小学奥数题库《应用题》经典和差问题基本知识-4星题（含解析）全国通用版

应用题-经典应用题-和差问题基本知

识-4星题

课程目标

知识点__________________考试要求具体要求________________________考察频率

和差问题基本知识^B-1.会判断什么样的问题属于和差问^7>⅞-

题

2.掌握和差问题的特征

3.解决有关和差问题的应用题

知识提要

和差问题基本知识

•概述

和差问题是指已知大小两个数的和与这两个数的差，求这两个数各是多少的应用题。

・解题方法与基本公式

思路一：通常采用假设的方法，就是假设那个较小的数与较大的数相等或者假设那个较大

的数与那个较小的数相等，这样就会引起总数的变化（增加或减少），求出新的和，平均

分就可得其中的一个数.

思路二：知道两个数的和，以及两个数的差，要求这两个数，解决和差问题有时需要我们

画线段图分析，方法如下：

（和-差）÷2=较小数较小数+差=较大数和-较小数=较大数

（和+差）+2=较大数较大数-差=较小数和-较小数=较大数

精选例题

和差问题基本知识

1.两袋水果共有20个，从第1袋取出7个水果放入第2袋，两袋中的水果个数相同，则第1

个袋中原有水果个.

【答案】17

【分析】根据题意，第1袋水果比第2袋多

7×2=14（个），

根据和差公式，第1袋原有水果

（20+14）÷2=17（个）.

2.老师桌上有一大堆作业本，其中有162本不是一班的，143本不是二班的，一班和二班的

共有87本.那么二班的作业本共有本.

【答案】53

【分析】方法一：根据题意，容易知道

'二班+其他=162①

■一班+其他=143②

、一班+二班—87（3）

（①+③一②）÷2得；二班共有作业本（162+87-143）÷2=53（本）.

方注（一班+162=全部①

“j1二班+143=全部②

由此可得二班比一班多162-143=19（本），又有一班和二班的和是87本，根据和差问题得:

二班有（87+19）÷2=53（本）.

3.有两匹马和一副鞍，白马配鞍售价800元，黑马配鞍售价600元，两匹马售价IOOo元,

那么一副鞍售价元.

【答案】200

【分析】白黑马差价

800-600=200（元），

根据和差公式，白马价格是

（200+1000）÷2=600（%）,

黑马价格是

(1000-200)÷2=400(元),

鞍价格是

600-400=200（元）.

4.思思存钱罐里有总值16元的硬币，其中包含面值1角、5角和1元共计50枚，已知1角

硬币的数量最多，比5角和1元硬币的总数还多10枚，则思思的存钱罐中有枚5

角硬币.

【答案】14

【分析】将1元和5角硬币看作1个整体，称作大面值硬币；

则1角与大面值硬币和为50枚，差为10枚，和差问题：

1角硬币：（50+10）÷2=30（枚）.

5角和1元共：（50-10）÷2=20（枚）.

1角硬币面值：30X1=30角=3（元）.

5角和1元面值：16-3=13元=130（角）.

鸡兔同笼假设法：

5角：（20×10-130）÷（10-5）=14（枚）.

5.方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本.问：方方和

圆圆原来各有图书多少本？

【答案】方方有38本，圆圆有32本.

【分析】方方给圆圆5本后，两人共有图书70本，圆圆比方方多4本.这是典型的和差问

题.求出此时两人各多少本书后，就可以求出原来两人各有多少书.

如果方方给圆圆5本，那么圆圆就有

（70+4）+2=37（本）

所以，原来圆圆有

37-5=32（本）

方方有

70-32=38（本）

所以方方有38本，圆圆有32本.

6.甲、乙两个仓库共有大米1600袋，如果从甲仓库中取出90袋大米，乙仓库增加90袋,

这时甲、乙仓库的大米数量相等，求两个仓库原来各有多少袋大米？

【答案】890；710

【分析】甲仓库中取出90袋大米，乙仓库增加90袋，那么实际两个仓库大米数量相差

90+90=180（袋）.

把乙仓库少的180袋大米补上，看成两份甲仓库大米数量的和，甲仓库大米数量为

（1600+180）÷2=890（袋），

乙仓库大米数量为

890-180=710（袋）.

7.小明喜欢收集卡片，其中有58张不是有关人物的，有42张不是有关卡通的，小明共有关

于人物和关于卡通的卡片60张，那么有关卡通的卡片有多少张？

【答案】38

【分析】58张不是有关人物的，有42张不是有关卡通的，根据差不变，有关人物比有关卡

通的卡片的数量少

58-42=16（张），

根据和差公式，有关卡通的卡片有

（60+16）÷2=38（张）.

