陕西省安康市2024届高三下学期开学测评数学（理科）试题（教师版）

高三年级测评数学（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式可求得集合，根据交集定义可得结果.【详解】由得：，即，又，.故选：C.2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算法则结合共轭复数概念可得答案.【详解】，则.故选：B3.在等比数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等比数列下标和性质直接求解即可.【详解】由等比数列性质知：.故选：D.4.已知函数有极值，则（）A.1 B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可.【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，.令，得；令，得.所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.则是函数的极小值点，故，解得.故选：B5.已知向量，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量夹角的坐标运算可构造方程求得结果.【详解】，，，由得：，，解得：.故选：C.6.已知，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意解三角不等式得，结合几何概型即可得概率.【详解】由，得.因为，所以，则所求的概率.故选：C.7.国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（）A.2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高B.2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高C.2018年至2022年我国居民消费水平数据的中位数为27439元D.2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多【答案】D【解析】【分析】对于AB选项，由统计图可得答案；对于C选项，由中位数概念结合题目数据可得答案；对于D选项，由统计图数据结合居民消费水平计算公式可得答案.【详解】AB选项，由统计图可得2019年至2020年时我国居民消费水平和城镇居民消费水平都略微减少，故AB选项错误.C选项，5年时间将我国居民消费水平从小到大排序为25245，27439，27504，31013，31718，故中位数为27504，故C错误；D选项，设2022年我国城镇人口数为，农村人口数为，则，故D正确.故选：D8.某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的侧面，在它的轴截面中，，，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】易得图1中小扇形和大扇形的弧长设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为，再根据弧长公式即可得解.【详解】由题意图1中小扇形的弧长为，大扇形的弧长为，设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为，所以，解得，所以原扇形纸壳中扇形的圆心角为.故选：B.9.已知抛物线焦点为，，点是抛物线上一动点，则的最小值是（）A.3 B.5 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式得到，数形结合得到最小值.【详解】由题意得，由抛物线焦半径公式可知，，故，显然连接，与抛物线交点为，此时取得最小值，即当三点共线时，最小，最小值为，故的最小值为3.故选：A10.已知函数，若任意在上有零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，转化为在上有解，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由，可得，令，因为任意在上有零点，则在上有解，又因为在内有解的最短区间长度为，所以，解得.故选：C.11.如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面，.点在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如图，由于点到平面的距离为定值即为，所以只需最大即可，而依题意，点在以为圆心，为半径的圆上，所以当三点共线时，且时，取最大值.【详解】过点作，垂足为，连接，可知平面，所以点到平面的距离为，由题意，，过点作平面，垂足为，因为点在平面内，且，即点在以为圆心，为半径的圆上，当三点共线时，且时，取最大值，最大值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是发现点在以为圆心，为半径的圆上，从而把的最大值问题转化为的最大值问题，由圆外一点到圆上一点的最大值问题可解.12.已知是定义在上的函数，对任意的，且，都有，且函数的图象关于点对称.若对任意的，不等式成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对称性和单调性定义可确定，为上的减函数，由此可化简不等式得到；作出可行域，根据的几何意义，结合图象可确定临界状态，从而求得结果.【详解】的图象关于点对称，关于点对称，即，等价于；由得：，为定义在上的减函数，，即，又，，当时，，即；当时，，即；由此可得可行域如下图阴影部分所示：几何意义为可行域内的点与连线的斜率，由得：，，又，，，结合图象可知：，的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质、不等式的综合应用问题，解题关键是能够根据函数奇偶性和单调性得到可行域，根据所求不等式的几何意义，结合图象来进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式的二项式系数之和是256，则_________________.【答案】8【解析】【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和等于列方程求解即得.【详解】因展开式的二项式系数之和为，解得：.故答案为：8.14.已知函数的最小值为-1，则__________.【答案】2【解析】【分析】由题意得出函数上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.【详解】当时，.因为的最小值为-1，所以函数在上取得最小值-1，则，解得.故答案为：2.15.如图，三角形数阵由一个等差数列2，5，8，11，14，…排列而成，按照此规律，则该数阵中第10行从左至右的第4个数是_________________.【答案】146【解析】【分析】先观察三角形数阵可发现，其最左边一列数构成的数列的项满足递推式，运用累加法可求出数列通项，推理即得.【详解】将三角形数阵的最左边的一列数记为数列，观察分析可得：，且.由，故，即第10行从左到右的第一个数是137，按照规律，第4个数应该是146.故答案为：146.16.已知椭圆的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与椭圆交于点（在轴上方）.若是线段的中点，则椭圆的离心率是_________________.【答案】【解析】【分析】根据中点坐标公式，结合代入法、椭圆的离心率公式进行求解即可.【详解】由题意可知，代入直线中，得，即直线的方程为，令，得，设，则有，代入椭圆方程中，得，或舍去，由，负值舍去，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是构造双齐式方程，利用配方法进行开平方运算.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角的对边分别是，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题设条件求得，即得，在三角形中即可求得角；（2）由（1）和可利用正弦定理将边分别用的三角函数表示，运用三角形面积公式，经三角恒等变换将面积表示成正弦型函数，最后结合角的范围和三角函数的图象即得.【小问1详解】由可得：，则由，又因，故得：.【小问2详解】由（1）知，又，由正弦定理可得：，则：，记的面积为，则，因，则，故，所以，面积的最大值为.18.如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.（1）证明：平面.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由且，证得平面，得，又，可证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.【小问1详解】证明：记，因为四边形是菱形，所以.又，平面，，所以平面.因为平面，所以.又，平面，且，所以平面.【小问2详解】以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则令，有，得.平面的一个法向量为.，易得二面角为锐角，故二面角的余弦值为.19.将3个数字1，2，3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依次变大.（1）求数字2填在第2个空格中的概率；（2）记数字2填在第个空格中的概率为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意第1格填1，第2格填2，从而可得概率；（2）由题意可得，再分析1和3的位置求解概率与最大值即可.【小问1详解】由题意第1格填1，第2格填2，3在第3格到99格中任意一个，所有可能的情况有种，故数字2填在第2个空格中的概率为.【小问2详解】由题意可得，且，1填在第个空格的前格中1格，3填在第个空格的后格中1格.故.当时，取得最大值，最大值为20.已知双曲线离心率为，右焦点为．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在满足【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可得解；（2）设其方程为，，设，，，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，化简，从而得到定点与定值.【小问1详解】由题意可得，所以，所以双曲线的标准方程为；【小问2详解】依题意，直线的斜率不为0，设其方程为，，代入得，设，，，则，，∴，若要上式为定值，则必须有，即，∴，故存在点满足.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数.（1）若曲线在点处的切线过点，求的值；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）求得，得到且，求得切线方程，将点代入切线方程，即可求解；（2）转化为，令，求得，令，求得是增函数，得到，再令，求得是减函数，结合，得到存在，使得，再分和，两种情况讨论，得到，令，所以是增函数，进而结合，即可求解.【小问1详解】解：由函数，可得，则且，曲线在点处的切线方程为.因为该直线过点，所以，解得.【小问2详解】解：因为，所以，且，两边平方可得，令函数，可得，令函数，可得，所以是增函数，令，可得，下面比较与的大小：令函数，，是减函数，因为，所以存在，使得当时，，即，若，可得，即.若，当时，，即；当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，且，令函数，所以是增函数，由题意可得，又因为，所以，当时，，符合题意.综上可得，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与圆交于两点，且，求的值．【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）由即可转换求解；（2）先得圆的圆心半径，结合点到直线