2023中考数学练习 10 二次函数综合问题（学生版+解析版）

专题10二次函数综合问题

一、【知识回顾】

【思维导图】

二次函数

【类型清单】

二、【考点类型】

考点1：线段周长问题

典例1：(2022•漳州)如图，抛物线y=χ2+bx+c与X轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点M是抛物线在X轴下方上的动点，过点M作MN〃y轴交直线BC于点N,求线段MN

的最大值；

(3)在(2)的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴1上是否存在点P,使APBN是

等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式1](2018•大庆)如图，抛物线y=χ2+bx+c与X轴交于A、B两点，B点坐标为(4,0),与y轴

交于点C(O,4).

(2)点P在X轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求

PE+EF的最大值；

(3)点D为抛物线对称轴上一点.

①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；

②若ABCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围.

【变式2](2022九上•东阳月考)如图，抛物线y=aχ2+bx+c经过A(-1,O),B(3,O),C(0,3)

三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D做DQLX轴于点M,DQ与BC相交于点M.DE±BC

于E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求线段DE长度的最大值；

(3)连接AC,是否存在点D,使得ACDE中有一个角与NCAo相等？若存在，求点D的横坐标;

若不存在，请说明理由.

【变式3](2022九上∙郸州月考)如图，已知抛物线y=χ2+bx+c与X轴交于A,B两点，其中点A的坐

标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求APAD周长的最小值；

(3)抛物线的对称轴上有一动点M,当aMAD是等腰三角形时，直接写出点M的坐标.

考点2：面积问题

典例2：（2021九上嘟城期末）如图1,在平面直角坐标系xθy中，抛物线y=ax2+bx经过点

（-2,5）,且与直线y=-∣x在第二象限交于点A,过点A作ABLx轴，垂足为点8（-4,0）.

若P是直线OZ上方该抛物线上的一个动点,过点P作PCIx轴于点C,交04于点D,连接OP，

图1图2

（1）求抛物线的解析式；

（2）求a∕10P的面积S的最大值；

（3）连接PB交。4于点E,如图2,线段PB与AD能否互相平分？若能，请求出点E的坐标;

若不能，请说明理由.

【变式1］（2022九上,岳麓开学考）如图，抛物线y=ɑ/+b%+6经过4（一2,0）、B（4,0）两点，与y轴

交于点C,点O是抛物线上一动点，设点。的横坐标为m(l<τn<4),连结AC、BC,DB、DC.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)当ABCO的面积等于AAOC的面积的J时，求Tn的值.

(3)当血=2时，若点M是％轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使

得以点8、0、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，

请说明理由.

【变式2](2022九上•舟山月考)如图，抛物线y=α∕+bχ+c(αK0)经过点A(2,O),B(-2,4),(-4,

0),直线AB与抛物线的对称轴交于点E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当AABM的面积最大时，求点M的坐标；

(3)若点F为平面内的一点，且以点B,E,C,F为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件

的点F的坐标.

【变式3](2021九上•槐荫期末)二次函数y=aχ2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(-4,0),B(1,0),

与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC,过点P作PD,X轴于点D.

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接PA,PC,求以p4C的最大值；

（3）连接BC,当NDPB=2NBC0时，求直线BP的表达式.

考点3：角度问题

典例3：(2022九下∙磐安期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c(α≠0)与x轴交于点4(1,0)，

B(9,0),与y轴交于点C,已知乙OAC=乙OCB.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点P在y轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点Q,满足/-AQP=90°?

如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)若点P在y轴上，满足sin∆APB=|的点P是否存在？如果存在，请求出点P的坐标;

如果不存在，请说明理由.

【变式1](2021九上•潮安期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ɑ/+bx-3过点4(-3,0),

B（l,0），与y轴交于点C,连接BC,点N是第一象限抛物线上一点，连接NA,交y轴于点EsNAB=

ΛBCO.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段AN的长；

（3）若点M在第三象限抛物线上，连接MN,乙4NM=45。，则这时点M的坐标为

（直接写出结果）.

