交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律)（解析版）2023年高考数学技巧练习

专题02交、并、补(且、或、非)之间的关系(德•摩根定律)

一、结论

交、并、补(且、或、非)之间的关系(德•摩根定律)

⑴集合形式G(AB)=(CA)U(GB),G(AUB)=(CA)(GB)

(2)命题形式:TPAq)=(r?)V(r),TPVg)=(-1/7)A(-)4)

二、典型例题(高考真题+高考模拟)

(2023•全国•高三专题练习)已知集合A=H3<°

例题1.B=｛小=ln(3-x)∣,

贝||(疫A)5”)=()

A.(2,3)B.[3,4]

C.(→o,2]u[3,+∞)D.(→o,3]u[4,+∞)

【答案】C

【详解】由题意得A={x∣2<x<4},B={x∣x<3},ACg=(2,3),

(⅛4)u(RB)=(-∞,2]U[3,+∞),

故选：c

【反思】本题充分利用德摩根律(疫，4)=(R3)=?R(Al8),解题时，可通过先求出

ACB=(2,3),再根据德摩根律，利用结论，可以快速选出答案.

例题2.(2023春泗川泸州高二四川省泸县第一中学校考开学考试)已知P:χ2-7x+10<0,

q:X2-4∕7ix+3wz2<0>其中，w>0.

(1)若机=4且。八4为真，求X的取值范围；

(2)若F是f的充分不必要条件，求实数，”的取值范围.

【答案】(1)4<x<5;(2)∣≤m≤2

【详解】由/一7x+10v0,解得2vxv5,所以P：2<x<5,

Xx2-4mr+3∕w2<0,且"2>0,)⅛⅛f⅛m<x<3m,所以9：tn<x<3m.

(1)当机=4时，q：4<x<12,

因为。八乡为真，所以PM都为真，所以4<x<5.

(2)因为F是力的充分不必要条件，所以〃是的充分不必要条件，

in<2

因为〃：2<x<5,cI：∕n<x<3m,所以,3m≥5,解得g≤%≤2.

tn>O

【反思】本例中第2问，若F是力的充分不必要条件，等价变换为P是4的充分不必要

条件，从而通过求出命题P：2<x<5,q：∕nvx<3∕%根据充分性和必要性条件，求出参

数机的取值范围.

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.(2023秋•陕西宝鸡•高一统考期末)设集合M=Wθ<x<4},N={x∣3≤x≤5},则

(W)(RN)=()

A.{小<3或x≥4}B.{x∣3<x<4}

C.{Λ∣X≤0或x>5}D.{Λ∣0<X≤5}

【答案】C

【详解】由已知得4M=Wx≤0或x≥4},QN={x∣x<3或x>5},

.∙.(⅛M)∩(RN)=3x≤0或x>5).

故选：C.

2.(2022秋•上海浦东新•高一校考阶段练习)集合A,B,C是全集U的子集，且满足

AuB=AuC,则()

A.ACB=ACCB.B=C

C.(瘵4)CB=(UA)CCD.A(稠)=A∣∣(UC)

【答案】C

【详解】若C=AlB,如下图示，

由图知：AcB=AcC'B=C,A(稠)=4(UC)不成立，A、B、D排除;

故选：C

3.(2022•高一课时练习)设全集U,有以下四个关系式：

甲：AnB=A;乙：AUB=B;丙：瘠BUuAi丁：(物)7(UB)=多A.

如果有且只有一个不成立，则该式是()

A.甲B.乙

C.丙D.T

【答案】C

【详解】由题意，甲：Λ∩β=A<⅛A⊂B

乙：AUB=BoA=8

丙：稠UUA=忸UtB<=>B⊂A

T：(板)口(tzB)=糊OuBa%AoA=8

由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙

故选：C

4.(2023•内蒙古赤峰•统考模拟预测)设命题p："XVO"是"log2(x+l)<0"成立的必要不充

分条件.命题,若不等式0e*NX恒成立，则：，+s]∙下列命题是真命题的()

A.-.(p^⅛)B.FYq

c.-y,^-⅛D.τ>vf

【答案】B

【详解】log2(x+l)<0,解得：-l<χ<O.

