第三章 计算机控制系统的基本设计方法2

计算机控制系统Computer-ControlledSystem电力学院自动化系张计科§3.1等效连续化设计法§3.2等效离散化设计法§3.3状态空间设计法第三章经典设计法一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法1、Z域根轨迹

Z域中的根轨迹作图方法与S域中的根轨迹作图规则一致。

连续系统中稳定边界是根轨迹与虚轴的交点，离散系统的稳定边界是根轨迹与单位圆的交点。

当系统有一对闭环主导极点，且指标是误差系数或阻尼比等形式给出时，可以应用根轨迹法。闭环系统的特征方程系统的开环传递函数分离点方程一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法1、Z域根轨迹一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法1、Z域根轨迹p101RejImz1

根轨迹始自极点,终于零点或无限远处；

在极点处开环增益为0；

随着开环增益的增大，根轨迹趋向零点或无穷远处，在零点或无穷远处，开环增益趋向于

∞。D

(z)－例：对于如下图所示的系统，试绘制采样周期T=0.5s时的根轨迹，确定K的临界值。假设。

解：一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法1、Z域根轨迹一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法1、Z域根轨迹将代入中，得。

将代入中，得。一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法1、Z域根轨迹一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法2、开环零、极点分布对根轨迹及系统性能的影响p101RejImz1p101RejImz1p101RejImz1p101RejImz1

在极点位置不变的情况下，零点右移时，根轨迹圆变小，根轨迹与单位圆交点的放大倍数加大，因而临界放大倍数加大。①

极点位置不变，零点移动：一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法2、开环零、极点分布对根轨迹及系统性能的影响p101RejImz1p101RejImz1p101RejImz1p101RejImz1

在零点位置不变的情况下，极点位置左移时，根轨迹圆变小，根轨迹与单位圆周交点的放大倍数加大，因而临界放大倍数加大。②零点位置不变，极点移动：一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法2、开环零、极点分布对根轨迹及系统性能的影响01RejImz1p10RejImz1p2p101RejImz1p10RejImz1p2z2③

增加零、极点：

增加极点

增加零点一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法3、Z平面上的等阻尼比线

S、Z平面等阻尼比线

当系统的极点均在“鸡心”状曲线，系统就具有所要求的阻尼比。01RejIm-1aa‘0aσjωωs/2-ωs/2a‘主频带φ

系统通常工作在主频带，对于高频分量具有很强的滤波作用。

根据对阻尼比的要求，由根轨迹和等阻尼比线的交点，就可以确定系统的放大系数或其它参数。一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）①

原理：

零、极点的分布对二阶系统的根轨迹是有影响的，为了满足性能要求，可以采用零、极点对消的办法，或者附加新的零、极点的办法改变根轨迹，进而改善系统性能，以获得所需要的性能指标。

对于高阶系统，当存在一对主导极点时，系统的性能可以用二阶系统来近似。

根据对阻尼比的要求，由根轨迹和等阻尼比线的交点，就可以确定系统的放大系数或其它性能指标。一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）②

设计方法：A.根据设计要求计算相应的性能指标;每个阻尼振荡周期内采样次数B.确定每个阻尼振荡周期内采样次数及采样周期;（一般8~10次较满意）一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）②

设计方法：C.计算闭环主导极点;D.求广义对象的脉冲传函（带零阶保持器的被控对象的Z传函）

G(z)，并画出系统的根轨迹图;一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）②

设计方法：E.计算校正前闭环主导极点处的相角总和，并根据相角条件（闭环主导极点处的相角和必须等于±1800）求出角度缺额;校正前闭环主导极点处的相角总和角度缺额F.设定控制器的脉冲传递函数形式;一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）②

设计方法：G.校正前闭环主导极点处的角度缺额由控制器提供的角度（闭环主导极点到控制器各零点的相角和与闭环主导极点到控制器各极点的相角和之差）补齐，以满足相角条件（闭环主导极点处的相角和必须等于±1800）;

——求解控制器脉冲传函的已知条件之一H.用控制器脉冲传函的一个零点去对消G(z)的一个稳定的极点，从而求出控制器脉冲传函的一个零点;

——求解控制器脉冲传函的已知条件之二[Z]P一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）②

设计方法：I.根据增益公式计算控制器脉冲传函增益;

——求解控制器脉冲传函的已知条件之三J.求校正后的闭环脉冲传递函数及相应性能指标，并验算之。D

(z)－在Z平面设计一个数字控制器使其闭环主导极点有阻尼比ξ＝0.5，调节时间ts＝2s，设采样周期T=0.2s，求所设计的数字控制系统对单位阶跃输入的响应及系统的速度误差系数。一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）③

举例：解：根据要求有闭环主导极点满足ξ＝0.5s

。

所以每个阻尼振荡周期内采样次较满意

。

一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）③

举例：P一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）③

举例：根据闭环主导极点P

:计算出P点的幅角总和

:因此，角度的缺额为－1800

－(－230.670)=50.670P故控制器的脉冲传递函数应提供50.670（超前）设设零点z＝－α对消对象极点z＝0.6703，即α＝－0.6703一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）③