【变式2】（2022•通辽）如图，抛物线y=-/+bχ+c与X轴交于A,B两点,与y轴交于C点，直线BC方

程为y=%-3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线上一点，若SAPBC=4S"BC，请直接写出点P的坐标;

(3)点Q是抛物线上一点，若乙4CQ=45。，求点Q的坐标.

【变式3](2021九上海珠期末)如图，已知直线y=-2x+m与抛物线相交于A,B两点，且点A(l,

4)为抛物线的顶点，点B在X轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是y轴上一点，当NAPB=90。时，求点P的坐标.

考点4：特殊三角形问题

典例4：(2022・湘西)定义：由两条与X轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭

曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线CKy=χ2+2x-3与抛物线C2：y=ax?+2ax+c组成一个开口向上

的“月牙线”，抛物线G和抛物线C2与X轴有着相同的交点A(-3,0)、B(点B在点A右侧)，与y

轴的交点分别为G、H(0,-1).

(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标.

(2)点M是X轴下方抛物线Cl上的点，过点M作MNJ_x轴于点N,交抛物线Cz于点D,求线

段MN与线段DM的长度的比值.

(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG,在X轴上是否存在点F,使得

△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式1](2021九上∙南充期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线X=I,且与X

轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,-3),OB=OC.

(1)求抛物线的解析式.

(2)在抛物线上是否存在点Q,使得XBCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)设抛物线上的一点P的横坐标为m,且在直线BC的下方，求使ABCP的面积为最大整数

时点P的坐标.

【变式21(2021九上∙遂宁期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c与X轴交于4(一2,0),B(6,0)两

点，与y轴交于点C,直线/与抛物线交于A,D两点，与y轴交于点E,且点D为(4,3);

(I)求抛物线及直线I的函数关系式；

(2)点F为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存点G,使ΔAFG为等腰三角形，若存在,

求出点G的坐标；

(3)若点Q是y轴上一点，且乙4DQ=45。，请直接写出点Q的坐标.

【变式3](2022九上•温州月考)如图1,抛物线y=aχ2+bx+3与X轴交于点A(3,0)、B(-1,0),

与y轴交于点C,点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连结PA,PF,AF.

(1)求该抛物线所对应的函数表达式；

(2)如图1,当点F的坐标为(0,-4),求出此时△AFP面积的最大值；

(3)如图2,是否存在点F,使得AAFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F

的坐标；若不存在，请说明理由.

考点5：特殊四边形问题

典例5：(2022九下•重庆开学考)如图，已知抛物线y=aχ2+bx-4与X轴交于A,B两点，与y轴交于点

C,且点A的坐标为(-2,0),直线BC的解析式为y=ɪx-4.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,过点A作AD〃BC交抛物线于点D(异于点A),P是直线BC下方抛物线上一点,

过点P作PQ〃y轴，交AD于点Q,过点Q作QRLBC于点R,连接PR.求△PQR面积的最大值及此

时点P的坐标;

(3)如图2,点C关于X轴的对称点为点C1将抛物线沿射线CA的方向平移2√5个单位长度

得到新的抛物线y',新抛物线y'与原抛物线交于点M,原抛物线的对称轴上有一动点N,平面直角坐

标系内是否存在一点K,使得以D,M,N,K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐

标；若不存在，请说明理由.

【变式1](2022九上∙浦江期中)如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4,0)的直线AB与y轴交

于点B(O,4).经过原点。的抛物线y=-χ2+bx+c交直线AB于点A,C,抛物线的顶点为D.

(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；

(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN〃y轴且MN=2时，求点M的坐标；

(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点.是否存在以点A,C,P,Q为顶点的四边

形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式2】21.(2022九上•海曙期中)如图，抛物线3/=-%2+加；+£；交丫轴于点?1(0,2),交X轴于点

B(4,0)、C两点，点D为线段OB上的一个动点(不与。、B重合)，过点D作。MJ.%轴，交AB于点M,

交抛物线于点N.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AN和BN,当AABN的面积最大时，求出点D的坐标及△4BN的最大面积；

(3)在平面内是否存在一点P,使得以点A,M,N,P为顶点，以4M为边的四边形是菱形？若存

在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式3](2022九上•义乌月考)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=χ2+bx+c与直线AB相交

于A,B两点，其中A(-3,-4),B(O,-1),且抛物线的对称轴与X轴的交点为Q.

