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1,2，…，10，从中任取一球，求下列事件的概率．(1)A＝{球的标号数不大于3}；(2)B＝{球的标号数是3的倍数}.参考答案：解：(1)球的标号数不大于3包括三种情形，即球的标号数分别为1,2,3.········2分P(A)＝P(球的标号数为1)＋P(球的标号数为2)＋P(球的标号数为3)＝＋＋＝.·····························································································5分(2)球的标号数是3的倍数包括球的标号数为3,6,9三种情况，·············································7分P(B)＝＋＋＝.····························································································10分19.（15分）已知抛物线C：y2=2x，O为坐标原点，经过点M（2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，P为抛物线C上一点．（Ⅰ）若直线l垂直于x轴，求|﹣|的值；（Ⅱ）求三角形OAB的面积S的取值范围．参考答案：（Ⅰ）不妨设A（2，2），B（2，﹣2），P（，t），则|﹣|=|﹣|=2；（Ⅱ）设l：x=ky+2，代入y2=2x中，可得y2﹣2ky﹣4=0设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2k，y1y2=﹣4，∴|AB|=?，∴三角形OAB的面积S=???=2≥4，∴三角形OAB的面积S的取值范围为[4，+∞）．20.设命题：实数满足，其中，命题：实数满足(1)若，若假，真，求实数的取值范围；(2)是的充分不必要条件，求实数的取值范围．参考答案：解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.又a>0，所以a<x<3a，当a＝时，

即p为真命题时，实数x的取值范围是由

解得即2<x≤3.所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.所以实数x的取值范围是(2)是的充分不必要条件，即?且.设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，则AB.所以1<a≤2.所以实数a的取值范围是(1,2]．略21.(本题满分16分)已知动直线l与椭圆交于两不同点，且的面积,其中O为坐标原点.(1)证明：和均为定值；(2)设线段PQ的中点为M，求OM·PQ的最大值.参考答案：解(1)①当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，所以，，因为在椭圆上，因此 ,又因为，所以,由得，.此时，.

---------------------2分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意知，将其代入，得，其中，即

--------(*)又，，所以，

-------------4分因为点到直线的距离为，所以，又，整理得，，且符合(*)式，

----------------------------6分此时，.综上所述，，.

------------------------8分(2)解法一：①当直线的斜率存在时，由(1)知，，因此.

------------------10分②当直线的斜率存在时，由(1)知，，，，

------------------------12分所以，从而，当且仅当，即时，等号成立.

--------14分综合①②得的最大值为.

-------------------------16分解法二：因为，--10分所以.即，当且仅当时等号成立，

---------------------14分因此，的最大值为.