举例：则控制器的极点z＝－β

也相应可确定。Pθ50.670一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）③

举例：根据增益公式系统闭环极点z＝0.5198±j0.4305系统闭环零点z＝－0.876一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）③

举例：系统输出的Z变换为一、基于Z域的根轨迹设计法§3.2等效离散化设计法4、基于Z域的根轨迹设计法（根轨迹校正法）③

举例：闭环脉冲传递函数D

(z)－①对于给定信号，系统在采样时刻的稳态误差为零；②系统具有有限时间响应，即在最少的时间内（拍数）系统输出达到稳态值，所以称为最小拍响应；③D(z)

必须是物理可实现的；④具有无纹波响应，即采样时刻之间输出响应无波动。二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法1、最小拍控制系统的设计指标G(z)中不包含单位圆外或单位圆上的零极点部分D

(z)－二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计①根据稳态误差为零的条件，知②根据D(z)G(z)不能存在单位圆上或单位圆外零、极点对消的原则，必有：G(z)单位圆上或单位圆外零点须由φ(z)对消，而G(z)单位圆上或单位圆外极点须由1－φ(z)（即φe(z)）对消，即二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计则至少要包含有。其中：m为G(z)的瞬变滞后，当连续对象Gp(s)中不含有纯延迟环节时，m＝1；当连续对象Gp(s)中含有纯延迟环节时，m>1。二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计F1(z)和F2(z)均为关于z-1

的多项式，且不包含G(z)中的不稳定极点aj和不稳定零点bi。个待定系数个系数方程二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计用对应项系数相等的原则求解。二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计特别注意：当G(z)含有单位圆上的极点z＝1（即aj＝1）时，当其重数p≤q

时，v为不含z＝1的单位圆外或单位圆上的极点数；而当其重数p>q

时，v为p－q和其它单位圆外或单位圆上的极点数的和。二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计例：如下图所示的计算机控制系统，试针对斜坡输入函数设计最小拍系统，画出数字控制器和系统的输出波形。D

(z)－二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计解：斜坡输入

所以q=2，u=0，v=0，m=1

二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计解：q=2，u=0，v=0，m=1

二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计解：二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计解：输出有纹波

u(t)tc(t)too二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计采样时刻的输出采样时刻的控制采样时刻的控制连续系统输出二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法2、一般系统的最小拍控制系统的设计①最小拍控制系统产生纹波的原因产生纹波的原因:G(z)单位圆内的零点。②无纹波最小拍控制系统的必要条件无纹波的平滑输出Gp(s)至少有1个积分环节无纹波的平滑输出Gp(s)至少有q－1

个积分环节Gp(s)至少有2个积分环节无纹波的平滑输出二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法3、无纹波最小拍控制系统的设计③无纹波最小拍控制系统的附加条件中包含有G(z）的所有零点。二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法3、无纹波最小拍控制系统的设计④无纹波最小拍控制系统的设计m：广义对象G(z)的瞬变滞后。当连续对象Gp(s)不含有纯滞后（纯延迟）环节时，m＝1；当连续对象Gp(s)含有纯滞后（纯延迟）环节时，m>1。w：广义对象G(z)的所有零点（单位圆上、内、外）数。v：广义对象G(z)的单位圆上或单位圆外的所有极点数。二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法3、无纹波最小拍控制系统的设计④无纹波最小拍控制系统的设计当广义对象G(z)含有单位圆上的极点z＝1，即αj＝1时，为广义对象G(z)除以上所分离出来部分的剩余部分，只包含G(z)的单位圆内的极点和增益。

如果其重数p≤q时，v为不含z＝1的单位圆外或单位圆上的极点数；

如果其重数p>q

时，v为大于的部分（即p－q）和其它单位圆外或单位圆上的极点数的和。二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法3、无纹波最小拍控制系统的设计④无纹波最小拍控制系统的设计用对应项系数相等的原则求解二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法3、无纹波最小拍控制系统的设计④无纹波最小拍控制系统的设计例：针对前面例题的计算机控制系统，设计斜坡输入的无纹波最小拍系统。D

(z)－解：二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法3、无纹波最小拍控制系统的设计④无纹波最小拍控制系统的设计解：斜坡输入

所以q=2，w=1，v=0，m=1

二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法3、无纹波最小拍控制系统的设计④无纹波最小拍控制系统的设计解：解之得

二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法3、无纹波最小拍控制系统的设计④无纹波最小拍控制系统的设计解：二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法3、无纹波最小拍控制系统的设计无纹波最小拍控制系统的设计一般系统的最小拍控制系统的设计二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法①对不同输入类型的适应性差；②对参数变化过于敏感；③控制作用易超出限制范围。

最小拍控制系统的设计以调节时间作为惟一的性能指标，基于采样系统的z传递函数，运用的数学方法和得到的控制结构均十分简单，整个设计过程可以简析地进行。这是它的优点，但是它也存在着一些局限性。二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法4、最小拍控制系统的局限性①对不同输入类型的适应性差