备用图

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA,PB,QA,QB,求四边形PAQB面积的

最大值及此时P的坐标；

(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a∣χ2+b∣x+c∣(aι≠0),平移后的抛物线与原抛

物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,

D,E为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

考点6：相似三角形问题

典例6：(2022九上∙镇海区开学考)如图，抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,一2)三点.

2

(1)求此抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上的一个动点，过P作PMjLX轴，垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶

点的三角形与a04C相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在直线AC上方的抛物线是有一点。，使得ADCA的面积最大，求出点D的坐标.

【变式1](2022九下•长沙开学考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(αc≠0)与

X轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.若线段。4OB、OC的长满足OC?=

OA-OB,则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线y=ax2+bx+2(α≠0)为“黄金”抛物线,

其与X轴交点为A,B(其中B在A的右侧)，与y轴交于点C.且OA=4。8

(1)求抛物线的解析式;

(2)若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PDLAC,垂足为D.

①求PD的最大值;

②连接PC,当APCD与AACO相似时，求点P的坐标.

【变式2](2022九上•金东期末)已知抛物线y=](%+2)(x-m)与X轴负半轴交于点A,与X轴正半

轴交于点B,与y轴交于点C,点P为抛物线上一动点(点P不与点C重合).

(1)当AABC为直角三角形时，求AABC的面积.

(2)如图，当APlIBC时，过点P作PQ_LX轴于点Q,求BQ的长；

(3)当以点A,B,P为顶点的三角形和△ABC相似时(不包括两个三角形全等)，求m的值.

【变式3］（2022九下•宁波月考）如图，已知抛物线y=-χ2+bx+3的图象与X轴相交于点A和点B,与y

轴交于点C,图象的对称轴为直线X=-L连结AC,有一动点D在线段AC上运动，过点D作X轴的

垂线，交抛物线于点E,交X轴于点F.设点D的横坐标为m.

（2）连结AE、CE,当AACE的面积最大时，求点D的坐标:

（3）直接写出m为何值时，AADF与ACDE相似.

考点7：解析几何问题（韦达定理）

典例7：（2022九上•杭州开学考）已知二次函数y=mχ2-2mx+3,其中m#）.

（1）若二次函数的图象经过（1,4）,求二次函数表达式；

（2）若该二次函数图象开口向上，当-l≤xW2时，二次函数图象的最高点为M,最低点为N,点M

的纵坐标为6,求点M和点N的坐标；

（3）在二次函数图象上任取两点（x∣,y∣）,（X2,y2）,当a≤x1<x2Sa+2时，总有y∣>y2,求a的取

值范围.

【变式1】(2022九上福建竞赛)已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与直线：y=ax+c,y=cx+a

中的每一条都至多有一个公共点.

⑴求标的最大值；

(2)当W取最大值时，设直线y=^a交抛物线y=α%2+bχ+c于A,B两点，C为抛物线

的顶点，若^ABC内切圆的半径为1,求a的值.

【变式2](2022九上•桐庐月考)已知二次函数y=aχ2+bx+b-a(a≠0).

(1)若a=b时，求二次函数与X轴的交点坐标；

(2)若a>0,二次函数的对称轴为直线x=2,求该函数的最小值(用字母a表示)；

(3)若该抛物线与直线y=ax+a(a≠0)交于A(x∣,yι),B(X2,y2)两点，当XlVO<X2时，都

有y∣<y2,求证：b<2a.

【变式3](2022九上•溪湖开学考)已知：抛物线的：y=αx2+hx+c(α>0).

(1)若顶点坐标为(1,1)，求。和C的值(用含α的代数式表示)；

(2)当c<O时，求函数y=-2022∣αχ2+bx+c∣-1的最大值；

(3)若不论Jn为任何实数，直线y=m(χ-i)一苧与抛物线Cl有且只有一个公共点，求α,b,C的

值；此时，若k≤x≤k+l时，抛物线的最小值为k,求k的值.

