第七章 不可压缩流体动力学基础(第二次修改)ppt

流体力学北方民族大学化工学院任课教师：康亚明穷究于理，成就与工2011年6月10日流体微团的运动形态：平移旋转变形→线变形角变形线变形平移转动角变形内容回顾核心问题1：流体微团的运动特征ADC

线变形速率：流体线在单位时间单位长度的伸长或缩短量。以x轴为例：关键问题2：线变形运动ADC变形程度跟（）有关。核心问题3：角变形运动ADC

角变形速率：两条正交流体边单位时间角度变化的平均值，即单位时间其半角的变化。以xOy平面为例，流体微团总的变形为：根据定义，角变形速度为：旋转角速度：相互垂直的两条流体线的平均旋转角速度。核心问题4：旋转运动角平分线的偏转角度,有两种情况。对比旋转和变形对比旋转和变形的定义，当时，有变形，无旋转；

1

2当时，有变形，也有旋转。

1

21、流体的连续性微分方程的一般形式

适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压缩流体或不可压缩流体。

核心问题5：不可压缩流体连续性微分方程2、可压缩流体恒定流动的连续性微分方程

当为恒定流时，有，则上式为：

适用范围:理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。

3、不可压缩流体的连续性微分方程当为不可压缩流体时，有，则上式为：

物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之差等于零。适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。第七章不可压缩流体动力学基础1、粘性流体运动微分方程的应力形式2、应力和变形速度的关系3、N-S方程及其应用知识要点§7-4以应力表示的粘性流体运动微分方程§7-5应力和变形速度的关系§7-6纳维——斯托克斯方程§7-7理想流体运动微分方程及其积分

流体流动微分方程包括:连续性方程运动方程

连续性方程是流动流体质量守恒的数学描述。运动方程则是流动流体动量守恒的数学描述。二者都是基于流场中的点建立的微分方程。引言§7.4以应力表示的粘性流体运动微分方程式一、粘性流体的内应力粘性流体在运动时，其表面力包括：压应力和粘性引起的切应力，其表示如图所示。1、应力符号角标的表示

第1个角标表示位置（垂直于那个轴的平面），第2个角标表示方向（沿着那个轴）。zyxpxx

xy

xzpyy

yx

yz

zypzz

zxfxfzfyә

xy

xy+әxdxә

xz

xz+әxdxәpxxpxx+әxdxә

zy

zy+әzdzә

zx

zx+әzdzәpzzpzz+әzdzdzdydxә

yx

yx+әydyә

yz

yz+әydyәpyypyy+әydy2、应力正负号的规定

正面：截面上外法线方向与坐标轴正向一致；

正面正为正，负面负为正；

负面：截面上外法线方向与坐标轴负方向一致；zyxpxx

xy

xzpyy

yx

yz

zypzz

zxfxfzfyә

xy

xy+әxdxә

xz

xz+әxdxәpxxpxx+әxdxә

zy

zy+әzdzә

zx

zx+әzdzәpzzpzz+әzdzdzdydxә

yx

yx+әydyә

yz

yz+әydyәpyypyy+әydy二、以应力表示的运动微分方程如图所示微元体，x向受力为：质量力：法向力：切向力：惯性力：由牛顿第二运动定律F＝max

得:二、以应力表示的运动微分方程对上式整理后，然后分别对y向和z向列方程，可得粘性流体运动微分方程为:粘性流场中任意一点的应力有9个分量，包括3个正应力分量和6个切应力分量；3个速度分量。12个未知量应力状态及切应力互等定律yxz微元体上X和Z方向的表面力,Y=1粘性流场中任意一点的应力有9个分量，包括3个正应力分量和6个切应力分量：应力状态切应力互等定律在6个切应力分量中，互换下标的每一对切应力是相等的。根据一元流体牛顿内摩擦定律：而由第一章知,速度梯度等于微团的角变形速度，即一、切应力和角应变速度的关系xoy平面内角变形速度为：§7.5应力和变形速度的关系则：同理可得三元流体的牛顿内摩擦定律为：广义的牛顿剪切定律。即：牛顿流体本构方程剪应力互等定理+广义剪切定律=未知量减少了6个

