重组卷02（文科）-2023年高考数学真题重组（解析版）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷02

课标全国卷地区专用(解析版)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.(2021•全国•高考真题)设集合M={l,3,5,7,9},N={x∣2x>7},则MnN=()

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

【答案】B

【分析】求出集合N后可求MnM

【详解】N=(∣,+∞),故MnN={5,7,9},

故选：B.

2.(2022•全国•统考高考真题)设(l+2i)α+b=2i,其中α,b为实数，则()

A.α=l,b=-lB.α=l,b=lC.a=-l,b=1D.a=-l,b=-1

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.

【详解】因为α,bWR,(a+b)+2ai=2i,所以α+b=0,2α=2,解得：α=l,b=-1.

故选：A.

3.(2020,全国•统考高考真题)设一组样本数据力,X2，…，必的方差为0.01,则数据IOX/,10x2,…，IOw

的方差为()

A.0.01B.0.1C.1D.10

【答案】C

【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.

【详解】因为数据α%+b,(i=1,2,∙∙∙,n)的方差是数据看,(i=1,2,…,n)的方差的ɑ2倍，

所以所求数据方差为102X0.01=1

故选：C

【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.

4.(2021•全国•高考真题)下列函数中是增函数的为()

A./(x)=—XB./(x)=(I)C./(x)=X2D./(x)=Vx

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,f(x)=-X为R上的减函数，不合题意，舍.

对于B,/(x)=(Iy为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,/(%)=/在(_8,0)为减函数，不合题意，舍.

对于D,/(X)=正为R上的增函数，符合题意，

故选：D.

(x+y≥2,

5.(2022.全国•统考高考真题)若X,y满足约束条件x+2y≤4,则z=2x-y的最大值是()

(y>o,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数Z=2x-y为y=Ix-z.

上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，Z最大,

所以ZmaX=2×4-0=8.

故选：C.

6.(2020•全国•统考高考真题)己知圆χ2+y2-6χ=o,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的

最小值为()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.

【详解】圆产+丫2一6》=0化为。-3)2+丫2=9,所以圆心C坐标为C(3,0),半径为3,

设P(L2),当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时ICPl=

√(3-l)2+(-2)2=2√2

根据弦长公式得最小值为249-∣CP∣2=2√9ɪ8=2.

故选：B.

【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

7.(2019•全国•高考真题)设α,/?为两个平面，则α〃/?的充要条件是

A.α内有无数条直线与S平行

B.α内有两条相交直线与6平行

C.α,夕平行于同一条直线

D.a,夕垂直于同一平面

【答案】B

【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平

行的判定定理与性质定理即可作出判断.

【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与伊平行是。〃S的充分条件，由面面平行性质定理

知，若α〃氏则α内任意一条直线都与3平行，所以α内两条相交直线都与口平行是α〃/?的必要条件，故选B.

【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：

“若αUa,buβ,a∕∕b,则。〃0”此类的错误.

8.(2019•全国•高考真题)已知非零向量乙B满足同=2同，且(五-3)Ih,则商与B的夹角为

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计

算等数学素养.先由伍-B)IB得出向量五力的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量

夹角.

【详解】因为®—母1讥所以伍-Wi=五j一左=o,所以Gi=留，所以CoSe=蒜=黑=|，所

以五与3的夹角为或故选B.

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余

弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为［0,用.

9.(2020•全国•统考高考真题)执行下面的程序框图，则输出的"=()

A.17B.19C.21D.23

【答案】C

【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足1+3+5+…+n>100的最小正奇数n,根据等差数

列求和公式即可求出.

【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足1+3+5+…+n>100的最小正奇数，

因为1+3+5+∙∙∙+n=高+2=Xn+1)2>100,解得n>19,

所以输出的n=21.

故选：C.

【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.

10.(2022•全国•统考高考真题)已知等比数列｛αn｝的前3项和为168,<⅛一=42,则t⅛=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【分析】设等比数列｛Q∕的公比为q,q≠O,易得q≠l,根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项

即可得解.

【详解】解：设等比数列｛Qn｝的公比为q,q≠O,

若q=l,则与题意矛盾，

所以qH1,

=

α÷ɑ÷ɑɜ；）=168α1=96

则12，解得

a2~as=Qlq-Qlq4=42.小

所以%=aιc∣s=3.

故选：D.

11.(2022.全国.统考高考真题)函数/(%)=Cosx+(%+l)sinx+1在区间［0,2π］的最小值、最大值分别为()

A.--,EB.—到，EC.--,-+2D.-+2

22222222

【答案】D

【分析】利用导数求得f(x)的单调区间，从而判断Hl/(x)在区间［0,2兀］上的最小值和最大值.