专题10二次函数综合问题

一、【知识回顾】

【思维导图】

二次函数

【类型清单】

二、【考点类型】

考点1：线段周长问题

典例1：(2022•漳州)如图，抛物线y=χ2+bx+c与X轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点M是抛物线在X轴下方上的动点，过点M作MN〃y轴交直线BC于点N,求线段MN

的最大值；

(3)在(2)的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴1上是否存在点P,使APBN是

等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：将点B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=χ2+bx+c中，

得：｛°=：+3b+c,解得：｛h=^4,

I3=c<∙c=3

.∙.抛物线的解析式为y=χ2-4x+3.

(2)解：设点M的坐标为(m,m2-4m+3),设直线BC的解析式为y=kx+3,

把点点B(3,0)代入y=kx+3中，

得：0=3k+3,解得:k=-l,

.∙.直线BC的解析式为y=-x+3.

VMN∕7y轴，

点N的坐标为(m,-m+3).

：抛物线的解析式为y=χ2-4x+3=(x-2)2-l,

.∙.抛物线的对称轴为x=2,

.∙.点(1,0)在抛物线的图象上，

Λl<m<3.

：线段MN=-m+3-(m2-4m+3)--tn2+3m=-ɪ+,

.∙.当m=I时，线段MN取最大值，最大值为I.

(3)解：假设存在.设点P的坐标为(2,n).

当m=I时，点N的坐标为（I,I）,

222

,PB=J（2-3）+（π-0）=√l+n>PN=J（2-1/+（n-1/，BN=J（3-1/+（0-1/=

3√2

-2-'

△PBN为等腰三角形分三种情况：

22

①当PB=PN时，即=J（2-∣）+（n-∣），

解得：n=1,

此时点P的坐标为（2,ɪ）；

②当PB=BN时，即行能=挈，

解得：n=±孚，

此时点P的坐标为（2,-孚）或（2,孚）；

③当PN=BN时，即J（2_|:+（n_|）2=挈，

解得：n=当IZ,

此时点P的坐标为（2,3-严）或（2,3+严）.

综上可知：在抛物线的对称轴1上存在点P,使APBN是等腰三角形，点的坐标为（2,1）、（2,-

孚）、（2,孚）、（2,立尹）或（2,3土弃）.

【解析】【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的

解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，

再结合点M在X轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）假设存在，设出点P的坐标为（2,n）,结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐

标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n

值，从而得出点P的坐标.

【变式1】（2018∙大庆）如图，抛物线y=χ2+bx+c与X轴交于A、B两点，B点坐标为（4,0）,与y轴

交于点C(O,4).

(2)点P在X轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求

PE+EF的最大值；

(3)点D为抛物线对称轴上一点.

①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；

②若ABCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围.

【答案】⑴解：把B(4,0),C(0,4)代入y=χ2+bx+c,得*+：匕。。，解得｛1;:...

抛物线的解析式为y=χ2-5x+4.

(2)解：由B(4,O),C(0,4)易得BC的解析式为y=-x+4,

由OB=OC,可得△BOC为等腰直角三角形，/BCO=/CBO=45。，

由直线y=x+m可得F(O,m),与X轴的交点为Q(-m,0),则OF=OQ,

.*.NEFC=45°,

.∙.AECF为等腰直角三角形，EF=乎CF=苧(4-Tn),

作PG〃y轴交BC于G,

∆EPG为等腰直角三角形，PE=乌PG,

设P(t,t2-5t+4)(l<t<4),则G(t,-t+4),m=t2-6t+4

.∙∙PG=-t+4-(t2-5t+4)=-t2+4l,EF=^(4-t2+6t-4)=+3√2t，

ΛPE=芋PG=-乎产+2√2t，

.∙.PE+EF=-^t2+2√2t-^t2+3√2t=-√2t2+5√2t=-√2(t-f)2+¾^

当t=擀时，PE+EF的最大值为军；

24

(3)解：①如图，

图2

抛物线的对称轴为直线X=I,设D(I,n),则BC2=42+42=32,DC2=(I)2+(n-4)2,BD2=

(4-I)2+n2=I+n2,当ABCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2,

EP32+(I)2+(n-4)2=I+n2,解得n=5,此时D点坐标为(*,竽).

当ABCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+BD2=DC2,即32+%+M=(⅞)2+

4Z

(n-4)2,解得n=-1,此时D点坐标为(擀，一|)；

综上所述，符合条件的点D的坐标是(I,竽)或(I,_|).

②当ABCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2,BP(⅞)2+(n-4)2++n2=32,解

Z4

得m=生典，3上其，此时D点坐标为(I,更I)或(，生卓I),

,△BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为生炉<n<学或Y<y<上算.

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式：将B(4,0)和C(0,4)代入二次函数解

析式，联立方程解出b,c即可；(2)求PE+PF的最大值，一般可以通过几何分析得到特殊点，或者将

PE+PF运用含字母的代数式表示出来，分析字母的取值范围，得到PE+PF的最值；由点P是抛物线与

直线y=x+m的交点，即点P为动点，不妨设P(t,t2-5t+4)(lVtV4),尝试结合直线y=x+m及直线

BCy=-x+4的特殊性，可得NBCO=NCFE=45。，用t表示出PE及EF的长度，并求出PE+EF的和;

(3)①直角三角形中已知B(4,O),C(0,4),且D的横坐标为I,：BC为直角边，则需要分类

讨论，BD为斜边时，CD为斜边时点D的坐标：由勾股定理及两点坐标的距离公式，构造方程解出点

D的纵坐标即可；

②结合①的结论，以及当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时，由勾股定理可求得此时D的坐标，

结合图形将①和②所求得的点D的坐标在图中标出来，可确定点D在哪些位置时，△BCD是锐角三

角形.

【变式2】(2022九上•东阳月考)如图，抛物线y=aχ2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)

三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D做DQlx轴于点M,DQ与BC相交于点M.DE±BC

于E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求线段DE长度的最大值；

(3)连接AC,是否存在点D,使得ACDE中有一个角与NCAo相等？若存在，求点D的横坐标;

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：：抛物线y=aχ2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，

二设抛物线解析式为y=a(x+l)(x-3),

将C(0,3)代入，得:a×(0+1)×(0-3)=3,

解得：a=-l,

Λy=-(x+l)(x-3)=-x2+2x+3,

・•・抛物线解析式为y=-x2+2x÷3

(2)解：设D(m,-r∩2+2m+3),且OVmV3,如图1,

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fII∙

“。|s∖x*

图1

在RtZkBOC中，BO=3,0C=3,

2222

'BC=√BO+OC=√3+3=3√2，

设直线BC的解析式为y=kx+n,将B(3,O),C(0,3)代入,

得：产+n∕0

In=3

解得：金=31

I九=3

・•・直线BC的解析式为y=-x÷3,

.*.G(m,-m÷3),

ΛDG=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,

VDE±BC,

・•・NDEG=NBOC=90。，

・.・DGJ_x轴，

・，.DG〃y轴，

ΛZDGE=ZBCO,

Λ∆DGESZiBCO,

.DE_BO

**DG=BC,

,DE=3

**—m2+3m3√r2,

・∏p-√2.3√f2√2,32,9√2

υb2λ

∙∙—二Z4+FZ-TΠ=一于Z(m—幻L÷-oQ-

.∙.当m=∣时，DE取得最大值，最大值是等.

(3)解：存在点D,使得ACDE中有一个角与NCFo相等.

：点F是AB的中点,A(-1,0),B(3,0),C(0,3),

ΛF(1,0),

ΛOF=1,OC=3,BC=4,

MCFO=浣=3,

如图2所示，过点B作BG1.BC,交CD的延长线于点G,过点G作GH_LX轴于点H,

①若/DCE=NCFO,

tanZDCE=tanZCFO=3,

∙.∙tan∕DCE=⅞⅞=3,

DC

ΛGB=12,

VBG±BC,GHJ_x轴，

.∙.ZCBG=ZGHB=ZBCO=90o,

.β.ZCBO+ZGBH=ZBGH÷ZGBH=90o,

ΛZCBO=ZBGH,

Λ∆CBO^∆BGH,

・GH_HB_GB

∙φB0=OC=BC,

.∙.GH=9,HB=9,

.∙.OH=OB+BH=3+9=12,

ΛG(12,9),

设直线CG的解析式为y=k∣x+bι,

⅛1

1

k=-

解得12

b

=3

1

...直线CG的解析式为y=4χ+3,

；

=尹1+

联立方程组，得:y3

y-—X2+2%+3

r3

f-_

得

解2,二;（不合题意，舍去）,

:l-

<15

l一4

k

)

