2023-2024学年山东省德州市庆云县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省德州市庆云县九年级第一学期期中数学试

卷

一、单选题（每题4分，共计48分）

1.围棋起源于中国.古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史.2017年5月，世界围

棋冠军柯洁与人工智能机器人A/p/mG。进行了围棋人机大战.截取对战机棋谱中的四个

部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）

2.若是一元二次方程，则〃?的值为（）

A.2B.-2C.y/2D.-y]2

3.已知。。的半径为5,P0=4,则点P在（）

A.圆内B.圆上C,圆外D.不确定

4.己知二次函数尸-2（x-1）2-3,下列说法正确的是（）

A.对称轴为直线x=-lB.函数的最大值是3

C.抛物线开口向上D.顶点坐标为（1,-3）

5.已知点A（I,a）、点B（b,2）关于原点对称，则a+h的值为（）

A.3B.-3C.-1D.1

6.在一幅长60处宽40”?的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光

小道的总面积是2816/，设观光小道的宽为X”?，那么x满足的方程是（）

A.2x(60+2x)+2x(40+2x)=2816

B.(60+2x)(40+2x)=2816

C.(60+2r)(40+2x)-2400=2816

D.x(60+2x)+x(40+2x)=2816

7.如图，在O。中，弦AB,CD相交于点P.若NA=48°,NAPO=80°,则NB的度数

为()

A.32°B.42°C.48°D.52°

8.下列命题正确的是（）

A.在一个三角形中至多有两个锐角

B.在圆中，垂直于弦的直径平分弦

C.如果两个角互余，那么它们的补角也互余

D.两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等

9.己知抛物线产以2一51-3经过点（-1,4）,则下列结论正确的是（）

A.抛物线的开口向下

B.抛物线的对称轴是x=4

C.抛物线与x轴没有交点

D.当t〈卷时，关于x的一元二次方程0-5》-3-/=0有实根

10.下列函数图象中，能反映y的值始终随x值的增大而增大的是（）

11.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其

示意图.图②中，点A在直线/上往复运动，推动点8做圆周运动形成。0,4B与8。

表示曲柄连杆的两直杆，点C、。是直线/与。。的交点；当点A运动到E时，点B到

达C；当点A运动到F时，点8到达D若A8=12,。8=5,则下列结论正确的是（）

r*KD国②

A.FC=3

B.EF=12

C.当AB与。。相切时，£4=4

D.当。B1.C。时，EA^AF

12.定义：在平面直角坐标系中，对于点尸（XI,V）,当点。（X2,”）满足2（XI+X2）=

刀+”时，称点。（及，J2）是点尸（xi,yi）的''倍增点”.已知点Pi（1,0）,有下列

结论：

①点Qi（3,8）,Q（-2,-2）都是点Pi的“倍增点”；

②若直线y=x+2上的点A是点P的“倍增点”，则点A的坐标为（2,4）；

③抛物线y=/-2x-3上存在两个点是点Pi的“倍增点”；

④若点B是点Pi的“倍增点”，则尸山的最小值是

5

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（每题4分，共计24分）

13.关于x的一元二次方程x2-4x+2a=0有实数根，则”的值可以是（写出一个

即可）.

14.如果将抛物线y=N-3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物

线解析式是.

15.银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如图是一片银杏叶标本，叶片

上两点B,C的坐标分别为（-3,2）,（4,3）,将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后,

16.如图，P是正方形ABC。内一点，将△尸8c绕点C顺时针方向旋转后与△「'C。重合,

17.如图，AB是。。的弦，半径。CLAB于点。，连接A。并延长，交OO于点E连接BE,

DE.若DE=3D0,卷=6西，则△OOE的面积为.

18.若实数，"，〃分别满足下列条件:

(1)2(/«-1)2-7=-5；

(2)3>0.

试判断点P(2nr3,写生)所在的象限为

三、解答题(共计78分)

19.解方程：

⑴4(x-1)2=9；

(2)(x+5)2=3(x+5).

20.如图，/XABC的顶点坐标分别为4(0,1),8(3,3),C(1,3).

