数学建模论文

长江水质的评价和预测回归模型科技学院：袁再云、沈永耀、余培文、周燕摘要本文主要建立了统计回归模型来评价长江水质问题和预测未来10年长江流域的污染情况，同时，还采用了模糊数学的一些根本原理，极限思想，Matlab数据拟合，图论对相应的问题进行分析与求解。对问题一：先按照水质从优到劣，采用模糊数学原理对长江水质类别附权重值，算出长江水质17个观测站〔地区〕的三个工程的平均权值；再利用逐步回归的思想建立了统计回归模型〔模型一〕，得到平均权值为3.323529(基于Ⅱ类、Ⅲ类水之间)，由此也可得出各地区的平均权重值，再利用此模型来评价各地的水质污染状况。对问题二，根据附件三中各地区高锰酸盐与氨氮的含量对其分析，采用图论原理得出直观图表，从而得出氨氮污染源主要集中在重庆朱沱、湖南岳阳城陵矶；而高锰酸盐污染源主要集中在湖南岳阳城陵矶、湖北宜昌南津关。对问题三，通过附件四中的主要数据及每年污水总排放量，用Matlab拟合，初步得到长江未来10年水质污染的开展趋势预测曲线图，为了进一步地对其预测，我们建立了统计回归模型〔模型二〕，可对长江未来水质污染的开展趋势做出具体的预测，说明了长江在未来10年内急剧恶化。对问题四，在模型二的根底上，运用极限的思想和在假设8〕的前提条件下，建立了模型三，得出每年污水排放总量至少要到达85.2694亿吨关键词：多元线性拟合、统计回归模型、多项式拟合、长江水质污染 一、问题的重述1背景分析水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视，保护长江水资源已是一项长期而艰巨的任务。因此，在经济开展的同时，如何处理好与水资源保护的关系是一个严峻的课题。本文对2004年10月“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，统计了相关的检测数据，建立了相应的线性回归模型，优化模型等，并对解决长江水质污染问题提出了建议和意见。2有关情况附件3给出了长江沿线17个观测站〔地区〕近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的根本数据〔站点距离、水流量和水流速〕。通常认为一个观测站〔地区〕的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比方可以考虑取0.2(单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表一是国标(GB3838-2002)给出的《地表水环境质量标准》中4个主要工程标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。3问题提出现附件三、附件四中给出了相关的检测数据，请解决以下问题：〔1〕对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。〔2〕研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?〔3〕假设不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的开展趋势做出预测分析，比方研究未来10年的情况。〔4〕根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？〔5〕你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。二问题的分析问题一中，因为无量纲，所以暂不考虑PH值，那么对长江水质17个观测站〔地区〕的综合评价主要从溶解氧、高锰酸盐指数和氨氮三个工程的平均权值来考虑，按照水质从优到劣，将Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ类水质赋予一个数量级的权重分别为；再将算出的平均权值与我们对水质所附值相比拟，最后对该水质情况作出综合评估。问题二中，在模型一的根底上，运用图论对长江干流各地区平均每月分别含量和量进行分析比照。问题三中，要预测长江未来10年水质污染的开展趋势，我们采用了污水排放总量为指标来研究水质污染情况，在不采取更有效的治理措施的前提下，依照过去10年的污水排放总量，可采用拟合的方法预测未来10年污水的排放总量。为了更好的预测未来每年的污水排放总量，然后再运用线性回归的方法对其进行预测。问题四中，要将未来10年内每年长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例都控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水，在问题三的根底上，运用极限的思想，在假设8〕的前提条件下，可计算出每年污水排放总量。问题五，我们针对以上长江水质污染问题，给出了有关的建议和意见。