3π.15；

2~2

.∙.D(|1竽)；

②若NCDE=∕CFO,

ΛtanZCDE=tanZCFO=3,

VBG±BC,DELBC,

.*.ZCBG=ZCED=90o,

ΛGB/7DE,

.∙.NCDE=NCGB,

.,.tanNCDE=tanNCGB=煞=3,

UD

∙"∙GB=^∙BC=^×3∙∖∕2=ʌ/ɪ>

V∆CBO<^∆BGH,

.GH_HB_GB

'"BO=^OC=^BC'

.∙.GH=∣BO=1,HB=∣OC=1,

ΛOH=OB+BH=3+1=4,

.∙.G(4,1)；

同①方法，易求得直线CG的解析式为y=-lx+3,

_1,ɔ

联立方程组，得y-2x+i

V=-X2+2x+3

5

X-

1=2

得

解7(×2=°（不合题意,舍去）,

-

了=3

14σ2=

57

--

.D24

综上所述，存在点D使得ACDE中有一个角与/CFO相等，点D的坐标为修竽）或4，Z）.

【解析】【分析】(1)利用"两根式“待定系数法求解,由抛物线y=aχ2+bx+c经过A式1,O),B(3,0),

C(0,3)三点，设抛物线解析式为y=a(x+l)(x-3),再代入点坐标求解即可；

(2)设D(m,-m-+2m+3),且0<m<3,利用勾股定理求得BC的长，再利用待定系数法求出直线

BC的解析式，再证明ADGEs^BCO,根据相似三角形性质，用含m的代数式表示出DE,再利用二

次函数最值即可求解；

(3)ZiCDE中有一个角与/CAO相等，分两种情况：①若NDCE=NCF0,②若∕CDE=∕CFO,

过点B作BG_LBC,交CD的延长线于点G,过点G作GHLX轴于H,运用三角函数定义和相似三角

形性质求出直线CG的解析式，再联立方程组并求解方程组，即可求得使得△CDE中有一个角与NCFo

相等的点D的坐标.

【变式3](2022九上嘟州月考)如图，已知抛物线y=χ2+bx+c与X轴交于A,B两点，其中点A的坐

标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求APAD周长的最小值；

(3)抛物线的对称轴上有一动点M,当△MAD是等腰三角形时，直接写出点M的坐标.

【答案】(1)解：由题意得

9—3b+c=0

Aa—26+c=-3

・・・抛物线的解析式为y=x2+2x-3.

(2)解：连接BD交对称轴于点P,

∙.∙点A,B关于对称轴对称，

二AP=BP,

.∙.AP+PD+AD=BP+PD+AP=BD+AD,

•••两点之间线段最短，

,此时APAD的周长为BD+AD为最小，

当y=0时x2+2x-3=0

解之：xι=-3,x2=l,

二点B(1,0),

VA(-3,0),D(-2,-3),

'BD=√(-2-l)2+32=3√2)

AD=√(-3+2)2+32=√Tθ

：.△PAD的周长为3√Σ+√10.

(3)解：设点M(-ɪ,n),

∙.∙A(-3,0),D(-2,-3),

.,.AM2=(-1+3)2+n2=n2+4,AD2=(-3+2)2+9=10,

MD2=(-1+2)2+(n+3)2=n2+6n+10

当AM=AD时M+4=l(),

解之：n∣=√6,∏2=-√6.