8.爸爸一个月的工资是3200元，他取出一部分，其余的留存银行，已知他如果再多取500元,

那么留存的和取出的一样多，问爸爸实际取出了多少元？

【答案】IlOO元

【分析】多取500元，则留存的和取出的一样多，留下的钱比取出的钱多

500×2=IoOO（元）.

所以根据和差公式，爸爸实际取出

（3200-1000）÷2=IlOO（TE）.

9.把长108厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米？

【答案】长33,宽21

【分析】一个长与一个宽的和是

108÷2=54（厘米），

把宽少的12厘米补上，看成两份长的和，所以长为

（54+12）÷2=33（厘米），

宽为

33-12=21（厘米）.

10.学校买了一些水果发给同学们，其中有135个不是苹果，有105个不是桔子，已知苹果和

桔子一共有180个，那么学校买了苹果和桔子各多少个？

【答案】桔子75,苹果105

【分析】50个不是苹果，80个不是桔子，利用差不变，桔子比苹果多

135-105=30（个），

苹果和桔子一共有180个，所以根据和差公式，桔子有

（180+30）÷2=105（个）,

苹果有

（180-30）÷2=75（个）.

11.妈妈买了苹果、橘子一共7个，中午小华吃了2个苹果和1个橘子，剩下的苹果和橘子一

样多，那么妈妈买了苹果、橘子个多少个？

【答案】苹果4,橘子3

【分析】橘子比苹果少一个，把少的1个补上，看成两份苹果数量总和，所以苹果的数量是

（7+1）÷2=4（个），

橘子的数量是

4-1=3（个）.

12.两个兔笼共有兔子16只，若甲笼放入4只，乙笼取出2只，这时两笼的兔子一样多，求

甲、乙两笼原来各有兔子多少只？

【答案】甲笼5,乙笼11

【分析】甲笼再放入4只乙笼取出2只，两笼的兔子一样多，那么实际两个笼子兔子数量差

是

4+2=6（只）.

把甲笼少的6只补上，看成两份乙笼兔子只数的和，那么乙笼有兔子

（16+6）÷2=11（只），

甲笼有兔子

11—6=5（只）.

13.一小、二小两校春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽

量坐满.现在知道，若两校都租用14座的旅游车，则两校共需租用这种车72辆；若两校都

租用19座的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆.问两校参加这次春游的人数各是多

少？

【答案】430人；570人.

【分析】根据题意可知，两校总人数不少于14X(72-2)+1+1=982人，且不多于

14X72=1008人，因为是10的整数倍，所以总人数为IOOO人，或990人.

由于二小比一小多租用7辆19座的旅游车，所以二小与一小的人数之差不小于6×19+1=

115人，不大于8X19-I=I51人，又是10的倍数，可能的情况有：120、130、140、

150.

如果总人数为1000人，两校人数之差：

如为120,则一小有(IoOO-120)÷2=440,二小有560人；

如为130,则一小有(IOOO-130)÷2=435,二小有565人，不符;

如为140,则一小有(IOOO-140)÷2=430,二小有570人；

如为150,则一小有(IOoO-150)+2=425,二小有575人，不符；

检验可知一小430人、二小570人符合题意.

如果总人数为990人，同样检验两校人数之差分别为120、130、140、150的情况，可知都

没有符合条件的答案，所以这次春游人数一小是430人，二小是570人.

14.学校图书室共有故事书、科技书和其他书三类，己知有520本不是故事书，有500本不是

科技书，已知故事书和科技书一共有700本，问图书室里有科技书、故事书各多少本？

【答案】360；340

【分析】不是故事书的520本里包含其他书和科技书，不是科技书的500本包含其他书和

故事书.利用差不变，科技书比故事书多

520-500=20(本).

故事书与科技书共有700本，所以根据和差公式，科技书有

(700+20)÷2=360(本).

故事书有

(700-20)÷2=340(本).

15.把614元的奖金奖给甲、乙、丙三人；甲比乙多得24元，比丙多得16元：甲、乙、丙各

得奖金多少元？

【答案】甲得218元；乙得194元；丙得202元.

【分析】根据题意可以画图，如图所示.

∙∣,II1

乙I1J>614K.

24

由图可知，可以假设三个数都和甲相等，那么乙数需要加上24,才能和甲数相等；丙数需要

加上16后才能和甲数相等.那么总数也将增加一个24和一个16,变为614+16+24,这时

因为三个数都变得和甲数相等，所以就可以把新的总数平均分成三份，得出的结果就是甲的大

小.（614+16+24）+3=218（即甲的值）然后分别用218减去24得出194就是乙的值；

减去16得出202就是丙的值.