最小拍控制器的设计使某一类输入的响应为最小拍，但对于其它类型的输入不一定为最小拍，甚至会引起很大的超调量和静差。D

(z)－针对斜坡输入设计的无纹波最小拍系统二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法4、最小拍控制系统的局限性①对不同输入类型的适应性差

对于单位阶跃响应，表现出较大的超调，对于单位抛物线响应，表现出有一定的静差。单位阶跃响应单位抛物线响应二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法4、最小拍控制系统的局限性二、最小拍控制系统设计

按最小拍控制设计的系统具有多重闭环极点z=0，从理论上讲，这种设计对系统参数变化的灵敏度很高，如果系统参数发生变化，将使实际控制效果严重偏离期望状态。D

(z)－设采样周期发生变化②对参数变化过于敏感§3.2等效离散化设计法4、最小拍控制系统的局限性②对参数变化过于敏感采样周期发生变化二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法4、最小拍控制系统的局限性

②对参数变化过于敏感对象特性发生变化二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法4、最小拍控制系统的局限性二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法4、最小拍控制系统的局限性

在最小拍控制系统设计过程中，对控制量未作限制。在实际系统中，由于控制量的能量不是无穷大，而要受到生产机械的极限能力的限制，所以达不到理论设计的性能。D

(z)－③控制作用易超出限制范围二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法4、最小拍控制系统的局限性③控制作用易超出限制范围

惯性因子法是针对最小拍系统只适用于特定的输入类型而对其它输入不能取得满意效果而采取的一种改进方法。①惯性因子法

它以损失控制的有限拍无差性质为代价，而使系统对多种类型输入有较满意的控制效果。

这种方法的基本思路是将原误差传递函数Φe(z)的z-1有限多项式通过一惯性因子项1-αz-1进行修改。即

惯性因子法的控制效果好坏与参数α有很大关系。α的选取原则

⑴│α│<1，以保证系统稳定；⑵对不同输入，使均方差最小。二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法5、最小拍控制系统设计的改进算法②非最少的有限拍控制

这种方法的基本思路是将闭环脉冲传递函数Φ(z)中z-1的幂次适当提高1~2阶，闭环系统的脉冲响应将比最小拍时多持续1~2拍才归于零。

虽然已不是最小拍系统，但仍为一有限拍系统。由于维数的提高，将增加闭环脉冲传递函数Φ(z)中若干待定系数的选择自由度。一般来说，这种方法有利于降低系统对参数变化的敏感性，并减小控制作用。二、最小拍控制系统设计§3.2等效离散化设计法5、最小拍控制系统设计的改进算法三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法1、大林算法的设计目标

设计大林（Dahlin）算法数字控制器使系统的闭环传函为具有纯滞后的一阶惯性环节，且其滞后时间等于被控对象的滞后时间，其与采样周期T有整数倍关系，即：①若被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节：三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法2、大林算法控制器D(z)的基本形式②若被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节：三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法2、大林算法控制器D(z)的基本形式例：设被控对象的传递函数为采样周期T=0.5秒，期望的闭环传递函数的一阶惯性环节的时间常数Tb＝0.5秒，试按大林算法设计其数字控制器。解：①求系统的广义对象的脉冲传递函数三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法3、设计举例②求系统的闭环脉冲传递函数③求数字控制器三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法3、设计举例数字控制器的输出三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法3、设计举例采样周期T=0.5秒被控对象传递函数期望闭环传递函数设计的控制器三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法3、设计举例

所谓振铃（Ringing）现象，是指数字控制器的输出u(k)以2T或以1/2的采样频率大幅度上下摆动。

振铃现象产生的根源由于对单位阶跃输入，它有极点z=1，如果φu(z)的极点在负实轴上，且与z=-1接近，则上述两个极点造成的输出瞬态项在不同的时刻可能叠加也可能抵消，导致输出出现波动。，令，则三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法4、振铃现象及其消除方法

G(z)中含有靠近z=－1的零点，相当于U(z)中含有z=－1附近的极点！

用单位阶跃输入下数字控制器第0次输出量和第1次输出量的差值表示。

振铃强度RA：φu(z)可以写成：三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法4、振铃现象及其消除方法单位阶跃输入下

振铃强度RA：三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法4、振铃现象及其消除方法

被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节对象的脉冲传递函数中没有靠近z=-1的零点，所以这种系统不存在振铃现象。

振铃强度RA：三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法4、振铃现象及其消除方法例：设被控对象的传递函数为采样周期T=0.5秒，期望的闭环传递函数的一阶惯性环节的时间常数Tb＝0.5秒，试按大林算法设计其数字控制器。解：①求系统的广义对象的脉冲传递函数三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法4、振铃现象及其消除方法

被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节②求系统的闭环脉冲传递函数③求数字控制器三、大林(Dahlin)算法——大迟延过程系统的控制§3.2等效离散化设计法4、振铃现象及其消除方法