【详解】∕,(x)=—sinx+sinx+(x+l)cosx=(X+l)cosx,

所以/G)在区间(0,3和管,2π)上尸(X)>0,即/(x)单调递增；

在区间值,3上U(X)<0,即f(x)单调递减，

又f(0)=∕(2π)=2,/(9=1+2,/(⅞)=-(τ+l)+l=-7∙

所以/(x)在区间［0,2π］上的最小值为一热最大值为;+2.

故选：D

12.(2021•全国•高考真题)设/(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=/(T).若f(-∣)=则f(|)=()

A.--B.--C.-D.三

3333

【答案】C

【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f(I)的值.

【详解】由题意可得：/(I)=∕(ι+∣)=∕(-∣)=-∕(∣)∙

而/(9=/O-9=fG)=一O

故八I).

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化

是解决本题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2020.全国.统考高考真题)曲线y=Inx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为

【答案】y=2x

【分析】设切线的切点坐标为(xo,w)，对函数求导，利用y'L=2,求出与，代入曲线方程求出M)，得到

切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】设切线的切点坐标为0⅛,%),y=Inx+X+l,y'=ɪ+1>

y,∣x=x=∙^^+l=2,x=l,y=2,所以切点坐标为(1,2),

0ʌo00

所求的切线方程为y—2=2(x-1),即y=2x.

故答案为：y=2x.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

14.(2019∙全国•高考真题)我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车

次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所

有车次的平均正点率的估计值为.

【答案】0.98.

【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题.

【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为IOXO.97+20X0.98+10X0.99=39.2,其中高铁

个数为10+20+10=40,所以该站所有高铁平均正点率约为%=0.98.

40

【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养.侧重统计数据的概率估算，难度不大.易

忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值.

15.(2022•全国•统考高考真题)记双曲线。吟一5=l(α>0,h>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2.x

与C无公共点”的e的一个值

【答案】2(满足l<e≤√^皆可)

【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±£x中O<T≤2即可求得满足要求的e值.

【详解】解：C:g-g=l(a>0,6>0),所以C的渐近线方程为y=±如

结合渐近线的特点，只需0<匕2,即144,

aQZ

可满足条件“直线y=2x与C无公共点”

所以e=(=Jl+%≤√1+4=V5,

又因为e>l,所以l<e≤√^,

故答案为：2(满足l<e≤√5皆可)

16.(2020•全国•统考高考真题)数列｛斯｝满足即+2+(-l)%n=3n-1,前16项和为540,则的=

【答案】7

【分析】对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用的表

示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立的方程，求解即可得出结论.

n

【详解】an+2+(-l)αn=3n-1.

当n为奇数时，azι+2=an+3n—1；当n为偶数时，an+2+an=3n-1.

设数列｛ajl｝的前几项和为上,

516=田++ct3+。4-----%6

aa

=a1+a3+a5"'+ɑiʒ+(2+4)+…(a*+ɑie)

=Q1+(aɪ+2)+(Ql+10)+(ɑɪ+24)+(ɑɪ+44)+(Ql+70)

+(a1+102)+(aɪ+140)+(5+17+29÷41)

=8a1+392÷92=Sa1+484=540,

a1=7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查数列的递推公式的应用I,以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属

于较难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(2020.全国•统考高考真题)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为

调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法

抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi,")(i=l,2,20),其中Xi和W分别表示第，个样区的植物

20

GD2=80,

Σi=l

20\,20

(yi—y)2=9000.)(xi-x)Cyt—y)=800.

Σ1=1^—>1=1

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均

数乘以地块数)：

(2)求样本S,yi)(i=l,2,20)的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物

数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

Y(xi-x)(yι-y)r∑

附：相关系数r=I乙E,、2M.414.

22

J〉,<χ,-χ)^,ι<yi-y)

【答案】(1)12000；(2)0.94；(3)详见解析

【分析】(1)利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；

(2)利用公式r=∑J(xT)(yf)计算即可;

(XL守∑i=ι(yt~y)2

(3)各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.

【详解】⑴样区野生动物平均数为点2图%=/x1200=60,

地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为200×60=12000

(2)样本(Xi,%)(i=l,2........20)的相关系数为

∑幽（Xi一幻（¾一?）8002√2

V=——=——≈0.94

））2

~（Xi一元2C幽^~（yi-y√80×90003

(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性,

由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，

采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性,

从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，

是一道容易题.

18.(2020.全国.统考高考真题)△力BC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c.已知8=150。.

