第七章 不可压缩流体动力学基础(第一次课修改)

流体力学北方民族大学化工学院任课教师：康亚明穷究于理，成就与工2011年6月3日内容回顾核心问题1：平面射流及其特征气体从狭长缝隙中外射运动时,射流只能在垂直条缝长度的平面上扩散运动,如果条缝相当长，这种流动可视为平面运动,故称为平面射流。对于平面射流，tgα=2.44a,其他几何、运动动力特征完全与圆断面射流相似。和圆断面射流相比，流量沿程的增加，流速沿程的衰减都要慢些，这是因为运动的扩散被限定在垂直于条缝长度的平面上的缘故。关键问题2：温差或浓差射流射流本身的温度或浓度与周围气体的温度、浓度有差异。温差、浓差射流分析，主要是研究射流温差、浓差分布场的规律，同时讨论由温差、浓差引起的射流弯曲的轴心轨迹。在实际应用中,为简化起见,可以认为：温度、浓度内外的边界与速度内外的边界相同。

热量扩散比动量扩散要快，温度边界层比速度边界层发展要快要厚。浓度扩散与温度扩散相似。实线：速度边界层虚线：温度边界层核心问题3：旋转射流气流通过具有旋流作用的喷嘴外射运动。气流本身一面旋转，一面向周围介质中扩散前进，称为旋转射流。一、基本特征旋转是旋转射流基本特征，旋转使射流获得向四周扩散的离心力。和一般射流比较，扩散角大，射程短，射流的紊动性强。二、旋转射流的流速分布旋转射流的速度分解为三个分量：（1）沿射流前进方向的轴向速度

（2）在横截面上沿半径方向的径向速度

（3）在横截面上做圆周运动的切向速度

本节要点1、平移运动、旋转运动、线变形运动、角变形运动2、无旋流动的力学特征3、流体的连续性微分方程的一般形式第七章不可压缩流体动力学基础§7-1流体微团运动的分析§7-2有旋流动§7-3不可压缩流体连续性微分方程知识要点1、平移运动、旋转运动、线变形运动、角变形运动2、无旋流动的力学特征3、流体的连续性微分方程的一般形式在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。

引言第一节流体微团运动的分析分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式有平移运动，旋转运动和变形运动等，而变形运动又包括线变形和角变形两种。运动形式在理论力学中知道了刚体质心的平动速度和角速度,利用质点的相对位置就可以求得任何一点的速度ωrv流体中各质点的相对位置是变化的,没有同刚体一样的速度公式.流体运动要比刚体复杂得多;已知一点速度,求几千米外的速度似乎不太可能;但至少在一个小的邻域内可以尝试一下把速度分解成几个部分来分别考虑.在流体微团内可以把某点速度展成泰勒级数形式.流体微团运动的分析流体微团的运动形态：平移旋转变形→线变形角变形线变形平移转动角变形平面流动平移转动线变形角变形分解刚体：移动＋旋转流体：移动＋旋转＋变形（线变形和角变形）如果组成一个流体微团的所有流体质点都具有相同的速度，即其速度梯度为零，这个流体微团只能平动；如果存在速度梯度，则在平动的同时还可能发生旋转和变形。平移旋转角变形线变形BADC流体微团运动的分解xy1.平移运动BADCA

2.线变形运动ADC

线变形速率：流体线在单位时间单位长度的伸长或缩短量。以x轴为例：对于三维空间：同理，沿y轴方向的线变形速率为：ADC3.角变形运动变形程度跟（）有关。ADC角变形速率：两条正交流体边单位时间角度变化的平均值，即单位时间其半角的变化。以xOy平面为例，流体微团总的变形为：根据定义，角变形速度为：对于空间三元流动：4.旋转运动旋转角速度：相互垂直的两条流体线的平均旋转角速度。角平分线的偏转角度,有两种情况。对比旋转和变形对比旋转和变形的定义，当时，有变形，无旋转；

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2当时，有变形，也有旋转。

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2同理，对于空间三元流动：角速度大小为：5体积变化率dxdydz5体积变化率dxdydzdxdydz6.亥姆霍兹速度分解定理设M（x,y,z）点的速度(ux0,uy0,uz0)，与点M相距微小距离另一点M0(x+dx,y+dy,z+dz)的速度分量为:在第一式右端加入两组等于零的项：

其值不变,经过简单组合，可将该式写成：流体质点运动表达式式中，①项——平移速度分量；③、④项——旋转运动所引起的速度分量；②、⑤、⑥项——角变形、线变形所引起的速度分量。

亥姆霍兹速度分解定理第二节有旋流动流体微团的旋转角速度在流场内不完全为零的流动称为有旋流动。自然界和工程中出现的流动大多数是有旋流动，例如:龙卷风管道流体运动绕流物体表面的边界层及其尾部后面的流动。bacd液体作平面圆周运动液体微团作无涡运动bacd液体微团作有旋（涡）运动液体作平面圆周运动bacdbacdbacd物理特征：流体微团（质点）绕自身轴旋转，称为有旋（涡）流动，反之，为无旋（涡）流动。

数学表达，有旋流无旋流不可压缩流体第三节不可压缩流体连续性微分方程当为不可压缩流体时，有。

直角坐标系中的连续性方程yxz

dzdxdy右面速度：左面速度：中心点速度：当为不可压缩流体时，有。

在流场内任取一微元六面体,边长为dx,dy,dz，中心点O流速为（ux,uy,uz）,密度为ρ,以x轴方向为例。左表面流速为：在dt时间内流入左表面的流体体积为：

右表面流速为：

在dt时间内流出右表面的流体体积为：

所以在dt时间内沿x轴流入与流出该六面体的净体积为：（流进为正，流出为负）

同理，在dt时间内沿y、z轴方向流出与流入六面体的净体积分别为：

根据不可压缩流体连续性条件，dt时间内沿x、y、z轴方向流出和流入六面体的净体积为零，即：

因而该式就是不可压缩流体的连续性方程。可压缩流体当为不可压缩流体时，有。

直角坐标系中的连续性方程yxz

dzdxdy右面速度：左面速度：右面密度：左面密度：中心点速度：中心点密度：在流场内任取一微元六面体,边长为dx,dy,dz，中心点O流速为（ux,uy,uz）,密度为ρ,以x轴方向为例：左表面流速为：

密度为：

在dt时间内流入左表面的流体质量为：

右表面流速为：密度：

在dt时间内流出右表面的流体质量为：

在dt时间内流入流出左右表面的流体质量分别为：

所以在dt时间内流入与流出该六面体流体的质量差为：（流进为正，流出为负）

同理可得：

则在dt时间内流入与流出该六面体流体的质量差为：在此六面体中，流体原来的质量为ρdxdydz

,dt时间后，密度变为：由于体积未变，则质量变为：因而在dt时间内，由于密度变化而引起质量的增量为：

质量守恒定律：dt内流入与流出六面体的流体质量差之总和dM应等于六面体内因密度变化而引起流体质量的增量dM′。即：1、流体的连续性微分方程的一般形式

适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压缩流体或不可压缩流体。

2、可压缩流体恒定流动的连续性微分方程

当为恒定流时，有，则上式为：

适用范围:理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。

3、不可压缩流体的连续性微分方程当为不可压缩流体时，有，则上式为：

物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之差等于零。适用范围：理想、实际、恒定流或