上海市普陀区曹杨第二中学2024届高三上学期期末数学试题（教师版）

上海市曹杨二中第一学期高三年级期末考试数学试卷班级________姓名________学号________一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1已知，则实数________．【答案】【解析】【分析】直接根据求解即可.【详解】，，解得.故答案为：.2.复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为________．【答案】【解析】【分析】设，根据复数相等可得答案.【详解】设，因为，所以，可得，解得，则z的虚部.故答案为：.3.已知，，则在上的数量投影为________．【答案】【解析】【分析】直接利用投影公式计算即可.【详解】，，则在上的数量投影为.故答案为：.4.设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为___________.【答案】【解析】【分析】根据方差的性质，若，，，的方差为，则，，的方差为，计算即得答案.【详解】根据题意，一组样本数据，，，的方差，则数据，，，的方差为；故答案为：.5.不等式的解集是__________.【答案】或}【解析】【分析】分式不等式变式成，等价于，求解即可【详解】，所以，解得或，所以不等式的解集是或}.故答案为：或}6.已知（且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为________．【答案】【解析】分析】令即可求出定点.【详解】令得，此时，所以函数的图象恒过定点，即点.故答案：.7.在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为________【答案】【解析】【分析】根据条件的变化，找出规律，根据规律可得答案.【详解】把向量顺时针旋转定角得到，得，关于轴的对称点记为，则，即把向量顺时针旋转定角得到，得，即关于轴的对称点记为，则，以此类推可得当为奇数时，，当为偶数时，，故的坐标为.故答案为：8.已知，则_______（用数字作答）．【答案】【解析】【分析】根据题意，利用赋值法分别将和代入已知式子中，得到两个方程，由这两个方程化简整理，即可求出答案．【详解】由，令得，，①令得，，②①②得，，.故答案为：.9.某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为________．【答案】【解析】【分析】设小明迟到为事件，小明自驾为事件，求出，，利用条件概率公式计算即可求出结果.【详解】设小明迟到为事件，小明自驾为事件，则，，所以在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为.故答案为：.10.已知记函数的最大值为，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】同一坐标系中画出和的图象，然后根据图象分，，讨论求解即可.【详解】设，则，即函数在上为奇函数，又当时，，当且仅当时等号成立，由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增，在上单调递减，故设，则，令，解得同一坐标系中画出和的图象如下：由图可知，当时，，当时，，当时，，综上的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于分段函数，其中每一段对应的变量范围在没有确定的情况下，需要在一个坐标系中画出每一段的完整图象，对变量的取值变化情况分析，从而得到分类的标准进行讨论.11.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线的半焦距为c，，，根据题意得，又，，设的中点为，在中，，，，则，，根据，可知，.故答案为：.12.已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】根据递推式先推出，然后分组求和可得，结合条件，通过基本不等式，二次函数的性质求的最大值.【详解】因为，所以，将代入得，所以，又，所以，所以又因为，所以，又由，，得，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，，所以当时，最大，且最大为故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件中的递推式求出数列中隐藏的等比数列，然后利用分组求和的方法进行求和.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别求得与的等价条件，从而利用充分必要条件的定义即可得解.【详解】，或，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.14.在中，，则下列说法一定正确的是（）A.若，则是锐角三角形 B.若，则是钝角三角形C.若，则是锐角三角形 D.若，则是钝角三角形【答案】D【解析】【分析】根据题中条件利用向量的数量积运算可求得，分情况考查的正负情况，转化为的正负情况，进一步分析即可.【详解】因为，即,又时，三角形一定不是直角三角形，则有，，若，则，为锐角，但是不能判断的大小，故A,B错误；当时，则，中必有一个钝角，故此时是钝角三角形，C错误，D正确，故选：D15.若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体，下列四组量中，不能作为该长方体的“基本量”的是（）A.的长度 B.的长度C.的长度 D.的长度【答案】D【解析】【分析】根据题设定义，结合长方体的体积公式、已知量判断长方体的体积是否可以确定即可.【详解】如下图，根据长方体体积公式，只需确定共顶点的三条棱长即可，已知的长度，则体积可定，A满足；由，即可求出，则体积可定，B满足；由勾股定理及可求，由勾股定理及可求，故体积可定，C满足；已知无法求出，体积不能确定，D不满足.故选：D16.