第三章 连续时间信号与系统的频域分析 复习

第三章连续时间信号与系统的频域分析学习要点：掌握傅里叶变换分析技术和傅里叶级数分析技术的基本概念和计算，尤其要注意应用性质来计算一些常用信号的频谱熟悉时域特性与频域特性的对应关系弄清信号频谱的意义以及连续谱与离散谱的区别和联系卷积定理是系统频域分析的重要工具，要认真掌握采样定理是离散信号处理的理论基础，应领会其含义并会应用本章小结非周期信号的傅里叶变换是把信号分解为无穷多个复指数分量的连续和（积分），结果是连续谱。频谱是信号的频域描述，具有明确的物理意义。傅里叶变换具有许多性质，在计算傅里叶变换和傅里叶逆变换中有重要作用，必须熟练掌握。周期信号的频谱分析就是傅里叶级数分析，它把周期信号分解为无穷多个谐波分量之和，结果是离散谱。傅里叶系数与从周期信号单周期截取的非周期信号的傅里叶变换在各谐波频率上的采样值成正比。这是进行傅里叶级数分析的有效途径。本章小结频域分析不但可分析信号的频谱，而且可用来分析LTI系统的频域特性—频率响应、幅频特性、相频特性。并可计算卷积和计算系统的冲激响应、阶跃响应、零输入响应、零状态响应和全响应等，它也能进行系统的稳态分析和暂态分析。它要比时域分析技术简便有效得多。各元器件都有自己的频域表示模型，电路可在频域中直接进行分析。而且，频域求解电路要比时域分析技术简便有效得多。在频域中，通过分析信号通过各模块时频谱发送的变化，可有效地分析复杂系统的功能及其各模块的作用。还可通过系统方框图的概念来分析系统实现和系统模拟。本章小结采样定理是数字信号处理和数字通信的理论基础，它给出了从信号的离散样本值无失真复原信号的条件。平坦幅频特性和线性相位特性是无失真传输的条件，选频滤波器，尤其是低通滤波器在通信和电子系统中有十分重要的作用。跳变信号通过有锐截止特性的滤波器时，必然会产生吉布斯振荡。时（频）域因果性对应于频（时）域希尔伯特性，它使得因果信号的频谱实部与虚部，因果稳定信号的对数幅度譜与相位譜，还有解析信号的实部与虚部都分别构成一个希尔伯特变换对。利用此原理可实现一个滤波器的因果化和稳定化，也可实现通信系统中的单边带调制。非周期信号的频域分析傅立叶变换傅立叶变换的性质线性对称性折叠性奇偶虚实性：实偶对应实偶实奇对应虚奇尺度定理傅立叶变换的性质时域延迟性频移性（调制定理）时域微分时域积分

傅立叶变换的性质时域卷积频域卷积时域抽样频域抽样信号能量（帕塞瓦尔定理）

常用非周期信号的傅立叶变换序号213145周期信号的傅立叶变换

序号12345一般周期信号

周期信号的频域分析：指数形式傅立叶级数

其中，为相应的单周期信号的傅立叶变换周期信号频谱的特点：l

离散性l

谐波性l

收敛性周期信号的FT－离散谱周期信号的FT－离散谱周期信号的频谱是离散的，并且在的谱线强度为周期信号的FS分析步骤步1.

截取与周期信号相应的非周期信号，并计算其FT表示式；步2.

计算周期信号的后，得其指数形式的FS展开式，并计算其离散谱，画出其离散幅度谱和离散相位谱；步3.

计算周期信号的谐波形式或正余弦形式的FS展开式。抽样信号与抽样定理抽样信号：理想抽样序列：非理想抽样序列：被抽样信号及其频谱：理想抽样时非理想抽样时时域抽样定理(奈奎斯特定理)

系统传递函数

具有频谱的信号通过冲激响应为的LTI系统时，输出响应为其中，系统传递函数（又称频率响应或频率特性）是冲激响应的FT正弦信号通过LTI系统当输入

输出信号为

因果正弦信号通过LTI系统定理：当因果复正弦信号激励的LTI系统时，系统稳态响应为输出暂态响应的频谱为LTI系统的频域分析

频域分析不仅可用来分析周期信号通过LTI系统的响应，而且可用来分析系统的功能，并理解信号在通过一个大系统的各个功能部件或子系统后，信号频谱发生的变化。从系统微分方程求解系统传递函数和冲激响应使用FT可方便地从系统微分方程求解系统传递函数和冲激响应其计算步骤是：首先在输入激励为单位冲激的假设下，利用FT的微分定理对微分方程进行FT，并整理后得到系统传递函数；最后取传递函数的逆FT后，就得到系统冲激响应。傅里叶变换的因果时域微分性质傅里叶变换的因果时域微分性质：该性质不同于傅里叶变换的非因果时域微分性质之处是，考虑了因果化时初始条件的影响，因此，它可有效地用于从带有非零初始条件的微分方程求解系统的零输入响应、零状态响应和全响应。电路频域特性分析使用FT可以直接在频域分析线性电路的特性，而无需建立其微分方程线性电路的传递函数、幅频特性和相频特性首先，使用电路中各元器件的频域表示，建立频域电路图；然后，使用频域KCL、KVL等电路定律建立联立的代数方程组；最后，从中得出所需的系统传递函数，并进而分析其幅频特性、相频特性等。用频域分析计算不但可确定系统的频域特性，也可建立描述系统的微分方程，并进而计算系统的零输入响应、零状态响应和全响应。实际上频域分析也可用来分析系统的暂态响应用于计算卷积的FT法使用FT可以方便地计算卷积，这就是卷积计算的FT法，如图所示。即，首先计算两个被卷积信号的频谱，然后相乘并取逆傅里叶变换，就得到所需结果。

无失真传输无失真传输系统是具有平坦幅频特性和斜率等于延迟时间之负的线性相频特性的系统

理想低通滤波器理想低通滤波器的系统频率响应理想低通滤波器的冲激响应和阶跃响应系统因果性的必要条件—佩利-维纳准则系统因果性指的是系统冲激响应为因果信号，因果性是系统物理可实现的充要条件。佩利（Paley）和维纳（Wiener）证明了系统物理可实现的必要条件是：对于平方可积的系统函数而言，系统物理可实现的必要条件是时域因果性与频域希尔伯特性对应关系因果系统的冲激响应满足称因果系统的系统函数具有希尔伯特