16.育才小学三年级有三个班，一共有学生126人.如果一班比二班多4人，二班比三班多4

人，那么这三个班分别有多少人？

【答案】一班46人，二班42人，三班38人.

【分析】建议画图分析.假设三班为1份，二班是1份多4人，一班是1份多4+4=8（人

）,所以三班为

（126-4-8）÷3=38（人），

二班是

38+4=42（A）,

一班是

42+4=46（人）.

17.甲、乙两人合作2小时•，共生产零件110个，如果甲、乙分别工作4个小时•，甲比乙多做

20个，甲乙每小时各生产多少个？

【答案】甲30；乙25

【分析】甲、乙合作一小时生产零件

110÷2=55（个）

每小时甲比乙多做

20÷4=5（个）.

根据和差公式，甲一小时生产零件

(55+5)÷2=30(个),

乙一小时生产零件

(55-5)÷2=25(个)

18.把324分为甲、乙、丙、丁四个数，如果甲数加上2,乙数减去2,丙数乘以2,丁数除以

2后，四个数相等，求这四个数原来分别是多少？

【答案】甲70,乙74,丙36,T144.

【分析】由题可得线段图，如图所示.

VW・・・・•一・・・・・

I

2I

Ψ.______________>_________I二！

I1

LI_____________I|二

丙I--------L---------------------\

I

丁■■!■

设丙为一份，甲为两份少2（需+2）,乙是两份多2（需一2）,丁是4份.当甲、乙、丙、

丁都是整倍数时的和：324+2-2=324.

总份数：1+2+2+4=9,一份数丙：324÷9=36,甲：2X36-2=70,乙：2x36+

2=74,T：4×36=144.

19.两个金鱼缸里共有金鱼25条，甲缸里新放入6条，乙缸里取出3条，这时乙缸还比甲缸

多2条金鱼.求甲、乙两缸原来各有金鱼多少条？

【答案】甲缸7条，乙缸18条

【分析】若甲缸再放入6条，乙缸取出3条，这时乙缸还比甲缸多2条，那么乙缸鱼总的

数量比甲缸鱼总的数量多11条，把甲缸少的11只补上，看成两份乙缸鱼数量的和，那么乙

缸中鱼的数量为

（25+11什2=18（条），

那么甲缸鱼的数量为

18-11=7（条）.

20.如下图，某城市东西路与南北路交会于路口4.甲在路口A南边560米的B点，乙在路口

A.甲向北，乙向东同时匀速行走.4分钟后二人距4的距离相等.再继续行走24分钟后，

二人距A的距离恰又相等.问：甲、乙二人的速度各是多少？

【答案】80米/分；60米/分.

【分析】本题总共有两次距离4相等.第一次：甲到4的距离正好就是乙从A出发走的路

程.那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：

560÷4=140（米/分）.

第二次：两人距A的距离又相等，只能是甲、乙走过了4点，且在A点以北走的路程等于乙

走的总路程.那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了

4+24=28（分钟）,

两人的速度差：

560÷28=20（米/分），

甲速+乙速=140,

显然甲速要比乙速要快；

甲速一乙速=20,

解这个和差问题

甲速=（140+20）÷2=80（米/分）

乙速=140-80=60（米/分）.

21.果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20

棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

【答案】292；140；120

【分析】下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相

比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹

果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍

了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍.

梨树∙∙、

2倍

入

桃树（•>552棵

12棵

苹果树9J

20棵

①梨树的棵数：(552+20—12)÷(1+1+2)=560÷4=140(棵)；

②桃树的棵数：140x2+12=292(棵)；

③苹果树的棵数：140-20=120(棵).

22.甲、乙两个仓库共运进货物1260吨，如果从甲仓库调出120吨货物到乙仓库，则两个仓

库的货物一样多，求甲乙两个仓库原来运进货物各多少吨？

【答案】750；510

【分析】根据题意我们可以得出原来甲仓库比乙仓库多

120×2=240（吨）

两个仓库一共运进货物1260吨.所以根据和差公式，甲仓库原有

（1260+240）÷2=750（吨）

乙仓库原有

（1260-240）÷2=510（吨）

23.哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为

97岁，请问二人今年各多少岁？

【答案】兄：48；妹：39.