设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对A、B：不妨设，可得，根据集合的定义可得Y中至少有以上5个元素，不妨设，则集合S中至少有7个元素，排除选项A，若，则集合Y中至多有6个元素，所以，排除选项B；对C：对，则与一定成对出现，根据集合的定义可判断选项C；对D：取，则，根据集合的定义可判断选项D.【详解】解：不妨设，则的值为，显然，，所以集合Y中至少有以上5个元素，不妨设，则显然，则集合S中至少有7个元素，所以不可能，故排除A选项；其次，若，则集合Y中至多有6个元素，则，故排除B项；对于集合T，取，则，此时，，故D项正确；对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误.故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知在中，．（1）求；（2）设，求边上的高．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.【小问1详解】，，即，又，，，，即，所以，.【小问2详解】由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.18.垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理得相关信息：高一年级成绩分布表等级EDCBA成绩（分数）人数123410（1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？（2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为，用频率估计概率，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）先分别求出高一，高二中抽取一人，成绩不低于90分的概率，然后利用概率的乘法公式求解即可；（2）可取的值为，分别求出其概率即可得分布列，然后根据期望公式求期望即可.【小问1详解】由已知得从高一的学生中抽取一人，成绩不低于90分的概率是，从高二的学生中抽取一人，成绩不低于90分的概率是，则从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是；【小问2详解】可取的值为，则，，，，则的分布列为所以19.如图，斜三棱柱中，底面是边长为a的正三角形，侧面为菱形，且．（1）求证：；（2）若，三棱柱的体积为24，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用棱柱的体积公式，空间向量的夹角公式进行求解.【小问1详解】取的中点，连接，由题知为正三角形，而也是正三角形，，又面，且，面，又面，；【小问2详解】，，，又，，即，又面，且，，面，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，三棱柱的体积为，，，，设平面的法向量为，则，取得，设直线与平面所成角为，则.20.已知椭圆，过点作关于轴对称的两条直线，且与椭圆交于不同两点与椭圆交于不同两点，.（1）已知经过椭圆的左焦点，求的方程；（2）证明：直线与直线交于点;（3）求线段长的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据直线的截距式方程即可求得答案.（2）设直线，则，联立直线和椭圆方程，可得根与系数关系式，化简，可证明直线经过点，同理可证直线经过点，即可证明结论.（3）表示出线段的长，结合根与系数的关系式化简并采用换元法，可得，利用函数的单调性，可求得答案.【小问1详解】的左焦点为，当过左焦点时，的方程为，即.【小问2详解】由题意知斜率存在，设直线，则，联立，消得，需满足，即，，又，，，，故点，，三点共线，即直线经过点，同理可证,即点，，三点共线，即直线经过点，故直线与直线交于点;【小问3详解】由（2）可知令，则，又由得，所以，，设，时，恒成立，在上单调递增，，，，，.【点睛】方法点睛：（1）证明直线与直线交于点时，采用证明的方法，从而证明点，，三点共线，即直线经过点，同理可证直线经过点，即可证明结论；（2）求解线段长的取值范围时，利用两点间距离公式可表示其长，解答时要结合换元法以及函数的单调性进行解答.21.已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”．（1）若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由；（2）证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有；（3）已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围．【答案】21.不是的“正向数组”；22.证明见解析；23.的取值范围是.【解析】【分析】（1）代入有，根据函数性质得到的正负时不同取值情况即可；（2）假设存在,使得,通过正向数组定义转化得对任意恒成立，设，再利用函数的性质即可证明假设不成立；（3）代入有恒成立或恒成立，设，求出是的最大值或最小值时的取值范围即可.【小问1详解】若，，对，即，而当，时，，，即，不满足题意.所以不是的“正向数组”.【小问2详解】反证法:假设存在,使得,为的“正向数组”，对任意,都有.对任意恒成立.令，则在上恒成立，，设，，则当时，在上为负，在上为正，所以在上单调递减，在上单调递增；若，当，，当，，即存在，使在上为正，在上为负，在上为正，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为；若，，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为.当时，，在上单调递增，又当，，当，，必存在，使在上为负，在上为正，所以在上单调递减，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为.由值域可看出，与在上恒成立矛盾.对任意，都有.【小问3详解】都是的“