三模型的假设1〕假设在1995-2004年间，每年各月份的废水排放量根本均衡；2〕假设短期内枯水期和丰水期的长度根本不变；3〕假设水质污染物只考虑高锰酸盐指数和氨氮；4〕假设长江干流自净化能力为均匀的，且为0.2〔单位：1/天〕5〕假设观测站〔地区〕的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水；6〕假设干流上的两地区之间的水流速度是匀变速的；7〕假设每年各类水所占河水百分比与其在枯水，丰水，平水期的好似件长短成先性关系；8〕假设长江流域主要污染源工厂在未来10年将不再增加且工厂不再扩建；四、符号说明1模型一、二的符号说明：月份工程的值〔〕；：工程第类的标准限值；：第类的平均权值；：总月份；2模型三的符号说明：水文年在流域类水占有的比例；：长江流域每年废水排放总量；3模型四的符号说明：2005年水文年在全流域第Ⅲ类水所占的比例；：污水排放总量；五、模型的建立与求解〔一〕模型一〔对长江17个地区水质综合评价的初等模型〕1.1模型一的准备由附表一得到，溶解氧满足：；同理，高锰酸盐指数满足：；氨氮满足：；其中对附值，且与相对应，即；第类的平均权值：综上可得到长江水质17个观测站〔地区〕的三个工程平均权值，结果如下表一所示：表一：长江水质17个观测站〔地区〕的三个工程的平均权值序号点位名称X1X2X3Y1四川攀枝花4.9642863.3928574.7142863.8928572重庆朱沱4.9285713.3571433.7857143.7142863湖北宜昌南津关4.7857143.71428643.8928574湖南岳阳城陵矶4.9285713.64285743.6428575江西九江河西水厂4.4285713.7857144.54.0714296安徽安庆皖河口4.4285713.7142864.14285747江苏南京林山4.2857143.3571434.6785714.0357148四川乐山岷江大桥3.1071433.0714292.751.759四川宜宾凉姜沟4.8214293.6785713.9642863.42857110四川泸州沱江二桥3.9285713.5357143.5714292.96428611湖北丹江口胡家岭4.9285713.2554.71428612湖南长沙新港3.9642863.4285712.751.92857113湖南岳阳岳阳楼4.7857143.4285713.8571433.21428614湖北武汉宗关4.2142863.8571434.3571433.53571415江西南昌滁槎3.1071433.1785711.2142860.85714316江西九江蛤蟆石4.3928573.4642864.0714293.2517江苏扬州三江营4.2857143.5714294.1785713.607143平均值4.3697483.4957983.8550423.3235291.2建模的根本思路〔逐步回归〕先确定一个包含假设干6个自变量的初始集合，然后每次从集合外的变量中引入一个对因变量影响最大的，再对集合中的变量进行检验，从变量不显著的变量中移出一个影响最小的，依次进行，知道不能引入和移出为止。其中引入和移出都以给定的显著性水平为标准。在Matlab统计工具箱中的逐步回归命令是,例如：其中是自变量数据，排成矩阵〔为自变量个数，为每个变量的数据量〕；是因变量数据，排成维向量，是自变量初始集合的指标，为显著性水平。1.3模型一的建立将表一中的数据排成用命令〔6个变量都进入了初始模型〕，再根据逐步回归思想知，得到图一，仅含对因变量的影响是显著的。图一：仅含模型的窗口由上图知，仅模型是适宜的，的回归系数分别为和，但命令并未给出回归模型的常数项，可由以下方法计算得到：其中分别是的平均值，利用逐步回归模型最终得到的模型为综上，我们得到了一个总体评价长江水质17个观测站〔地区〕与第一、三类平均权值之间的模型，且简单、有效。1.4模型的求解根据模型一及表一，将的值代入，得到，即对长江水质17个观测站〔地区〕的总体平均权重为3.323529，再根据分析中对水质的标准值所附值相比拟，得知，说明长江的水质总体较好，主要为第二类水和第三类水，其中第三类水最多。但如果不加以整治，采取有效的治理措施，让其继续被污染，那么第二类水将转化为第三类水，而第三类水将转化为第四类水，说明长江水质此时已变为不可饮用水。由表一知，江西九江河西水厂、江苏南京林山、安徽安庆皖河口、湖北丹江口胡家岭这四个地区的水质的污染较少；四川攀枝花、重庆朱沱、湖北宜昌南津关、湖南岳阳城陵矶、四川宜宾凉姜沟、湖南岳阳岳阳楼、湖北武汉宗关、江西九江蛤蟆石、江苏扬州三江营这十个地区的水质的污染较多；而四川乐山岷江大桥、四川泸州沱江二桥、湖南长沙新港、江西南昌滁槎这四个地区的水质已被污染，不可饮用。〔二〕问题二〔对长江干流主要污染物所在地区的评价〕2.1问题二的求解根据模型一知，第类的平均值：得到长江干流地区平均每月含量的直观图〔见图2.1〕及长江干流地区平均每月含量的直观图〔见图2.2〕：图2.1：长江干流地区平均每月含量图2.2：长江干流地区平均每月含量表二：长江干流地区平均每月分别含量和量序号点位名称第二问1四川攀枝花2.4321430.1828572重庆朱沱