【分析】由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4+5”

岁.由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为

“97-2-8”岁.由“和差问题”解得，

兄：

[(97-2-8)+(4+5)]÷2=48(岁)

妹:

[(97-2-8)-(4+5)]÷2=39(岁)

24.若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加数学竞赛，己知

家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，老师比妈妈多3人.问：在这些人中,

爸爸有多少人？

【答案】5人.

【分析】家长比老师多，因此家长至少为12人，老师最多10人，妈妈比爸爸多，说明妈

妈至少为7人，又知道老师比妈妈多3人，因此老师10人，妈妈7人，爸爸5人.

25.甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食.其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的3倍多1吨,

而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的2倍.问：甲粮仓比丙粮仓多存多少吨粮？

【答案】61

【分析】由题可得线段图，如图所示.

内I»-------1

乙：t1I,，乩

gI∣t

甲：，，♦_______I_______■_______I_______Γ^"^3

假设丙是1份，乙是2份，甲是

2x3=6（份）,

多1吨，所以每份为

（109-1）÷（1+2+6）=12（吨）,

甲是

12×6+1=73（吨），

甲比丙多

73-12=61（吨）.

26.赵叔叔沿着长和宽相差30米的长方形游泳池跑了6圈，共跑了1080米，问游泳池的长和

宽各是多少米？

【答案】长60,宽30

【分析】根据题意，跑一圈即长方形周长是

1080÷6=180（米）.

把宽少的2x30米补上，看成四份长的和，所以长为

（180+30×2）÷4=60迷）,

所以宽为

60-30=30（米）.

27.在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是240,而减数是差的5倍.求差是多少?

【答案】20

【分析】减数与差的和是：240÷2=120;差是：120+（5+1）=20.

28.丁丁在期中考试中，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁语文

和数学各得了多少分？

【答案】语文90,数学92

【分析】把语文少的2分补上，看成两份数学成绩总和，所以数学成绩是

（91×2+2）÷2=92（分）,

语文成绩是

92-2=90（分）.

29.今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁.问：几年后爷爷的年龄等于三个孙

子年龄之和？

【答案】6

【分析】今年三个孙子的年龄和为

27+23+16=66（岁）

爷爷比三个孙子的年龄和多

78-66=12（岁）

每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙子的年龄和却要增加

1+1+1=3（岁）

比爷爷多增加

3-1=2（岁）

因而只需求出12里面有几个2即可.

[78-（27+23+16）]÷（1+1+1-1）=6（年）

所以6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和.

30.长方形的广告牌长为10米，宽为8米，A,B,C,D分别在四条边上，并且C比A低5

米，D在B的左边2米，四边形48CD的面积是平方米.

【答案】45

【分析】如右图，四边形ABC。的面积比外面的四个三角形的面积和大2x5=10（平方米）,

所以四边形ABCD的面积是（10×8+10）÷2=45（平方米）.

31.甲、乙两班植树一共有小树苗180棵，甲班给了乙班30棵后仍比乙班多12棵，那么原来

甲乙两班各分配多少棵树苗？

【答案】126；54

【分析】根据题意甲班的小树苗棵树实际比乙班多

30+30+12=72（棵）.

甲乙一共有小树苗180棵.所以根据和差公式，甲班原来有

（180+72）÷2=126（棵）

小树苗.乙班原有

（180-72）÷2=54（棵）.

32.甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本.问：甲、乙、丙各有多少本书？

【答案】甲有29本，乙有20本，丙有27本.

【分析】和差问题是指两个数的和与差，现在出现了三个数，需要化为两个数的和差问

题.因为“甲的书比乙多9本，比丙多2本”，说明乙的书比丙少9-2=7（本）.由“乙、丙共有

书47本“，乙比丙少7本，可用和差公式求解.

乙有书

[47-（9-2）]÷2=20（本）

丙有书

47-20=27（本）

甲有书

20+9=29（本）

所以甲有29本，乙有20本，丙有27本.

33.快车长106米，慢车长74米，两车同向而行，快车追上慢车后，又经过1分钟才超过慢

车；如果相向而行，车头相接后经过12秒两车完全离开.求两列火车的速度.

【答案】快车的速度为9米/秒，慢车的速度为6米/秒.

【分析】根据题目的条件，可求出快车与慢车的速度差和速度和，再利用和差问题的解法求

出快车与慢车的速度.两列火车的长度之和：106+74=180（米）.根据题意，求出快车与慢

车的速度之差：180÷60=3（米/秒），快车与慢车的速度之和：180÷12=15（米/秒）.快车

的速度为：（15+3）÷2=9（米/秒），慢车的速度为：（15-3）-2=6（米/秒）.