(1)画出与△ABC关于点。成中心对称的图形△4BICI；

(2)①画出△A8C绕原点。逆时针旋转90°的AA282c2；

②在①基础上，若点M(«,b)为4ABC边上的任意一点，则旋转后对应点的坐标

为.

21.已知：二次函数y=x2+4x+3.

(1)求出该函数图象的顶点坐标：

(2)在所提供的网格中画出该函数的大致范围;

(3)求当-4WxW2时，函数y的取值范围？

y

2—

22.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△尸8E,点C,

A的对应点分别为E,尸，点E落在8A上，连接AF.

(1)若NR4C=40°.则NBAF的度数为

(2)若AC=8,BC=6,求AP的长.

B

E\^/

c'-----------A

23.今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”.若某国有

一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病.

(1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？

(2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？

24.在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组

对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论.解决以下问题：

如图1,△ABC中，AB=AC,ZBAC=a(60°<a<180°).点。是BC边上的一动

点(点力不与8,C重合)，将线段A。绕点A顺时针旋转a到线段AE,连接8E.

(1)求证：A,E,B,。四点共圆：

(2)如图2,当AO=C£>时，。。是四边形的外接圆，求证：AC是。。的切线.

25.如图，抛物线y=-N+&v+c经过4(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B,

点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点£».

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求的最小值；

(3)若点尸是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q,使得以。，M,P,Q为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的。点的坐标；若不存

在，请说明理由.

参考答案

一、单选题（每题4分，共计48分）

1.围棋起源于中国.古代称之为“弈”，至今己有4000多年历史.2017年5月，世界围

棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战.截取对战机棋谱中的四个

部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）

【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案.

解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B.是中心对称图形，故本选项符合题意；

C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D.不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：B.

【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心.

2.若（In_2）xm"2_mx+i=o是一元二次方程，则机的值为（）

A.2B.-2C.^2D.—^2

【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可.

解：由题意得：卜2-2=2,

m-2r0

解得：加=-2.

故选：B.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知一元二次方程的定

义：一般地，形如d+以+。=0（a、b、c•都是常数，aWO）的方程叫做一元二次方程.

3.己知。。的半径为5,P0=4,则点P在（）

A.圆内B.圆上C.圆外D.不确定

【分析】已知圆。的半径为r,点P到圆心。的距离是d,①当r>“时，点P在。0内，

②当，=1时，点P在。。上，③当时，点P在。。外，根据以上内容判断即可.

解：的半径为5,若尸0=4,

.\4<5,

...点P与。。的位置关系是点P在。。内，

故选：A.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆。的半径为r,点尸到圆

心0的距离是"，①当时，点尸在。。内，②当r=d时，点P在。。上，③当r

时，点P在。。外.

4.已知二次函数y=-2（x-1）2-3,下列说法正确的是（）

A.对称轴为直线x=-lB.函数的最大值是3

C.抛物线开口向上D.顶点坐标为（1,-3）

【分析】依据题意，根据抛物线），=-2（x-1）2-3的性质可以判断得解.

解：由题意，•••二次函数y=-2（x-1）2-3的开口向下，对称轴是直线x=l,

...当x=l时，函数有最大值为-3；顶点坐标为（1,-3）.

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键.

5.己知点A（1,a）、点B（b,2）关于原点对称，则。+方的值为（）

A.3B.-3C.-1D.1

【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出。、b的值即可.

解：：点A（1,a）、点B",2）关于原点对称，

,".a=-2,h=-1,

a+b=-3.

故选：B.

【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互

为相反数，纵坐标也互为相反数.

6.在一幅长60机，宽40〃?的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光

小道的总面积是2816〃落设观光小道的宽为X”那么x满足的方程是（）

60in

A.lx(60+2x)+2x(40+2x)=2816

B.(60+2x)(40+2x)=2816

C.(60+2x)(40+2x)-2400=2816

D.x(60+2x)+x(40+2x)=2816

【分析】根据面积的和差列方程即可.