2.0964290.3317863湖北宜昌南津关

2.8750.2642864湖南岳阳城陵矶

3.7857140.335江西九江河西水厂

2.4285710.1603576安徽安庆皖河口

2.5750.2289297江苏南京林山

2.0928570.127857 由上表得到长江干流地区近一年多受污染物氨氮污染的程度由大到小分别为：重庆朱沱、湖南岳阳城陵矶、湖北宜昌南津关、安徽安庆皖河口、四川攀枝花、江西九江河西水厂、江苏南京林山

；因此，氨氮污染源主要集中在重庆朱沱、湖南岳阳城陵矶这两个地方。受污染物高锰酸盐污染的程度由大到小分别为：湖南岳阳城陵矶、湖北宜昌南津关、安徽安庆皖河口、四川攀枝花、江西九江河西水厂、重庆朱沱、江苏南京林山

；因此，高锰酸盐污染源主要集中在湖南岳阳城陵矶、湖北宜昌南津关这两个地方。〔三〕模型二〔对长江未来十年水质污染的开展趋势的预测分析〕3.1模型二的建立由附件四，根据年污水总排放量，用Matlab拟合，初步长江得到未来十年水质污染的开展趋势预测曲线图，具体情况如以下图二所示：图二：对长江未来十年水质污染的开展趋势预测图为了进一步地对其预测，我们分析了与的关系，首先利用附件四中的数据分别作出对的散点图〔见以下图3.1、3.2、3.3、3.4、3.5、3.6中的圆点〕。图3.1对的散点图图3.2对的散点图

图3.3对的散点图图3.4对的散点图图3.5对的散点图图3.6对的散点图从图3.1得到，随着的增加，的值有较明显的线性下降趋势，图中的曲线是用二次函数模型拟合的〔其中是随机误差0.85〕。而在图3.2中，当增大时，有向下弯曲下降的趋势，图中的曲线是用二次函数模型拟合的。同理，在图3.3中，当增加时，有明显下降的趋势，图中的曲线是用二次函数模型拟合的。而在图3.4中，随着的增加，的值有较明显的线性增长趋势，图中的直线是线性模型拟合的。同理，在图3.5中，当增加时，有向上弯曲增加的趋势，图中的直线是线性模型拟合的。在图3.6中，有向上弯曲增加的趋势，图中的直线是二次函数模型拟合的。综上，结合模型〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕、〔5〕和〔6〕建立如下回归模型，〔7〕式右端的为回归变量〔自变量〕是长江流域每年废水排放总量的平均值，其中为回归系数，由附件四的数据估计，影响的其它因素的作用都包含在随机误差中。