(1)若α=V^c,b-2∖∏,求△4BC的面积；

(2)若SirL4+V5sinC=圣求C.

【答案】(1)√3;(2)15°.

【分析】(1)已知角B和b边，结合α,c关系，由余弦定理建立C的方程，求解得出α,c,利用面积公式，即可

得出结论；

(2)方法一：将力=30。-C代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三角函数

值，结合C的范围，即可求解.

【详解】(1)由余弦定理可得从=28=ɑ2+c2-2ac∙cosl50o=Jc2,

c=2,a=2V3,∙,∙ΔABC的面积S=TaCSinB=V3；

(2)［方法多角换一角

∙.∙A+C=30°,

ʌSinA+V3sinC=sin(30o-C)+V3sinC

=ICoSC+-γsinC=sin(C+30°)=ɪ,

VO0<C<30o,.∙.30o<C+30°<60°,

.∙∙C+30o=45o,.∙∙C=15°.

［方法二］：正弦角化边

由正弦定理及B=150。得2R=号=，7=-⅛=2b.故SinA=MSinC=ʌ.

sm4sιnCSinB2b2b

由SirL4+√3sinC=得α+V3c=y∕2b.

又由余弦定理得b?=α?+c?一2αc∙cosB=α?+c2+√3αc,所以(a+V5c)?=2(a?+c?+百砒)，解得

a=c.

所以C=15°.

【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，

属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进

而求角.

19.(2022•全国•统考高考真题)如图，四面体ABCD中，AD1CD1AD=CD,∆ADB=∆BDC,E为AC的中

点.

（1）证明：平面BEDJ■平面ACQ；

（2）设AB=BD=2,乙4CB=60。，点F在B。上，当AAFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积.

【答案】（D证明详见解析

【分析】（1）通过证明4C∙L平面BEC来证得平面BED1平面百CD

（2）首先判断出三角形4FC的面积最小时尸点的位置，然后求得?到平面4BC的距离，从而求得三棱锥尸-

ABC的体积.

【详解】（1）由于4D=CD,E是4C的中点，所以力ClDE.

,AD=CD

由于∙BD=BD,所以A40BWZkCDB,

./.ADB—乙CDB

所以ZB=CB,故AeIBE,

由于DECIBE=E,DE1BEU平面BED,

所以ACJ_平面BED,

由于ACU平面ZC。，所以平面BECJ■平面4CD.

（2）［方法一］：判别几何关系

依题意4B=8。=BC=2,∆ACB=60°,三角形4BC是等边三角形，

所以AC=2,AE—CE—I1BE=y∕3,

由于ZD=CD,4。1CD,所以三角形ZCO是等腰直角三角形，所以DE=L

DE2+BE2=BD2,所以CElBE,

由于4C∏BE=E,AC1BEa^ABC,所以DEI平面4BC.

由于AADBmaCCB,所以∕FB4=NFBC,

BF=BF

⅛≠∆FBA=/.FBC,所以△FBAm∆,F8C,

,AB=CB

所以ZF=CF,所以EF_LAC,

由于SAMC=^∙4C∙EF,所以当EF最短时，三角形4FC的面积最小

过E作EFl.BD,垂足为F,

在RtED中,γBE-DE=γBDEF,解得EF=理,

所以CF=Jl2一停）2=I1BF=2-DF=1，

所以**

过产作FHlBE,垂足为H,则FH//DE,所以尸HI平面4BC,且胃=募=£

所以FH=I

所以％TBC=I∙5∆ΛBC∙FH=∣×∣×2×√3×^=y.

［方法二］:等体积转换

VAB=BC,∆ACB=60o,AB=2

∙∙∙A48C是边长为2的等边三角形，

ʌBE=W

连接EF

∙.∙AADB=XCDBʌAF=CF

.∙.EF1AC

••・在ABED中，当EFIBD时，A4FC面积最小

•••AD1CD1AD=CD1AC=2,E为Ze1中点

DE=1DE2+BE2=BD2

・•・BE1ED

升*上BEDE√3

若EF1BD,在ABED中，EF=—=—

3

BF=√BF2-EF2=2-

3

113√-3

2=-√3

■■SΛBEF=-BF-EF=----8

1__

λ^F-ABC=A-BEF+^C-BEF=ɜ∙^ΔSFF'=ɜ''Z~彳

20.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(x)=X3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(Xι,/(Xl))处的

切线也是曲线y=g(x)的切线.

⑴若Xi=-1,求a；

(2)求a的取值范围.

【答案】⑴3

(2)[-l,+∞)

【分析】(1)先由/(©上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数

值求出a即可：

(2)设出g(x)上的切点坐标，分别由/(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a,构造函数，

求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.