点M(-1,√6)或(-1,-√5);

当AM=MD时n2+4=n2+6n+10

解之：n=-l,

：.点、M(-1,-1)

当AD=DM时n2+6n+10=10

解之：n∣=(),∏2=-6;

.∙.点P(-1,0),(-1,-6),

设AD的函数解析式为y=kx+b

.(—3k+b=0

Y-2∕c+b=-3

解之：忆二;

/.AD的函数解析式为y=-3x-9,

当X=-I时y=3-9=-6,

.,.(-1,-6)在直线AD上，

.∙.点(-1,-6)不符合题意，舍去

.∙.当△MAD是等腰三角形时，点M的坐标为(-1,√6)或(-ɪ,-√6)或(-1,-1)或(-1,0).

【解析】【分析】(1)将点A,D的坐标分别代入函数解析式，可得到关于b,c的方程组，解方程组求

出b,c的值，可得到抛物线的解析式.

(2)连接BD交对称轴于点P,利用对称轴的应用-最短问题及二次函数的对称性，可知此时APAD的

周长为BD+AD为最小，由y=0求出对应的X的值，可得到点B的坐标；再利用勾股定理求出BD,

AD的长，然后求出APAD的周长.

(3)设点M(-1,n),利用平面直角坐标系中的两点之间的距离公式，分别求出AM?,AD2,MD?,

再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AM=MD时；当AM=AD时；当MD=AD时，分别可得到

关于n的方程，分别解方程求出n的值，可得到点P的坐标；再求出直线AD的函数解析式，可知点

(-1,-6)在此函数图象上，综上所述可得到符合题意的点P的坐标.

考点2：面积问题

典例2：(2021九上•鄂城期末)如图1,在平面直角坐标系xθy中，抛物线y=ax2+bx经过点

(-2,5),且与直线y=-∣x在第二象限交于点A,过点A作ABLx轴，垂足为点β(-4,0).

若P是直线。/上方该抛物线上的一个动点,过点P作PCLx轴于点C,交。4于点D,连接OP,

PA.

图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)求XAoP的面积S的最大值；

(3)连接PB交。4于点E,如图2,线段PB与AD能否互相平分？若能，请求出点E的坐标;

若不能，请说明理由.

【答案】(1)解：ABLx轴，点8(-4,

y=—ɪ×4=—2,

4(-4,2)，

又抛物线经过(-2,5)，

1

r16Q=-

一

解得9

κ=-

l4^4⅛bb-

2-2

.∙.抛物线的解析式为y=-x2-^x

(2)解：设点P(t,-t2-∣t),则点D(t

•∙PD=(-“—ɪt)—(—ɪt)=-t?—4t

11,

∙'∙S=&∙PD,4=2■(-t2-4t),4=-2(t+2尸+8

."∙t=-2时，SmaX=8；

(3)解：线段PB与AD能相互平分.理由如下：如图，连接BD

：线段PB与AD相互平分，

.∙.四边形ABDP是平行四边形，

...PD=AB,

•・・力（-4,2）,PD=一户一4匕

・•・—12—4t=2,

•∙t=-2+√2或t=-2—V2

当t=-2+√Σ时，则D（-2+√Σ,1-孝），

•：E为AD的中点，

.∙.点E的坐标为（二竽旦,殳普）

当t=-2-√Σ时，则D（-2-√∑,1+孝），

∙∙∙E为力。的中点，

.∙.点E的坐标为（弓正，安2）

.∙.点E的坐标为（心磐，与&）或（二与&，岑马•

【解析】【分析】（1）根据ABLX轴可得点A、B的横坐标均为-4,将χ=4代入y=-ax中求出y,据

此可得点A的坐标，将点A的坐标及（-2,5）代入y=aχ2+bx中求出a、b,据此可得抛物线的解析式；

（2）设P（31_/），则D（t,-∣t）,表示出PD,然后根据三角形的面积公式可得S,接下来结合

二次函数的性质可得S的最大值;

(3)连接BD,则四边形ABDP是平行四边形，得到PD=AB,据此可得I的值，进而得到点D的坐标,

然后由E为AD的中点就可得到点E的坐标.

【变式1](2022九上•岳麓开学考)如图，抛物线丁=。/+加:+6经过4(一2,0)、8(4,0)两点，与y轴

交于点C,点D是抛物线上一动点，设点。的横坐标为m(l<m<4),连结4C、BC、DB、DC.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)当ABCO的面积等于AAOC的面积的挤时，求他的值.