因为(-1,0)(-8,0),所以"x<0"是"Iog23+l)<0"成立的必要不充分条件.故P为真命题；

若不等式“e*Nx恒成立，所以j

e

记"x)=p,只需α2"x)z.

求导得：/'U)=?，令f'(x)=O,解得：x=l,列表得：

X(-8,1)1(l,+oo)

f'(x)+O-

/(Λ)单增极大值单减

所以/(Ha"(I)=I

所以a≥L故q为真命题.

e

对于A：TPAg)为假命题.故A错误；

对于B：T*vq为真命题.故B正确；

对于C：fAF为假命题.故C错误；

对于D：MVF为假命题.故D错误；

故选：B

二、多选题

5.(2022秋•浙江•高一期中)已知集合A中含有6个元素，全集U=AUB中共有12个元

素，(秒1)(/)中有机个元素，已知m≥8,则集合8中元素个数可能为()

A.2B.6C.8D.12

【答案】BC

【详解】解：因为(枷)W-)=%(ACB)中有Wl个元素，

所以Ae8中有12-机个元素，

设集合B中元素个数为X,

又集合A中含有6个元素，

则x+6-(12-w)=12,即机=18—X,

因为m≥8,

所以X≤10,

又U=AUB中共有12个元素，

所以x≥6,

则6WxW10,

故选：BC

6.(2022秋•湖南株洲•高一校考阶段练习)设U为全集，，邑是。的两个非空子集，且

Sj，=U,则下列结论错误的是()

A.5IO52=0B.5l⊂(⅛52)

c∙(删)c(lA)=0D.(锻)C(1Λ)=U

【答案】ABD

【详解】由题印邑不为空集，所以SlUS2#0,.5错误，

当SUQz=U时,满足S1S2=U,但⅛S2=0，，B错误，

SlUS2=U,，额ICuS?=瘩(SlUS2)=UU=0,∙.∙C正确，D错误，

故选：ABD.

7.(2022秋•江西萍乡•高一江西省莲花中学校考阶段练习)设全集为U,在下列条件中，

是BUA的充要条件的有()

A.A<JB=AB.(QM)oB=0C.(⅞S4)⊂(L,B)D.A(¾β)=t∕

【答案】ABCD

【详解】对于A,若ALJB=A,则B=A;反过来，若B=A,则AUB=A,故互为充要

条件，故正确；

对于B,如下Venn图，

若⑹A)CB=0,则8=A,若8=A,则G,A)C3=0,故正确；

选项C中，若(糊4)=(〃8),则B=A;反过来，若B=A,则(扬4)=(u5),故互为充要

条件，故正确；

选项D中,若ANB)=U,则(扬4)=(t,B),故B=A；反过来,若B=A,则(楸)u(UB),

故A(4,8)=U,故互为充要条件，故正确.

故选：ABCD.

三、解答题

8.(2023春•四川泸州•高一四川省泸县第一中学校考开学考试)设全集U=R,集合

A={x∖2x-l≥l],β={x∣x2-4x-5<0].

(I)求AC8,(]UA)U(CLZS)；

(II)设集合C={x∣m+l<x<2m-l},若8CC=C,求实数m的取值范围.

【答案】(I){x∣x<l或x≥5},(∏)(-∞,3],

【详解】解:(I)•••全集U=R,集合A={X∣2N21}={X∣X≥1},

B={x∣Λ2-4.V-5<0}={Λ∣-1<Λ<5}

.,.A∩B={x∣1≤Λ<5},

(CUA)U(CUB)={x∣xVl或x≥5}

(∏)集合C={x∣∕n+1VxV2∕n-l},BnC=C,

.∙.CcB,

当C=0时，2m-l≤m+∖

解得机≤2

∕W÷1<2∕72-I

当C≠0时，山CqB得,AW÷1≥-1,解得：2Vw≤3

2/n—1≤5

综上所述：加的取值范围是(-8,3]

9.(2022秋•辽宁沈阳•高一沈阳市第一二O