新教材高中数学人教A版学案5-1-2弧度制

5.1.2弧度制[目标]1.知道弧度制；2.记住1弧度的角的概念及弧长公式、扇形的面积公式；3.能进行弧度与角度的互化．[重点]弧度与角度的互化．[难点]1弧度角的概念的理解．知识点一角的单位制[填一填](1)角度制eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1度的角：规定周角的\f(1,360)为1度的角.,定义：用度作为单位来度量角的单位制.))(2)弧度制eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的,圆心角.,记作：1rad或1弧度.,定义：用弧度作为单位来度量角的单位制.))[答一答]1．扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗？提示：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关．2．在半径不同的圆中，1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？提示：1度的角等于周角的eq\f(1,360)，该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1度的角都是相等的．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，所以该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1弧度的角都是相等的．知识点二任意角的弧度数与实数的对应关系[填一填](1)正角：正角的弧度数是一个正数．(2)负角：负角的弧度数是一个负数．(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).[答一答]3．判断下列说法是否正确：(1)在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系．(×)(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(√)(3)用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同．(×)4．角α＝6这种表达方式正确吗？提示：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省去了．知识点三角度与弧度的互化[填一填][答一答]5．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什么？提示：不能．因为角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法，应写成α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z或k·360°＋30°，k∈Z.知识点四弧度制下的弧长与扇形面积公式[填一填]扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为圆心角，则扇形弧长为l＝αR，周长为l＋2R，扇形面积S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.[答一答]6．角度制下的弧长公式和扇形面积公式是什么？与弧度制下的公式相比哪个更优化一些？提示：角度制下：弧长公式l＝eq\f(nπR,180)，扇形面积公式S＝eq\f(nπR2,360).运用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意它的前提是α为弧度制．类型一弧度制的概念[例1]有关角的度量给出以下说法：①1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)；②1rad的角等于1度的角；③180°的角一定等于πrad的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．其中正确的说法是________．[解析]由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；因为1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°≠1°，故②不正确．[答案]①③④解决概念辨析问题的关键是准确理解概念，如本题中要准确理解1弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系．[变式训练1]下列说法中，错误的是(D)A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：由弧度制的定义知D说法错误．故选D.类型二角度制与弧度制的互化命题视角1：角度制与弧度制的换算[例2]将下列角度与弧度进行互化：(1)36°；(2)－112°30′；(3)eq\f(7π,12)；(4)－eq\f(11π,5).[解](1)36°＝36×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,5)rad；(2)－112°30′＝－112.5°＝－112.5×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,8)rad；(3)eq\f(7π,12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)×\f(180,π)))°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)×180))°＝105°；(4)－eq\f(11π,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,5)×\f(180,π)))°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,5)×180))°＝－396°.将角度转化为弧度时，在把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以eq\a\vs4\al(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π))))°即可.[变式训练2](1)－630°化为弧度为－eq\f(7,2)π；(2)－eq\f(7,8)π＝－157°30′；(3)α＝－3rad，它是第三象限角．解析：(1)－630°＝－630×eq\f(π,180)＝－eq\f(7,2)π.(2)－eq\f(7,8)π＝－eq\f(7,8)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－157°30′.(3)根据角度制与弧度制的换算，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，则α＝－3rad＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(540,π)))°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．命题视角2：用弧度制表示终边相同的角[例3](1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)在[0,4π]中找出与eq\f(2π,5)角终边相同的角．[解](1)因为－1480°＝－1480×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(74,9)πrad，所以－eq\f(74,9)π＝－10π＋eq\f(16,9)π，其中α＝eq\f(16,9)π.(2)因为eq\f(2,5)π＝eq\f(2,5)×180°＝72°，所以终边与eq\f(2π,5)角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，θ＝72°＝eq\f(2π,5)；当k＝1时，θ＝432°＝eq\f(12π,5).所以在[0,4π]中与eq\f(2π,5)角终边相同的角为eq\f(2π,5)，eq\f(12π,5).用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为β＝α＋2kπk∈Z，这些角所组成的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}.[变式训练3]将下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它们是第几象限角．(1)－1725°；(2)870°.解：(1)因为－1725°＝－5×360°＋75°，所以－1725°＝－10π＋eq\f(5π,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中α＝\f(5,12)π)).所以－1725°与eq\f(5π,12)的终边相同，故－1725°是第一象限角．(2)870°＝eq\f(29,6)π＝eq\f(5π,6)＋4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中α＝\f(5,6)π))，角870°与eq\f(5π,6)终边相同，故870°是第二象限角．类型三弧长公式与扇形面积公式[例4](1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C.eq\f(2,sin1)D．2sin1(2)①已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．②已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．[分析](1)求弧长⇒圆心角和弦长⇒构造三角形⇒利用三角函数．(2)扇形圆心角的弧度数或扇形的面积⇒l＝αR或S＝eq\f(1,2)lR.[解析](1)如图，过点O作OC⊥AB于C，延长OC，交于D，则∠AOC＝∠BOC＝1rad，且AC＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△AOC中，OA＝eq\f(1,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1).∴圆心角所对的弧长l＝α·OA＝eq\f(2,sin1)，故选C.(2)解：①设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝10，①,\f(1,2)lr＝4.②))①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.当r＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8rad>2πrad(舍去)．当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)rad.②设扇形弧长为l，因为72°＝72×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,5)(rad)，所以l＝αR＝eq\f(2π,5)×20＝8π(cm)．所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)×8π×20＝80π(cm2)．[答案](1)C(2)见解析涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.[变式训练4]已知一扇形的周长为8cm，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面积．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝8，l＝8－2r，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4(0<r<4)．当r＝2时，Smax＝4cm2，此时l＝4cm，α＝2.所以当半径长为2cm，圆心角为2rad时，扇形的面积最大，最大值为4cm2.1．2100°化成弧度是(A)A.eq\f(35π,3)B．10πC.eq\f(28π,3)D.eq\f(25π,3)解析：2100°＝2100×eq\f(π,180)＝eq\f(35π,3).2．角－eq\f(29,12)π的终边所在的象限是(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：－eq\f(29,12)π＝－4π＋eq\f(19,12)π，eq\f(19,12)π的终边位于第四象限，故选D.3．与角－eq\f(π,6)终边相同的角是(C)A.eq\f(5π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(11π,6)D.eq\f(2π,3)解析：与角－eq\f(π,6)终边相同的角的集合为{α|α＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z}，当k＝1时，α＝－eq\f(π,6)＋2π＝eq\f(11π,6)，故选C.4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是2rad.解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为eq\f(4,2)＝2rad.5．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝eq\f(14π,9)，∴α＝eq\f(14π,9)＋(－3)×2π，α角与eq\f(14π,9)的终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2kπ＋α，k∈Z，α与eq\f(14π,9)终边相同，∴γ＝2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z.又∵γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,2)<2kπ＋eq\f(14π,9)<eq\f(π,2)，当k＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋eq\f(14π,9)＝－eq\f(4π,9).