湖南省长沙市雅礼实验中学2023-2024学年高二下学期收心检测数学试题

2024年上学期雅礼实验中学高二年级收心检测数学科目试题卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.2.若是等差数列，表示的前项和，，则中最小的项是（）A.B.C.D.3.将编号为的小球放入编号为的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（）A.B.C.D.4.已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.6.若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.在等比数列中，，且前项和，则此数列的项数等于（）A.4B.5C.6D.78.已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线交双曲线于两点，线段的中垂线交轴于点.若，则双曲线的离心率取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设为复数，下列命题正确的是（）A.B.C.若，则为纯虚数D.若，且，则10.已知，下列结论正确的是（）A.若使成立的，则B.若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则C.若在上恰有6个极值点，则的取值范围为D.存在，使得在上单调递减11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若函数存在两个极值，则实数的取值范围为B.当时，函数在上单调递增C.当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0D.当时，若，则的最小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，则__________.13.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的情况有__________种.14.已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为__________.四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数.（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围.16.（本小题满分15分）数列满足（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前项和17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，为的中点，且.记的中点为，若在线段上（异于两点）.（1）若点是中点，证明：面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.18.（本小题满分17分）如图，为圆上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，连接并延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过点的两条直线分别交曲线于两点，且，求证：直线过定点；（3）若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点.请探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分17分）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.（1）若，判断是否为上的“3类函数”；（2）若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；（3）若为上的“2类函数”，且，证明：.2024年上学期雅礼实验中学高二年级收心检测数学科目答案1.D【解答】解：抛物线的焦点坐标为：2.C【解答】解：，则，解得，则，故，等差数列的公差，所以中最小的项是.3.A4.C【解答】解：由已知可得，由可得，解得，所以由与的夹角为钝角可得解得，且.因此，当时，与的夹角不一定为钝角，则充分性不成立；当与的夹角为钝角时，，且，即成立，则必要性成立.综上所述，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.5.C6.A7.B【解答】解：在等比数列中，，所以是方程的两个根，所以，或.当时，，解得，由，解得.当时，，解得，由，解得.8.B9.AD10.BC【详解】对于A，若，则，则，故A错误；对于B，将的图象向左平移个单位长度后得到，若所得图象关于轴对称，则，得，所以，故B正确；对于，由，得，若在上恰有6个极值点，则，解得，故C正确；对于D，由，得，因为，所以在上不可能单调递减，故D错误.故选：BC.11.BC【解答】解：对选项：，若函数存在两个极值，则函数必有两个变号零点，令，则，令，则，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，又当时，恒成立，当时，，故当，函数有两个变号零点，即若函数存在两个极值，则实数的取值范围为，故错误；对选项：当时，，令，则，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，故函数在上单调递增，故正确：对选项：当时，，令，则，则当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则存在，使不等式成立，等价于存在，使不等式成立，则当时，有成立，由当时，，且在上单调递增，故，即实数的最小值为0，故正确；对选项：当时，由可知，均为定义域上的增函数，由，故有，由，则，即，故，又，故，令，则，令，则，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，即，故在上单调递增，故无最小值，即无最小值，故错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.4214.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解答】解：（1），则，解得.（2），令，则，当时，在单调递增，即在上最多只有1个零点，不符合题意；当时，令，解得，且当，当，所以，即在单调递增，在单调递减，所以当，即时，有两个零点，有两个极值点，综上可知，实数的取值范围是.16.（1）（2）17.（1）证明：取线段的中点，连接，因为为的中点，则且，因为为的中点，则且，因为分别为的中点，所以，且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面平面，所以，平面.（2）解：连接，因为为的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，，且，因为，则，又因为，则，因为为的中点，则，因为，所以，，所以，，则，又因为平面，所以，平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，设，则，，设平面的法向量为，则，取，可得，，若直线与平面所成角的正弦值为，则，整理可得，因为，解得，故.18.【解答】解：（1）不妨设，此时，因为，所以，此时，即因为点在圆上，所以，则，故曲线的方程为；（2）证明：易知直线与坐标轴不平行，不妨设直线的方程为，此时直线的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），所以，此时，同理得，当时，直线的斜率存在，此时，所以直线的方程为，易知直线过定点；当时，直线斜率不存在，此时直线的方程为，则直线过定点，综上，直线过定点；（2）假设存在点使得，不妨设，因为，所以，此时，即，所以，因为直线与曲线交于不同的两点，易知关于轴对称，不妨设，易知，所以直线方程为，令，解得，而直线方程为，令，解得，因为，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，故存在点，使得.19.【解析】（1）对于任意不同的，有，，所以，，所以是上的“3类函数”.（2）因为，由题意知，对于任意