【详解】(1)由题意知，/(-1)=-1-(-1)=0,∕,(x)=3x2-l,/'(-1)=3-1=2,则y=f(X)在点

(一1,0)处的切线方程为y=2(x+1),

即设该切线与切于点则解得则。(

y=2x+2,g(x)(X2,gθ⅛)),g'(x)=2x,g'O⅛)=2X2=2,A⅛=1，1)=

l+a=2+2,解得a=3；

(2)f'(X)=3/-1,则y=f(χ)在点(XI,/N))处的切线方程为y-(%：-Xl)=(3好-I)(X-XJ,整理

得y=(ɜɪɪ—I)X—2xf,

设该切线与切于点则则切线方程为好+

g(x)(x2,gQ⅛)),g'(x)=2x,g'(Λ⅛)=2x2,y—(a)=2x2(x-x2^

整理得y=2X2X-×2+a>

m{-¾=⅛2÷a,整理得a=-2xι=(⅛-1)~2xι=浮-2xι-∣Xι+%

令九(X)=^x4—2x3一∣x2+%则九'(x)=9x3—6%2—3X=3x(3X+I)(X—1),令九'(x)>0,解得一；<

X<0或X>1,

令九'(%)<0,解得XV或OVXV1,贝卜变化时，"(x),∕ι(%)的变化情况如下表：

1

X01(L+8)

-3(4。)(OJ)

h'(x)—0÷0—0÷

51

九(X)7-17

274

则∕ι(x)的值域为［―1,+8),故α的取值范围为［―L+8).

21.(2021•全国•统考高考真题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点尸到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知。为坐标原点，点尸在C上，点Q满足的=9/，求直线OQ斜率的最大值.

【答案】⑴∕=4χ;(2)最大值为

【分析】(1)由抛物线焦点与准线的距离即可得解；

(2)设Q(Xo,y°),由平面向量的知识可得P(IOXO-9,10%),进而可得XO=驾巴，再由斜率公式及基本不

等式即可得解.

【详解】(1)抛物线。丫2=2「武2>0)的焦点尸&0),准线方程为X=-导

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为々-(-9=p=2,

所以该抛物线的方程为y2=4x；

(2)［方法一］：轨迹方程+基本不等式法

设Q(XO，尢)，则&=9炉=(9-9x0,-9y0).

所以PCIoXo-9,10y0),

由P在抛物线上可得(IOyo)2=4(1OXO-9),即曲=名学,

据此整理可得点Q的轨迹方程为y2=∣χ-蓝,

所以直线OQ的斜率岫Q=券=金=瑶患

IO

当Vo=。时,k°Q—0；

10

当Vo≠。时'k°Q=25y°+⅛,

当%>0时，因为25y0+.≥2河V=30,

此时0<koQ≤/当且仅当25%.,即y0=∣时，等号成立；

当Vo<。时'k°Q<0;

综上，直线。Q的斜率的最大值为:

［方法二］：【最优解】轨迹方程+数形结合法

同方法一得到点Q的轨迹方程为y2ɪjz-ɪ

设直线OQ的方程为y=∕cx,则当直线。Q与抛物线y2=∣χ-黄相切时，其斜率k取到最值.联立

ykx

(2l'9得∕c2χ2-9+∕=o,其判别式A=(-∣y-4∕c2χ!=o,解得k=±；,所以直线。Q斜率

I，V——5X-----2---5-.'5Z5\5/Z53

的最大值为

［方法三］:轨迹方程+换元求最值法

同方法一得点Q的轨迹方程为好=IX-亲

设直线OQ的斜率为k,则1=(J=1.--2-.

令工=t(θ<t≤?),则1=一92+白的对称轴为1=!所以0≤∕2≤J,γ≤k≤"故直线OQ斜率的

X∖V//5oVc✓ɔɔ

最大值为∣∙

［方法四］：参数+基本不等式法

由题可设P(4t2,4t)(t>0),<2(x,y).

因为F(l,0),所=9QF,所以(X-4t2,y-4t)=9(1-x,-y).

干包［x-4t2=9(l-x)所以COX=4t2+9

十对y-4t=-9y，所以tIOy=4t

当且仅当4t=g,即t=|时等号成立，所以直线。Q斜率的最大值为a

【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于y的表达式,

然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；

方法二同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值,

为最优解；

方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率k的平方关于X的表达式，利用换元方法转化为二

次函数求得最大值，进而得到直线OQ斜率的最大值；

方法四利用参数法，由题可设P(4