2024届五年高考数学（理）真题分类训练：一 集合与常用逻辑用语

专题一集合与常用逻辑用语

考点1集合

题组

一、选择题

1.［2023新高考卷I,5分］已知集合M={-2-1,0,1,2},N={x\x2-x-6>

0},则MClN=(C)

A.［-2-1,0,1}B.［0,1,2}C.{-2}D.{2}

［解析］解法一因为N={x\x2-%-6>0}={x\x23或％W—2},所以Mn

N={—2},故选C.

解法二由于1WN,所以1WMCIN,排除A,B；由于2WN,所以2WMCl

N,排除D.故选C.

2.［2023全国卷乙，5分］设集合U=R，集合M={x\x<1］,N{x\-1<x<

2},则{%|久22}=(A)

A.Cu(MUN)B.NUQMC.Cy(MnW)D.MUCVN

［解析］MUN=(x\x<2},所以Cu(MUN)=(x\x>2］,故选A.

3.［2023新高考卷IL5分］设集合4={0-a］,B={1,a—2,2a-2},若4G

B,则a=(B)

2

A.2B.1C.-D.-1

3

［解析］依题意，有a—2=0或2a—2=0.当a—2=0时，解得a=2,止匕时

4={0-2},B={1,0,2},不满足2GB；当2a—2=0时，解得a=1,止匕

时4={0-1},B={-1,0,1},满足4cB.所以a=1,故选B.

4.［2023天津,5分］已知集合［;={1,2,3,4,5}/={1,3},B={1,2,4},则(QB)U

4=(A)

A.{1,3,5}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}

［解析］解法一因为U={123,4,5},B={1,2,4},所以QB={3,5}，又2=

{1,3},所以(QB)U4={1,3,5}.故选A.

解法二因为2={1,3},所以2U(QB)UA，所以集合(QB)UA中必含有元素

1,3,所以排除选项C,D；观察选项A,B,因为5WB,所以5CQB,即5c

(QB)UA,故选A.

5.[2023全国卷甲，5分]设全集U=Z,集合M={幻％=3/c+l,/ceZ},N=

(x\x=3k+2,kCZ},则Q(MUN)=(A)

A.{x\x-3k,kEZB.\x\x—3k—1,kEZ)

C.{x\x—3k—2,kEZ)D.0

[解析]解法一M={...,-2,1,4,7,10,...},N={...-1,2,5,8,11,...},所以MUN=

{…，-2,—1,1,2,4,5,7,8,10,11,...},所以Cu(MUN)=3,0,3,6,9,...},其元

素都是3的倍数，即Q(MUN)=[x\x=3k,keZJ,故选A.

解法二集合MUN表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰

好被3整除的整数集，故选A.

6.[2022新高考卷I,5分]若集合M={x|Vx<4},N=(x\3x>1}，则MCN=

(D)

11

A.{x|0<%<2]B.{x|-<%<2}C.{x|3<x<16}D.{x|-<%<16]

[解析]因为M={x|V%<4},所以M=<%|0<x<16]；因为N={x\3x>

1},所以N=(x\x>|}.所以MN-{x\^<x<16},故选D.

7.[2022新高考卷H,5分]已知集合2={-1,1,2,4},B={x\|x-1|<

1},则aClB=(B)

A.[-1,2}B.[1,2}C.[1,4}D.{-1,4}

[解析]由|为一1|W1,^-1<x-l<l,解得0W尤W2,所以B={X|OW

x<2},所以aClB={1,2},故选B.

8.[2022北京，4分]已知全集U={久|一3<%<3},集合Z(x\-2<x<

1}，则C“=(D)

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]U

。3)

[解析]因为全集U=(—3,3),4=(—2,1],所以QM=(—3,-2]U(1,3),故选

D.

9.[2022全国卷乙，5分]设全集U={123,4,5},集合M满足QM=[1,3}，则

(A)

A.2EMB.3EMC.40MD.50M

［解析］由题意知M={2,4,5},故选A.

10.[2022全国卷甲，5分]设全集U={—2,-1,0,1,2,3},集合2=

{-1,2},B={x\x2-4%+3=0}，则0(4UB)=(D)

A.[1,3}B.[0,3}C.[-2,1}D.[-2,0}

[解析]集合B={1,3},所以aUB={-1,1,2,3}，所以CuG4UB)={-2,0}.故

选D.

11.[2021新高考卷n,5分]若全集U={1,2,3,4,5,6},集合4={1,3,

贝

6},B={2,3,4},n(CyB)=(B)

A.{3}B.[1,6}C.[5,6}D.[1,3}

[解析]因为QB={1,5,6},A={1,3,6),所以an(CuB)={1,6}.