解：根据题意得：(60+2x)(40+Zr)-60X40=2816,

即(60+2x)(40+2x)-2400=2816,

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

7.如图,在。。中，弦48,相交于点P.若NA=48°,ZAPD=SQ°,则N8的度数

为（)

B

B.42°C.48°D.52°

【分析】根据外角NAPD求出NC,由同弧所对圆周角相等即可求出N8.

解：；NA=48°,/4尸。=80°,

AZC=80°-48°=32°,

­AD=AD,

.\ZB=ZC=32°.

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键.

8.下列命题正确的是（）

A.在一个三角形中至多有两个锐角

B.在圆中，垂直于弦的直径平分弦

C.如果两个角互余，那么它们的补角也互余

D.两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等

【分析】分别根据三角形的性质，垂径定理，余角和补角，同位角、内错角、同旁内角

判断即可.

解：4、锐角三角形有三个锐角，本选项不符合题意；

8、在圆中，垂直于弦的直径平分弦，本选项符合题意；

C、如果两个角互余，那么它们的补角不互余，本选项不符合题意；

。、两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等，本选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的性质，垂径定理，余角和补角，同位角、内错角、同旁内

角，熟练掌握这些定理和性质是解决问题的关键.

9.已知抛物线产以2-5x-3经过点（-1,4）,则下列结论正确的是（）

A.抛物线的开口向下

B.抛物线的对称轴是xf

4

C.抛物线与x轴没有交点

D.当t<卷时，关于x的一元二次方程以2-5》-3-，=0有实根

【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出a的值，进而可得出抛物线的解析

式为y=2x2-5x-3.

A.由。=2>0,利用二次函数的性质，可得出抛物线开口向上；

B.利用抛物线的对称轴为直线x=-已，可得出抛物线的对称轴是直线x=§；

C.由根的判别式△=37>0,可得出抛物线与x轴有两个交点；

D.将抛物线的解析式转化为顶点式，结合顶点的纵坐标，即可得出当/<一号时，关

于X的一元二次方程©2-5x-3-/=0没有实根.

解：•・•抛物线尸浸-5x-3经过点（-1,4）,

・・・4=〃-5X（-1）-3,

♦•〃=:2,

，抛物线的解析式为y=2r2-5x-3.

A・・・・。=2>0,

・・・抛物线开口向上，选项A不符合题意；

B.Vtz=2,b=-5,

.•.抛物线的对称轴是直线x=-3=--选项B符合题意；

2a2X24

C.,：a=2,h=-5,c=-3,

AA=b2-4ac=（-5）2-4X2X（-3）=37>0,

...抛物线与X轴有两个交点，选项C不符合题意；

D；抛物线的解析式为y=2%2-5x-3,即），=2（x-惠）2号，

•••将抛物线往上移动超过号个单位长度时，抛物线与x轴无交点，

即当fV-号时，关于x的一元二次方程以2-5》-3-，=0没有实根，选项。不符合题

意.

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质以及二次函数

图象上点的坐标特征，代入点的坐标，求出。的值是解题的关键.

10.下列函数图象中，能反映y的值始终随x值的增大而增大的是（）

解：由图可知：

A、图象A函数值具有对称性.在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右

侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；

8、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意；

C、图象是函数y的值随X值的增大而增大，该选项符合题意；

。、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，

准确识图并理解函数的增减性的定义是解题的关键.

11.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其

示意图.图②中，点4在直线/上往复运动，推动点B做圆周运动形成。0,AB与8。

表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线I与。。的交点；当点A运动到E时，点B到

达C；当点A运动到F时，点8到达D若48=12,。8=5,则下列结论正确的是（）

A.FC=3

B.EF=12

C.当A8与。。相切时，£4=4

D.当08_LCE>时，EA=AF

【分析】根据切线的性质和勾股定理以及垂径定理即可得到结论.

解：如图，由题意可得：

AB=CE=12,AB+B0=0E=17,FD=AB=12,OC=OB=OD=5,

：.FC=FD-CD=\2-10=2,故A不符合题意；

EF=CE-CF=12-2=10,故B不符合题意；

如图，当AB与。。相切时，/ABO=9()°,

•"-y4O=VAB2-K)B2=：13,

；.EA=E0-A0=17-13=4,故C符合题意;

当。BLCQ时，如图，

:.AO^y]122-52^V119,

.'.AE=EO-AO=17-N119,AF=AO-0F=\口9-2-5=，119-7,

J.AE^AF,故。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意

熟练的利用数形结合的方法解题是关键.