3.2模型二的求解根据以上模型二，利用Matlab统计工具箱中的命令求解，得到模型〔7〕中的回归系数估计值及其置信区间〔置信水平〕、检验统计量，，的结果见表三：表三：模型〔7〕的计算结果参数参数估计值参数置信区间-8932.2[-9241.2-8623.1]-88.6[-91.7-85.4]0[0.00.1]-91.8[-94.9-88.7]91.5[88.494.6]911[80.192.3]90.8[87.793.8]91.1[88.194.2]88.3[85.091.7]0.9[0.80.9]由表三显示，指因变量长江流域每年废水排放总量的可由模型确定值远远超过检验的临界值，远小于，说明拟合精度较高，可以用此预测未来十年长江水质污染趋势。表三的回归系数给出了模型〔7〕中的估计值，即，，，，，，，，，，。检查它们的置信区间，去除三给变量，而只有的置信区间包含零点，说明回归变量对因变量的影响不是太显著，但由于是显著的，因此我们仍将变量保存在模型中。3.3模型二的预测将回归系数的估计值代入模型〔7〕，即可预测长江未来十年污水排放总量，预测值记作，得到模型〔7〕的预测方程只需知道，就可以计算预测值。〔四〕模型三的建立与求解在模型二的根底上，运用极限的思想，建立了模型三：运用Matlab软件进行求解，得出：结果分析与检验：由以上结果知，如果2004年要到达长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水，那么污水处理量至少要到达85.2694亿吨；由假设8〕可知，2004年以后污水排放量将到达一定的饱和，要想到达以上的标准，那么每年排放量应为85.2694亿吨。根据附件四排放量为85.2694亿吨，与实际情况是相符合的。〔五〕对解决长江水质污染问题的有关建议和意见水是人类赖以生存的资源长江是中国第一，世界第三大河流.通过这次我们对长江水质进行分析以及对未来长江水质的预测,其污染状况日趋严重。假设不即时拯救，几年之内。长江水系生态将频临崩溃……可想而知，父亲河污染是多么严重啊！所以保护父亲河可不容缓。为了阻止这种的发生，我们提出了以下的几点建议：1从我做起，保护长江如果公民的意识始终提不高，那么我们制定再多的法律制度也是一纸空文。所以每个人、企业都要提高保护意识，政府我们保护长江要从点滴做起、从自我做起，保护水环境人人有责’，保护环境、保护母亲河从我做起，做到保护绿化、保护水环境，不乱扔垃圾，不乱倒污水。2应用科技，保护长江推行新的工业技术,淘汰落后技术，积极引进和开发无废或少废，不用水或少用水的工业技术，研究适合流域工业特色和自然环境特点的废污水处理利用和资源化技术，加快建设城市污水处理设施和资源化工程，使有限的水资源发挥更大的经济、社会和环境效益。3加强法律，保护长江强化流域水资源保护机构，制定流域管理法规，一定要做到在治理长江中有法可依，同时在对污染长江的企事业单位进行处分的时候要执法必严。我们建议在对沿江工业企业征税的时候可以将排污量作为一方面因素来考虑，对排污量小的企业可适当减税，对排污量大的企业要适当增税。4治理环境，保护长江保护长江树立先进的环保理念是关键，依据水环境功能用途要求和水体稀释自净能力，建立不同类型的保护区，优先保护好生活用水水源，使其不受污染。同时在沿江地带尤其是上游地区大面积植树造林，这才是治理长江的治本之法，在这保护之中，上游的保护尤其重要，所以更要就强管理。总之，为了使长江环境保护落到实处，城市建设部门、环境执法部门等应该加强对城市环境建设的监督管理。长江水质污染面临的严峻形势，我们必须采取适当的措施来预防控制这种趋势。希望每个人都行动起来保护长江，保护我们的家园，还长江以清流长存，留给子孙后代一个清澈的长江。五、模型的评价与推广5.1模型的评价从目前中国的实际环境状况入手，合理地运用了生物降解、水利统计等知识，借助matlab软件处理数据，并运用了线性回归及极限的思想建立了废水排污量的模型，最后对问题进行分析。可以说这是一个用建模方法解决实际问题的过程。由于此模型未将自然因素、人为因素等考虑进去，通过检验，与实际情况根本符合，说明所建模型的算法是可靠的。缺乏之处在于过多依赖计算机的运算能力，在实际问题中要考虑的因素更多，模型将相当复杂。5.2模型的推广本文建立了长江污水排放量统计回归模型，此模型可推广到牙膏的销售量问题、软件开发人员的薪金问题、教学评估问题等。六参考文献[1]姜启源.数学模型.北京：高等教育教育出版社，2003[2]程理民.运筹学模型与方法教程.北京：清华大学出版社，2000[3]俞大刚.线性回归模型分析.北京：中国统计出版社，2007附表一:《地表水环境质量标准》〔GB3838—2002〕中4个主要工程标准限值单位：mg/L序号