(3)当m=2时，若点M是“轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使

得以点B、。、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，

请说明理由.

【答案】(1)解：由抛物线交点式表达式得：y=α(x+2)(X-4)=α(x2-2x-8)=ax2—2ax-8a,

即—8a―6)解得：a=—,`

故抛物线的表达式为：y=-∣X2+∣X+6；

(2)解：由抛物线的表达式知，点C(0,6),

由点B、C的坐标，得直线BC的表达式为：y=-∣x+6，

如图所示，过点。作y轴的平行线交直线BC于点H，

OOO

设点O(m,-ξττι2+2÷6)，则点H(Tn,—+6)

则S>BDC=2HD×OB=2(—4ττι^+jτπ+6+^∙πι-6)=2(—,τrι^+3m)

3r31「Q9

・',LACO=ξ×2×6×2=2

即：2(-,m2+3m)=5，

解得：m=1或3(舍去1),

故τn=3；

(3)解：当m=2时，点DQ,6),

设点M(X,0),点N(t,n)>贝!∣n=—*t?+怖t+6(T)

①当BD是边时,

点B向左平移1个单位向上平移6个单位得到点O,同样点M(N)向左平移1个单位向上平移6

个单位得到点N(M)，

故H或｛M：：②，

'闻—1-√33-l

(X=3x=----2----

联立①②并解得：t=2或.l+√33或,1-屈(不合题意的值已舍去)；

(TI=6t=F-m=^-

.n=—6n=-6

故点M的坐标为(3,0)或(嗯T,0)或(一号T,0)；

②当BD是对角线时,

扣+4)=%+m)③,

由中点公式得:

T(6+0)=T(n+0),

m=3

联立①③并解得n=6，

.x=4

故点M的坐标为(4,0);

综上，点M的坐标为(3,0)或(叼-1,0)或(一号T,0)或(4,0).

【解析ɪ分析［(1)由A、B的坐标可设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)=a(χ2-2x-8)=aχ2-2ax-8a,则-8a=6,

求出a的值，进而可得抛物线的解析式；

(2)由抛物线的表达式知C(0,6),求出直线BC的解析式，过点D作y轴的平行线交直线BC于点

H,设D(m,-∣m2+‰+6),则H(m,-∣m+6),根据三角形的面积公式表示出SABDc,结合题意可

4ZZ

得m的值；

(3)当m=2时，点D(2,6),设M(x,0),N(t,n),贝IJn=Yt2+柒6,然后分①BD是边，②BD

4Z

为对角线，结合平行四边形的性质可得X、t、m、n的值，进而可得点M的坐标.

【变式2](2022九上•舟山月考)如图，抛物线y=四2+取；+以。10)经过点人(2,0),B(-2,4),(-4,

0),直线AB与抛物线的对称轴交于点E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当AABM的面积最大时，求点M的坐标；

(3)若点F为平面内的一点，且以点B,E,C,尸为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件

的点F的坐标.

【答案】(1)解：将点A(2,0),B(-2,4),C(-4,0)分别代入y=ɑ/+bX+c得：

4α+2b+c=0fɑ=—i

16a—4b+c=0,解得《人_1.

Ua-2fe+c=4Γ^7

.∙.抛物线的表达式为y=-lχ2-x+4.

(2)解：如图，作MNlly轴交直线AB于点N,

、1

设点M(m,—2巾2—m+4)∙

设直线AB的方程为y=Zct+九，将4(2,0),5(-2,4)代入解析式得:

(2fc+n=0

t-2/c+n=4'

解得｛);7

.∙.直线AB的解析式为：y=-x+2,

11

•∙N(τtir—nɪ+2),MN=—,—τπ+4—(—τn+2)=—,Tn之+2，

•♦SAABM=；MN(X4XB)=ɪ×(—+2)x(2+2)=-τn^+4(-2VzM)>

V-KO,且-2<0<2,

.∙.当m=O时，AABM的面积最大，此时一/小2一6+4=%所以M的坐标为(0,4).

(3)解：∙.∙抛物线的对称轴为直线4=__!=__二―=_1，