12.定义：在平面直角坐标系中，对于点P(xi,yi),当点。(及，”)满足2(xi+x2)=

yi+y2时，称点。(X2,72)是点P(xi,yi)的“倍增点”.已知点Pi(1.0),有下列

结论：

①点Q(3,8),Q?(-2,-2)都是点Pi的“倍增点”；

②若直线y=x+2上的点4是点P的“倍增点”，则点A的坐标为(2,4);

③抛物线y=N-2x-3上存在两个点是点P的“倍增点”；

④若点B是点P的“倍增点”，则的最小值是生叵；

5

其中，正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“倍增点”

A为(x,x+2),从而可以求得4(0,2),进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”

为(x,/-2x-3),从而建立方程求得解，可以判断③；设B(x,〉)，再由倍增点的

意义得出y=2(x+l),再利用两点间的距离公式表示出P8,然后利用配方可以判断④，

从而可以得解.

解：依据题意，由“倍增点”的意义，

V2(1+3)=8+0,2(1-2)=-2+0,

.•,点Qi(3,8),Q2(-2,-2)都是点P的“倍增点”.

...①正确.

对于②，由题意，可设满足题意得''倍增点"A为(x,x+2),

.*.2(x+1)=x+2+0.

/•x—0.

：.A(0,2).

.•.②错误.

对于③，可设抛物线上的“倍增点”为(x,/-2x-3),

A2(x+1)=x2-2x-3.

/.x=5或-1.

，此时满足题意的“倍增点”有(5,12),(-1,0)两个.

・•.③正确.

对于④，设3(x,y),

：.2(x+1)=y+0.

Ay=2(x+1).

2222=2

...P\B=(x-i)+y=7(X-1)+4(X+1)-^5(x+1-)-^-•

；.当X=-5时，PB有最小值为空&

55

.•.④正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解

题时要熟练掌握并理解.

二、填空题(每题4分，共计24分)

13.关于x的一元二次方程f-4x+2a=0有实数根，则a的值可以是J(写出一个即

可).

【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0求出。的范围，写出一个即可.

解：•••关于x的一元二次方程N-4x+2a=0有实数根，

；.△=16-8心0,

解得：aW2,

则。的值可以是L

故答案为：1.

【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.

14.如果将抛物线y=N-3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物

线解析式是尸G+式2+1.

【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出抛物线的解析式即可.

解：依题意，得_y=(x+2)2-3+4=(x+2)2+1,

故答案为：y—(x+2)2+1.

【点评】本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图

象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”.

15.银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如图是一片银杏叶标本，叶片

上两点B,C的坐标分别为(-3,2),(4,3),将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后,

叶柄上点A对应点的坐标为(-3,1).

【分析】先根据8、C两点的坐标建立平面直角坐标系，再作出点A绕原点。顺时针旋

转90°所得的对应点，即可求解.

解：如图，建立平面直角坐标系，那么点A的坐标为(-1,-3),

作出点A绕原点。顺时针旋转90°所得的对应点A',

则点A'的坐标为（-3,1）.

故答案为：（-3,1）.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，掌握旋转的性质，作出点A绕原点。顺时

针旋转90°所得的对应点是解题的关键.

16.如图，P是正方形A3CQ内一点，将△PBC绕点C顺时针方向旋转后与△2'CD重合,

【分析】由旋转的性质可得尸C=P'C=2,NPCP'=NBC£>=90°,即可求解.

解：；将△PBC绕点C顺时针方向旋转后与△2'CC重合，

：.PC=P'C=2,NPCP=NBCD=90°,

：.PP=®PC=2®,

故答案为：2-y2，

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

17.如图，AB是。0的弦，半径。于点。，连接AO并延长，交。0于点E连接BE,

DE.若DE=3DO,而=6遥，则△ODE的面积为_考£_.