34.四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是IOO平方分米，小正方形的面积是16

平方分米，求每个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？

【答案】21平方分米；3

【分析】（1）长方形的面积是

（100-16）÷4=21（平方分米）

（2）因为

100=10×10

16=4×4

所以大正方形的边长是10分米，小正方形的边长为4分米，那么长方形的短边是

（10-4）÷2=3（分米）

35.如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为

4平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形的长为_______厘米，

宽厘米.

【答案】11;9

【分析】由题意知，大正方形的边长是20厘米，小正方形边长是2厘米，根据图形可知：

长方形的长+宽=20厘米，长一宽=2厘米，所以长方形宽为（20-2）+2=9（厘米），长

为20—9=11（厘米）.

36.甲、乙两人从4、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行50米.出发

一段时间后，两人在距中点100米处相遇.如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，两人在

距中点250米处相遇.那么甲在途中停留了分钟.

【答案】12

【分析】甲、乙两人相遇时的路程差为IoOX2=200（米），所以它们相遇时间为200÷

（70-50）=10（分钟），则4、B两地路程为10X（70+50）=1200（米），甲出发后在途中停

留了一会儿，而它们相距中点250米所以必然是乙比甲走的路程多250X2=500（米），所以

乙行驶了（1200+500）÷2=850（米），甲行驶了1200-850=350（米）.乙行驶时间为

850÷50=17（分钟），甲行驶了350+70=5（分钟）.所以甲途中停留时间为17-5=12（

分钟）.

37.一条客轮在一条江上往返载客.顺江而下时，每小时行80千米，逆江而上时，每小时行

50千米.求这条客轮在静水中的速度和这条江的水流速度.

【答案】静水中船速65千米/时，流速15千米/时.

【分析】因为

顺流速度=静水速度+水流速度

逆流速度=静水速度-水流速度

根据题意，静水速度与水流速度之和为80千米/时，它们的差为50千米/时，所以，这是和差

问题.

静水中船速为：

（80+50）÷2=65（千米/时）

水流速度为80-65=15（千米/时）

所以静水中船速65千米/时，流速15千米/时.

38.如图所示，己知。是直线4。上一点，ΛAOB,乙BOC,4C。。三个角从小到大依次相差

25°,求这三个角的度数.

【答案】NAOB=35。，NBoC=60。，NCOD=85。.

【分析】由和差问题(见下图)

ZAOB''

ZBOCSJ——，TX。'

2$-”。

ZCOD4-------------i----,---k

/-AOB=(180°-25°-25°-25o)÷3=35°,乙BOC=350+25°=60°,乙COD=60°+

25°=85°.

39.如中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积.

2厘米

【答案】53平方厘米.

【分析】再作两条垂线如右图，所以阴影面积为（10×10+2×3）÷2=53（平方厘米）.

40.有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果，较大的2堆苹果数之差为5个，较大的3堆

平均有26个苹果，较小的2堆苹果数之差为7个.最大堆与最小堆平均有22个苹果.问：

每堆各有多少苹果？

【答案】31,26,21,20,13

【分析】最大堆与最小堆共22×2=44（个）苹果，较大的2堆与较小的2堆共44X2+

7-5=90（个）苹果，所以中间的一堆有：（18X3+26X3—90）+2=21（个）苹果，较大的

2堆有：26x3-21=57（个）苹果，最大的一堆有：（57+5）+2=31（个）苹果，次大的一

堆有：57-31=26（个）苹果，较小的2堆有：18X3-21=33（个）苹果，次小的一堆有：

（33+7）÷2=20（个）苹果，最小的一堆有：20-7=13（个）苹果.

41.4、B两地位于同一条河上，B地在力地下游100千米处.甲船从4地、乙船从8地同时

出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航.水速为2米/秒,

且两船在静水中的速度相同.如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速

度是多少米/秒？

【答案】10

【分析】

如图，箭头表示水流方向，4→C-E表示甲船的路线，BTDTF表示乙船的路线，两个交

点M、N就是两次相遇的地点.由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速

度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC

和DE的长度相同，AD和CF的长度相同.那么根据对称性可以知道，M点距BC的距离与N

点距OE的距离相等，也就是说两次相遇地点与力、B两地的距离是相等的.而这两次相遇的

地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了

（100-20）÷2=40（千米）

和

100-40=60（千米），

可得两船的顺水速度和逆水速度之比为

60:40=3:2.

而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为

4+（3-2）x3=12（米/秒），

那么两船在静水中的速度为

12-2=10（米/秒）.

42.小军和他爸爸今年的年龄