分类

标准值

项目Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类Ⅳ类Ⅴ类劣Ⅴ类1溶解氧(DO)

≥7.5〔或饱和率90%〕653202高锰酸盐指数(CODMn)≤2461015∞3氨氮〔NH3-N〕

≤0.150.51.01.52.0∞4PH值〔无量纲〕6---9附录：附录一：〔模型一的程序〕fort=1:476if(x(t)>=7.5)x(t)=5;elseif((x(t)>=6)&(x(t)<7.5))x(t)=4;elseif((x(t)>=5)&(x(t)<6))x(t)=3;elseif((x(t)>=3)&(x(t)<5))x(t)=2;elseif((x(t)>=2)&(x(t)<3))x(t)=1;elseif(x(t)<2)x(t)=0;endendxlswrite('E:\a.xls',x,'sheet1','a1:a476');fori=1:17forj=1:28m(i,j)=x(i+(j-1)*17);endendr=zeros(17,1);fori=1:17r(i)=mean(m(i,:));endxlswrite('E:\a.xls',r,'sheet1','d1:d17');forj=1:476if(y(j)>15)y(j)=0;endif(y(j)<=2)y(j)=5;endif(y(j)<=4&y(j)>2)y(j)=4;endif(y(j)<=6&y(j)>4)y(j)=3;endif(y(j)<=10&y(j)>6)y(j)=2;endif(y(j)<=15&y(j)>10)y(j)=1;endendxlswrite('E:\a.xls',y,'sheet1','b1:b476');fori=1:17forj=1:28m(i,j)=y(i+(j-1)*17);endendr=zeros(17,1);fori=1:17r(i)=mean(m(i,:));endxlswrite('E:\a.xls',r,'sheet1','e1:e17');fork=1:476if(z(k)<=0.15)z(k)=5;elseif((z(k)<=0.5)&(z(k)>0.15))z(k)=4;elseif((z(k)<=1)&(z(k)>0.5))z(k)=3;elseif((z(k)<=1.5)&(z(k)>1))z(k)=2;elseif((z(k)<=2)&(z(k)>1.5))z(k)=1;elseif(z(k)>2)z(k)=0;endendxlswrite('E:\a.xls',z,'sheet1','c1:c476');fori=1:17forj=1:28m(i,j)=z(i+(j-1)*17);endendr=zeros(17,1);fori=1:17r(i)=mean(m(i,:));endxlswrite('E:\a.xls',r,'sheet1','f1:f17');fori=1:17forj=1:28m(i,j)=g(i+(j-1)*17);endendr=zeros(17,1);fori=1:17r(i)=mean(m(i,:));endxlswrite('E:\a.xls',r,'sheet1','g1:g17');附录二：〔模型二的程序〕fori=1:7forj=1:28m(i,j)=x(i+(j-1)*7);endendr=zeros(7,1);fori=1:7r(i)=mean(m(i,:));endxlswrite('E:\a.xls',r,'sheet1','h1:h7');fori=1:7forj=1:28m(i,j)=y(i+(j-1)*7);endendr=zeros(7,1);