12.[2021新高考卷I,5分]设集合4={x|-2<x<4],B={2,3,4,5),则4n

B=(B)

A.{2}B.[2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

[解析]因为2={久|-2<%<4},B=[2,3,15),所以2ClB={2,3},故选B.

13.[2021全国卷甲，5分]设集合M={x|0<%<4]=<%||<x<5]，则Mn

N=(B)

11

A.{x|0<%<-}B.{x|-<%<4}C.{x|4<%<5}D.[%|0<%<5]

[解析]MnW={x||<%<4}.

14.[2021全国卷乙，5分]已知集合S={s\s=2n+1,nGZ},T={t\t=4n+

l,neZ)，贝USCiT=(C)

A.0B.SC.TD.Z

[解析]解法一在集合T中，令律=k(keZ),则t=4九+1=2(2/c)+

l(/ceZ),而集合S中，s=2n+l(nGZ),所以必有T麋S,所以TnS=

T,故选C.

解法二(歹U举法)S={…,一3,—1,1,3,5,…},T={…,一3,1,5,…},观察可知，

T窿S,所以TClS=T,故选C.

15.[2020全国卷n,5分]已知集合U=[-2-1,0,1,2,3}/={-1,0,1},B=

{1,2},则Cu(ZUB)=(A)

A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2-1,0,3}D.{-2-1,0,2,3}

[解析]由题意，得aUB={-1,0,1,2},所以Cu(ZUB)={—2,3},故选A.

16.[2020全国卷I,5分]设集合2={x\x2-4<0},B={x\2x+a<0]，且4n

B={久|-2W%W1},则a=(B)

A.-4B.-2C.2D.4

[解析]易知a=<%|-2<x<2},B={x\x<-^]，因为aClB=[%|-2<%<

1)，所以—£=1，解得a=-2.故选B.

17.[2020全国卷III,5分]已知集合4={(x,y)|x,yeN*,y>x},B={(x,y)|x+

y=8}，则anB中元素的个数为(C)

A.2B.3C.4D.6

[解析]由题意得，AnB的元素是直线%+y=8上满足久,yEN*且y之久的

点,即点(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),所以2CB中元素的个数为4,选C.

【方法技巧】当用描述法表示集合时，要注意集合中的元素表示的意义是什么.

集合{%1/(%)=0]{%|/(x)>0]{x\y=/(%))(y\y={(%,y)|y=

/(%)}/(%)}

代表元素方程/(%)=0不等式函数y=/(%)函数y=函数y=

的根./(%)>0的的自变量的取f(x)的函数/(%)图象上

解.值.值.的点.

18.[2020新高考卷I,5分]设集合A=(%|1<%<3]={x\2<%<4}，则4U

B=(C)

A.{x\2<%<3}B.[x\2<%<3}C.[%|1<%<4}D.{x\l<%<4}

[解析]a={x|l<%<3},B-{x\2<%<4},则aUB={x|l<%<4},选

c.

19.[2020北京，4分]已知集合4=[-1,0,1,2},B=<%|0<x<3},则LHB=

(D)

A.[-1,0,1}B.[0,l}C.[-1,1,2}D.{1,2}

[解析]由题意得，aClB={1,2},故选D.

20.[2020浙江，4分]设集合S,T,SGN*,TQN\S,T中至少有2个元素，且

S,T满足：

①对于任意的％,yeS,若%丰y,则为yGT;

②对于任意的久,yeT,若无＜y，则（GS.

下列命题正确的是（A）

A.若S有4个元素，则SUT有7个元素B.若S有4个元素，则SUT有6个元

素

C.若S有3个元素，则SUT有5个元素D.若S有3个元素，则SUT有4个元

素

[解析]解法一特殊值法.当S={1,2,4},7={2,4,8}时，SUT={1,2,4,8},故C

错误；当5={2,4,8},T={8,16,32}时，SUT={2,4,8,16,32},故D错误；当

S={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128}时，SUT={2,4,8,16,32,64,128},故B

错误.故选A.

解法二①当S中有3个元素时，设S={a,b,c},a<b<c,则{ab,bc,ac}G

T,所以&ESESES,当£=c时，a=1,所以£=b,即c=b2,止匕时

abaab

S={1力2},T={b，炉乃3},所以suT={1力力2,b3},有4个元素；当（=

匕时，c=ab,所以2—a,即匕=a2（a丰）止匕时23

a1,S={a,a,a},T—

345345456

{a,a,a}或{M9a,a,a}或{M,a,a,a）,所以SUT=

{a,a2,a3,a4,a5}或{a,a2,a3,a4,a5,a6},有5个或6个元素.故排除

C,D.