【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出。。，再根据三角形面积公

式进行计算即可.

解：是。。的直径，

.•.N4BE=90°,

•：AB1.0C,0C是。0的半径，

.•.AO=B£>=%B=3代，

"：OA=OE,

二。。是AABE的中位线，

：.OD=—BE,

2

由于DE=3DO,可设OD=x,则DE=3x,BE=2x,

在RtABDE中，由勾股定理得，

BD2+BE2=DE2,

即（3遥）2+⑵）2=（3x）2，

解得X=3或x=-3（舍去），

即0。=3,

：.S/^r）OE^^-OD-BD

2

=^X3X3V5

-975

21_

故答案为：反三.

2

【点评】本题考查垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理，掌握垂径定理，三角形

中位线定理以及勾股定理是解决问题的前提，求出。。的长是正确解答的关键.

18.若实数〃"〃分别满足下列条件:

（1）2Cm-1）2-7=-5；

（2）M-3>0.

试判断点P（2nr3,等电）所在的象限为第一象限或第二象限.

【分析】解方程2（m-1）2-7=-5可得：加=0,〃72=2,解不等式〃-3>0可得：〃

>3,把〃，和〃代入P（2nr3,号1），即可判断点P所在的象限.

解：由（1）得：（m-1）2=1,

A/ni=O,机2=2,

由(2)得：n>3,

・二当团=0,〃>3时，

2/77-3=2X0-3=-3<0,

空>经0，

22

.••P(2m-3,号L)在第二象限；

当m=2,〃>3时,

2m-3=2X2-3=l>0,

增>《〉0，

22

.•.点P(2nr3,专匕)在第一象限；

综上所述，p(2m-3,范弛)在第一象限或第二象限.

故答案为：第一象限或第二象限

【点评】本题考查了点在平面直角坐标系的坐标特征，解不等式，不等式的性质，解方

程等，利用不等式性质判断点P的坐标特征是解题关键.

三、解答题(共计78分)

19.解方程：

(1)4(x-1)2=9；

(2)(x+5)2=3(x+5).

【分析】(1)方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；

(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可.

解：⑴4(x-1)2=%

开方得：2(x-1)=±3,

解得：箝=擀，12=-£

22

(2)(x+5)2=3(x+5),

移项，得(尤+5)2-3(x+5)=0,

(x+5)(x+5-3)=0,

x+5=0或x+5-3=0,

解得：X\=-5,X2=-2.

【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意:

解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等.

20.如图，ZVIBC的顶点坐标分别为A(0,1),8(3,3),C(1,3).

(I)画出与△ABC关于点。成中心对称的图形△4BiG；

(2)①画出aABC绕原点。逆时针旋转90°的282c2；

②在①基础上，若点M"")为△ABC边上的任意一点，则旋转后对应点的坐标为(-

【分析】(1)利用关于原点对称的点的坐标特征写出Ai、&、C,的坐标，然后描点即

可；

(2)①利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点Az、发、C2即可;

②利用所画图形写出C2点的坐标.

解：(1)如图，△481G为所作;

(2)①画如图，△A2&C2为所作;

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②M(a,b)绕原点。逆时针旋转90°后，旋转后对应点坐标的横坐标为〃的M点纵

坐标的负值，纵坐标为M的横坐标，

.，.旋转后对应点的坐标为(-b,a),

故答案为：

【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转

角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，

找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.

21.已知：二次函数y=N+4x+3.

(1)求出该函数图象的顶点坐标；

(2)在所提供的网格中画出该函数的大致范围；

(3)求当-4WxW2时;函数y的取值范围？

【分析】(l)把二次函数解析式转化为顶点式即可求解;

(2)利用描点法确定抛物线与x轴的交点及顶点，再连线即可作图:

(3)由x=-2时抛物线有最小值，再求x=-4、x=2时的函数值即可求解.

解：(1)y=/+4x+3=(x+2)2-1,

该函数图象的顶点坐标为：(-2,-1)；

(3)解：I•函数图象的顶点坐标在-4WxW2之间，

当x=-2时，最小值为y=-1,

当X--4时，y=3,

当x=2时，y=15,

.•.当-4WxW2时，函数)，的取值范围为：-1WXW15.