6个切应力均可用粘性系数和直角变形速度的乘积来表示。三个法向应力变换为一个压强函数，进一步减少了2个变量。二、法向应力和线变形速度的关系四个方程，四个未知数。粘性流体法向应力和线应变之间的关系应力表示的粘性流体运动微分方程连续性方程：广义的牛顿内摩擦定律§7.6纳维—斯托克斯方程+代入方程：广义的牛顿内摩擦定律粘性流体法向应力和线应变之间的关系应力表示的粘性流体运动微分方程纳维-斯托克斯方程（N-S)方程，是不可压缩流体最普遍的运动微分方程。以上三个式子+不可压缩流体的连续性方程共四个方程，原则上可以求解方程组中的四个未知量：流速分量和压强p。流体流动微分方程的应用连续方程和N－S方程是粘性流体流动应遵循的质量守恒和动量守恒的数学表达式。N-S方程应用概述封闭条件：理论上方程是封闭的，但若要考虑到物性参数的变化，应将物性变化的关系作为补充方程。方程求解：N－S方程无普遍解；特殊条件下，有可能获得准确或近似的分析解；通常通过数值计算获得离散解。应用条件：只适用于牛顿流体,引入了广义牛顿剪切定律。由于引入了广义牛顿剪切定律，故N-S方程只适用于牛顿流体，处理非牛顿流体问题时可用以应力表示的运动方程，再补出相应的本构关系。

Navier-Stokes方程是不可压流体理论中最根本的非线性偏微分方程组，是描述不可压缩粘性流体运动最完整的方程，是现代流体力学的主干方程

。

法国工程师和物理学家。特别对力学理论有很大贡献。流体力学中的纳维尔.斯托克斯（Navier-Stokes）方程就用他和斯托克斯的名字命名的。他首次建立了可以于工程实际的弹性理论的数学表达式。1819年，纳维尔定义了应力零线，并修正了伽利略的错误结果。1826年，他提出弹性模量概念。纳维尔通常被认为是现代结构分析的奠基人。纳维尔的最大贡献当然还是N-S方程，流体力学的基本方程。克劳德.路易.纳维尔ClaudeLouisNavier1785~1836N-S方程理想流体v=0理想流体欧拉运动微分方程定常流动欧拉平衡微分方程莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）

1707～1783

瑞士数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y=F(x)(函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。欧拉在微积分、微分方程、几何、数论、变分学等领域均做出了巨大贡献。

由于速度势空间坐标x,y,z和时间t的函数，加速度项可以展开为四项：N-S方程可以进一步变形为：—拉普拉斯算子

—拉普拉斯算子

当为理想流体时ν＝0，上式成为：当为静止流体时，上式成为：欧拉平衡微分方程

基本微分方程组的定解条件

N-S方程有四个未知数，ux、uy、uz和p，将N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流动问题的特解。1.初始条件对非定常流动，要求给定变量初始时刻t=t0的空间分布显然，对于定常流动，不需要初始条件。2.边界条件

所谓边界条件，是包围流场每一条边界上的流场数值。不同种类的流动，边界条件也不相同。流体流动分析中最常遇到的三类边界条件如下：（1）固体壁面粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接触，在贴壁处，流体速度若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温度连续（2）进口与出口流动的进口与出口截面上的速度与压强的分布通常也是需要知道的，如管流。（3）液体-气体交界面液体-气体交界面的边界条件主要有两个：

运动学条件，即通过交界面的法向速度应相等。

压强平衡条件，即液体的压强必须与大气压和表面张力相平衡。

根据这些初始条件和边界条件，我们可对基本微分方程组积分，并确定积分常数，得到符合实际流动的求解结果。但实际上，只有极少数的问题可求出理论解，通常采用数值解法。例题：不可压缩粘性流体在距离为b的两个大平板间作定常层流流动，假定流体沿流动方向的压强降已知，求:（1）两板固定不动;（2）下板固定上板以等速U沿流动方向运动；两板间流体运动的速度分布。流向yxb解：由于流体水平运动，则有由于流动是一维的，有uy=uz=0；由于流动是定常的，有所以N-S方程可简化为由连续方程可