②当S中有4个元素时，设5={a,c,d},a<b<c<d9所以ab<ac<

ad<bd<cd,且{ab,ac,ad,bd,cd}QT,所以竺<也<㈣<也,且

'Jabababab

喘黑，黑冷US,所以胃=a，与=b,3=c，M=d,所以b=a2,c=

abababababababab

a3,d—a4（a丰1），此时S={a,a2,a3,a4},T—{a3,a4,a5,a6,a7），则SUT=

{a,a2,a3,a4,a5,a6,a，},有7个元素，故选A.

21.[2019全国卷m,5分]已知集合4={—1,0,1,2},B={x\x2<1},则

4CiB=（A）

A.{—1,0,1}B.[0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

[解析]集合B={%|-1<%<1}，则an5={-i,0,1}.

22.[2019全国卷I,5分]已知集合知={久I—4<%<2},N{x\x2-x-6<

0},则MClN=（C）

A.{x|-4<%<3}B.[%|-4<%<—2]

C.{x|-2<%<2}D.{x\2<%<3]

［解析］：N—{x\—2<x<3］,M—{x\—4<x<2},Mr\N-{x\—2<x<

2),故选C.

23.［2019全国卷H,5分］设集合Z={久比2-5%+6>0},B=(x\x-1<

0},则aClB=(A)

A.(-oo,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+s)

［解析］因为4=(x\x2—5x+6>0］={x\x>3或%<2},B={x\x-1<0}=

{x\x<1},所以2CB=(x\x<1},故选A.

24.［2019天津，5分］设集合4={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C=

{XER\1<X<3},则G4CIC)UB=(D)

A.{2}B.［2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

［解析］由条件可得anc={1,2}，故(anc)uB={1,234}.

25.［2019浙江，4分］已知全集［/={-1,0,1,2,3］,集合4={0,1,2),

B={-1,0,1},则(C“)CB=(A)

A.{-1}B.［0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,

3)

［解析］由题意可得={-1,3},则(C“)nB={-1}.故选A.

二、填空题

26.［2020江苏，5分］已知集合4=［-1,0,1,2},B=［0,2,3}，则2CB=£02}.

［解析］由交集的定义可得aCB={0,2}.

27.［2019江苏,5分］已知集合4={-1,0,1,6},B=(x\x>0,xER},

则4CB=£L6}.

［解析］由交集定义可得anB=［1,6}.

考点2常用逻辑用语

题组

选择题

1.［2023天津，5分］"。2=/”是72+匕2=2ab”的(B)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分又不必要条件

［解析］因为"a?=人2"qua——b或a=b"，aa2+b2-lab"Q"a=

b”，所以本题可以转化为判断“a=-匕或a=匕”与“a=b”的关系，又

“a=—b或a=b”是“a=匕”的必要不充分条件，所以“a2=炉”是

aa2+b2-2ab”的必要不充分条件.故选B.

2.［2023全国卷甲，5分］设甲:sin2a+sin2s=1，乙:sina+cos0=0，则(B)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

［解析］甲等价于sin2a=1—siM0=cos20,等价于sina=±cos0,所以由

甲不能推导出sina+cos夕=0,所以甲不是乙的充分条件；由sina+cosp=

0,得sina=—cos0,平方可得siMa=cos?。=1—siM?,即sin2a+

sin2^=1,所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B.

3J2023新高考卷I,5分］设%为数列｛即｝的前几项和，设甲：｛册｝为等差数

列；乙：｛乎｝为等差数列.则(C)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

［解析］若｛"｝为等差数列，设其公差为d,贝1］册=%+(n—l)d,所以％=

71al+""1)d,所以包—+(n-I'),所以昆旦一团=的+(n+1—1)•

2n2n+1n

［电+⑺―1)4］=会为常数，(等差数列的定义)

所以｛乎｝为等差数列，即甲=乙；若｛曰｝为等差数列，设其公差为t,则曰二

Y+(n—l)t=a-L+(n—l)t,所以％=nar+n(n—l)t,所以当n22时，

CLn=Sn一S九一］=Tld^+TL(TL_1)t-［(71-l)d^+(Tl-1)(Tl-2)t］=CL^+

2(n—l)t,当n=l时，Si=的也满足上式，所以a”=的+2(九—1)《九e

N),所以册+i—an=&+2(n+1—l)t—［ci-1+2(n—l)t］=2t,为常数，

所以｛斯｝为等差数列，即甲仁乙.所以甲是乙的充要条件，故选C.

4.［2022天津,5分］“久是整数”是“2%+1是整数”的(A)

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］若％是整数，则2%+1是整数；当久=］时，2%+1是整数，但％不是整

数.所以"％是整数”是“2%+1是整数”的充分不必要条件，故选A.

