数值分析实验二-数值积分3

数值分析实验二数值积分组号班级学号姓名分数一：实验目的学会用复化梯形公式，复化辛普森公式，Romberg求积公式，Guass求积公式，高斯—勒让德求积公式，Newton—Cots求积公式等利用函数在假设干点的函数值，近似的计算该函数在某个区间上的积分值二：实验内容及根本知识介绍数值积分的根本思想实际问题当中常常需要积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系。依据人们所熟知的微积分根本定理，对于积分I=,理论上可以用牛顿—莱布尼茨公式=F(b)-F(a),其中F(x)是被积函数f(x)某个原函数，但对很多实际问题，上述公式却无能为力。这是因为：1.被积函数f(x)原函数理论上存在，但无法知道它的可用于计算的表达式，如，等初等函数。2.被积函数f(x)的本身没有可用于计算的表达式，而仅仅是一种数表函数，即只知道该函数的局部特点的函数值。因此，借助插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。〔1〕,复化梯形公式将区间［a,b］划分为几等份，分点xk=a+kh,h=，k=……n，在每个子区间［xk,xk+1］(k=…..n－1)上采用梯形公式：≈［f(a)+f(b)］，那么得I===［f(xk)+f(xk+1)］+Rn(f)记Tn=［f(xk)+f(xk+1)］=［f(a)+］称为复化梯形公式。其余项Rn(f)=－h2f＂(η)η〔a,b〕〔2〕，复化辛普森求积公式将区间［a,b］分为几等份，在每个子区间［xk,xk+1］上采用辛普森公式即S=［f(a)+4f()+f(b)］假设记x=xk+h，那么得I===［f(xk)+4f(x)+f(xk+1)］+Rn(f),记Sn=［f(xk)+4f(x)+f(xk+1)］=［f(a)+4］称为复化辛普森求积公式。其余项Rn(f)=I－Sn=－ηk〔3〕，Romberg求积公式设以表示二分k次后求得的梯形值，且以表示序列｛｝的m次加速值，那么依递推公式：=可得=,k=1.2........称为Romberg求积算法。三：实验问题及方法、步骤例1，利用复化梯形公式或Simpson公式计算积分I=时，假设欲使结果的误差为10-4，那么应将［0,1］几等分并计算结果。算法与程序：定步长梯形法functiont=natrapz(fname,a,b,n)%用途：定步长梯形求函数的积分%格式：t=natrapz(fname,a,b,n)其中fname是被积函数a,b分别为上下限，n为等分数h=(b-a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h：h：b-h+0.001*h);t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f));用于解例题1，在MATLAB命令窗口执行：>>formatlong;natrapz(inline(’sin(x)./x’),esp,1,16),formatshort;ans=0.94599622524238例2，用Romberg积分公式计算积分I=时，需要结果的误差限为0.5×10。算法与程序：Romberg求积公式functiont=naromberg〔fname,a,b,e〕%用途：Romberg法求函数的积分%格式：t=naromberg〔fname,a,b,e〕其中fname是被积函数a,b分别为上下限，e为精度〔默认1e-4〕ifnargin<4,e=1e-4;end;i=1;j=1;h=b-a;T(i,1)=h/2*(feval(fname,a)+feval(fname,b));T(i+1,1)=T(i,1)/2+sum(feval(fname,a+h/2：h：b-h/2+0.001*h))*h/2;T(i+1,j+1)=4^j*T(i+1,j)/(4^j-1)-T(i,j)/(4^j-1);whileabs(T(i+1,i+1)-T(i,i))>ei=i+1;h=h/2;T(i+1,1)=T(i,1)/2+sum(feval(fname,a+h/2：h：b-h/2+0.001*h))*h/2;forj=1：iT(i+1,j+1)=4^j*T(i+1,j)/(4^j-1)-T(i,j)/4^j-1);endendTt=T(i+1,j+1);用于解例题2，在MATLAB命令窗口执行：>>formatlong;naromberg(inline(’sin(x)./x’),eps,1,0.5e-6),formatshort;T=0.92073549240395000000.944513521665390.946086933951790.9460830040636700.945690863582700.946083310888470.946083069350920.94608307038722ans=0.94608307038722四：计算结果分析由例1可知Simpson求积公式比拟梯形公式确实是一个高效率的求积公式。因对上述同样的精度，用梯形公式计算需计算18个节点，而用Simpson公式计算只需3个节点。对于例2先由式计算,.....，再用式：计算得如下数据：=0.9207355=0.9397933=0.9461459=0.9445135=0.9460869=0.9460830=0.9456909=0.9460833=0.9460830=0.9460830=0.9459850=0.9460813=0.9460831=0.9460831由于|k2-k1|≤0.5×已达精度。本例主要计算量在计算梯形积分局部，调用被积分函数17次，这时只有3位有效数字，经过Romberg公式的简单加工可到达6位有效数字，通过例1的方法可知，假设用定步长梯形法到达该精度需要调用函数3465次。五：思考与提高基于插值理论，我们不难推导数值积分的牛顿—科茨求积公式，梯形求积公式，辛普森求积公式是最根本的牛顿—科茨求积公式。其算式简单，且容易推导近似积分值后误差表达式。牛顿—科茨求积公式的主要缺陷是数值不稳定，且没有收敛性，根本原因是龙贝格现象的存在，这意味着，计算结果的精度并不会随着所用函数值的数目的增多而减少，因此可能是一种得不偿失的求积方法。复化求积公式克服了牛顿—科茨求积方法不收敛的缺陷，除非被积函数是在求积区间内剧烈震荡，最简单的复化求积公式或者复化辛普森求积公式也能够得到任意精度的近似积分值，其主要缺陷是不能或不方便确