【点评】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键.

22.如图，在中，NC=90°,将△ABC绕着点8逆时针旋转得到△FBE,点C,

4的对应点分别为E,尸，点E落在BA上，连接AF.

(1)若/8AC=40°.则NBAF的度数为65°；

(2)若AC=8,BC=6,求AF的长.

【分析】(1)根据三角形的内角和定理得到NABC=50°,根据旋转的性质得到NEBF

=ZABC=50°,AB=BF,根据三角形的内角和定理即可得到结论；

(2)根据勾股定理得到AB=10,根据旋转的性质得到BE=BC=6,EF=AC=S,根据

勾股定理即可得到结论.

解：（1）在RtzMBC中，ZC=90°,ZBAC=40°，

：.ZABC=5Q°,

:将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE,

:.NEBF=NABC=50°,AB=BF,

：.ZBAF=ZBFA=—(180°-50°)=65°,

2

故答案为：65°；

(2)VZC=90°,AC=8,BC=6,

：.AB=\0,

•.•将△ABC绕着点B逆时针旋转得到

：.BE=BC=-6,EF=AC=S,

：.AE=AB-BE=10-6=4,

•■•AF=VAE2+EF2=4^5-

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

23.今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”.若某国有

一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病.

(1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？

(2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？

【分析】(1)设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x

只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有x(l+x)只健康的蛋鸡被传染，根据“某国有一只蛋

鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病”，可列出关于x的一元二次方程，

解之取其符合题意的值，即可得出结论；

(2)利用如果不及时控制经过三轮传染后患病的蛋鸡只数=64+第三轮中被传染的健康

的蛋鸡只数，可求出如果不及时控制经过三轮传染后患病的蛋鸡只数，再将其与500比

较后即可得出结论.

解：(1)设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健

康的蛋鸡被传染，第二轮中有x(l+x)只健康的蛋鸡被传染，

根据题意得：1+x+x(1+x)=64,

整理得：(1+x)2=64,

解得：X|=7,X2=-9(不符合题意，舍去).

答：每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡;

(2)64+64X7

=64+448

=512(只)，

V512>500,

如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

24.在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组

对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论.解决以下问题：

如图1,aABC中，AB=AC,NBAC=a(60°<a<180°).点。是BC边上的一动

点(点。不与8,C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转a到线段AE,连接BE.

(1)求证：A,E,B,。四点共圆；

(2)如图2,当AO=CC时，是四边形AE8O的外接圆，求证：AC是。0的切线.

图1图2

【分析】(I)根据旋转的性质得到AE—AD,ZDAE—a,证明NBAE=/CA。，进而

证明△ABE四△ACO,可以得到由/AQC+NAOB=180°,可得/AEB+

180°,即可证明A、B、D、E四点共圆；

(2)连接。4,OD,根据等边对等角得到乙4BC=/ACB=/D4C,由圆周角定理得到

N4。4=2/ABC=2/D4C,再由04=。。，得到利用三角形内角和

定理证明/D4C+/OAO=90°,即/OAC=90°,可证明AC是。。的切线.

【解答】证明：(1)由旋转的性质可得AE=A£>,ND4E=a,

：.ZBAC=ZDAE,

：.ZBAC-NBAD=NDAE-/BAD,即//ME=NC4O,

又：AB=AC,

AAABS^AACZ)(SAS),

ZAEB=ZADC,

VZADC+ZADB=\SO0,

・・・NAE8+NAO8=180°,

・・・A、B、D、E四点共圆；

(2)如图所示，连接OA,OD,

'：AB=ACfAD=CD,

：.ZABC=ZACB=ZDACf

・・•O。是四边形AE5O的外接圆，

・•・ZAOD=2ZABC,

：.ZAOD=2ZABC=2ZDAC,

♦：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA9

VZOAD+ZODA+ZAOD=\^°,

：.2ZDAC+2ZOAD=\SO0,

：.ZDAC+ZO