5.［2022浙江，4分］设％GR,则“sin%=1”是“cos%=0"的(A)

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］由sinx-1,得％=2/CTT+(/cGZ),则cos^2/CTT+；)=cos］=0，

故充分性成立；又由cos%=0,得％=Mi+］(/cCZ),而sin(/CTT+；)=1或

—1,故必要性不成立.所以"sin%=1"是"cos%=0"的充分不必要条件，故

选A.

6.［2022北京，4分］设｛册｝是公差不为0的无穷等差数列，则“｛斯｝为递增数

列”是“存在正整数为,当n>No时,an>0”的(C)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］设无穷等差数列｛册｝的公差为d(d丰0),则与=%+(ri-l)d=dn+

ar-d,若｛册｝为递增数列，则d>0,则存在正整数No，使得当n>No时，

an-dn+ar-d>0,所以充分性成立；若存在正整数为，使得当n>No

时，厮=dn+%_—d>0,即d>对任意的n〉No,nCN*均成立，由

于TIT+8时，誓-0,且d#0,所以£/>0,｛斯｝为递增数列，必要性成

立.故选C.

7.［2021全国卷乙，5分］已知命题CR,sinx<1；命题q:V%eR,e团之

1,则下列命题中为真命题的是(A)

A.pAqB.-ipAqC.pA-iqD.-i(pVq)

［解析］由正弦函数的图象及性质可知，存在久GR，使得sin%<1,所以命题p

为真命题.对任意的久CR,均有9幻20。=1成立，故命题q为真命题，所以命

题pAq为真命题，故选A.

【方法技巧】1.命题pVq,pAq1P的真假判断

pqpVqpAq-ip

真真真真假

真假真假假

假真真假真

假餐餐假X

2.“pvq”“pM”“-1P”形式命题真假的判断步骤

(1)确定命题构成形式；

(2)判断命题p,q的真假；

(3)根据真值表确定“pvq”“p/\q”“「p”形式命题的真假.

8.［2021浙江，4分］已知非零向量a力,c，则“a•c=b•c”是“a=b”的

(B)

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］由a•c=b•c可得(a—b)•c=0,所以(a-b)1c或2=b,所以

“a•c=b•c”是“a=b”的必要不充分条件.故选B.

9.［2021北京，4分］设函数/(久)的定义域为［0,1］,则“函数/(%)在［0,1］上单调

递增”是“函数/(无)在［0,1］上的最大值为/(I)”的(A)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］设P：函数/(%)在［0,1］上单调递增，q：函数/(%)在［0,1］上的最大值为

/(I),由单调性的定义可知，pnq成立，而qnp不成立，举反例如图所示.

10.［2021全国卷甲，5分］等比数列的公比为q,前几项和为％.设甲：q>

0,乙：｛S。｝是递增数列,则(B)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

［解析］当的<0,q>1时，an=<0，此时数列｛Sn｝递减，所以甲不是

n

乙的充分条件.当数列｛S"｝递增时，有％+1—Sn=an+1=a1q>0,若的〉

0,则q”>0(neN*),即q>0；若<0,则q"<0(neN*),不存在.所

以甲是乙的必要条件.

11.［2021上海春季，5分］已知函数y=/(%)的定义域为R,下列是/(%)无最大

值的充分条件的是(C)

A./(%)为偶函数且图象关于点(1,1)对称

B./(%)为偶函数且图象关于直线％=1对称

C./(%)为奇函数且图象关于点(1,1)对称

D./(%)为奇函数且图象关于直线久=1对称

［解析］选项A,B,D的反例如图1,图2,图3所示，故选项A,B,D错误；对

于选项C,•••/(%)为奇函数且图象关于点(1,1)对称，/(%)+/(-%)=0,

/(2+%)+/(—%)=2,/(2+%)—/(%)=2,f(2k+%)=/(%)+2k,kE

Z,又/(0)=0,/(2/c)-2k,kEZ,当k—+oo时，f(2k)=2kt

+8,函数/(%)无最大值，C正确.

图3

12.［2020天津，5分］设aGR，则“a>1”是“a2>a”的(A)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］由a?>a得a>1或a<0,反之，由a〉1得a?>a,贝U"a>1"是

a2>a的充分不必要条件，故选A.

13.［2020北京，4分］已知a,。eR，则“存在kGZ使得a=Mi+(―1)?”

是"sina=sin£”的(C)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］若存在keZ使得a=/CTT+(―1)平，则当k=2nJieZ时，a-2nn+

B,则sina=sin(27rn:+6)=sin夕；当/c=2n+1,neZ时，a—

(2n+l)ii—°,则sina—sin(2九TC+TT—?)=sin(n—?)=sin夕.若sina—

sin0,则a=2)rn:+夕或a=2THT+TT一夕,neZ,即a=kn+(―1)上.，

kEZ,故选C.

14.［2020浙江,4分］已知空间中不过同一点的三条直线，,TH