新版高中数学北师大版必修5习题第三章不等式检测

第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知实数a,b,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b| B.若a>b,则1C.若|a|>b,则a2>b2 D.若a>|b|,则a2>b2解析:当a=1,b=2时,A,B,C均不成立.由不等式的性质可知D正确,故选D.答案:D2.已知m=a+1a-2(a>2),n=12x2-2(x<0),A.m>n B.m<n C.m=n D.m≤n解析:因为m=a+1a-2=(a2)+1a-2+2≥4(a>2),当且仅当a=3时,等号成立,n=12答案:A3.在R上定义运算☆,a☆b=ab+2a+b,则满足x☆(x2)<0的实数x的取值范围为()A.(0,2) B.(2,1)C.(∞,2)∪(1,+∞) D.(1,2)解析:根据定义,得x☆(x2)=x(x2)+2x+(x2)=x2+x2<0,解得2<x<1,所以实数x的取值范围为(2,1),故选B.答案:B4.若不等式13x2-2ax<33A.0<a<1 B.a>34 C.0<a<34 D.解析:由题意,得x2+2ax<3x+a2恒成立,即x2+(32a)x+a2>0恒成立.所以Δ=(32a)24a2<0,解得a>34答案:B5.已知▱ABCD的三个顶点为A(1,2),B(3,4),C(4,2),点(x,y)在▱ABCD的内部,则z=2x5y的取值范围是()A.(14,16) B.(14,20)C.(12,18) D.(12,20)解析:如图所示,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=又AB=(4,2),∴D(0,4).作直线l0:2x5y=0,平移l0,当直线过点D(0,4)时,z取得最大值20,过点B(3,4)时,z取得最小值14.答案:B6.直线3x+2y+5=0把平面分成两个区域,下列各点与原点位于同一区域的是()A.(3,4) B.(3,4)C.(0,3) D.(3,2)解析:当x=y=0时,3x+2y+5=5>0,故原点一侧的平面区域对应的不等式是3x+2y+5>0,可以验证,仅有点(3,4)的坐标满足3x+2y+5>0.答案:A7.设变量x,y满足约束条件x+2≥0,x-y+3≥0,2A.3 B.4 C.18 D.40解析:画出题中约束条件满足的可行域,如图中阴影所示,将目标函数化为y=16x+z6,结合图像可知,当目标函数线平移到过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为18.故选答案:C8.某产品的总成本y(单位:万元)与产品产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20x0.1x2,其中x∈(0,240),若每台产品的售价是25万元,则生产者不亏本(即销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A.100台 B.120台 C.150台 D.180台解析:由已知得25x≥3000+20x0.1x2,解得x≥150.答案:C9.若1a<1b①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ba+a其中正确的是()A.①② B.②③ C.①④ D.③④解析:因为1a<1b<所以a+b<0<ab,|b|>|a|,故③不正确,①正确,②不正确;由b<a<0,得ba>0,ab>0,且故ba+ab>2,答案:C10.当点(x,y)在直线x+3y=2上移动时,z=3x+27y+1的最小值是()A.339 B.7C.1+22 D.6解析:z=3x+27y+1≥23x·27y当且仅当3x=27y,即x=1,y=13时,等号成立答案:B11.设a>b>0,则a2+1ab+1aA.1 B.2 C.3 D.4解析:a2+1ab+1a(a-b)=a2+1b(a-b)≥a2+4a2≥4,当且仅当b=ab答案:D12.设m>1,在约束条件y≥x,y≤mx,x+y≤1下A.(1,1+2) B.(1+2,+∞)C.(1,3) D.(3,+∞)解析:如图画出可行域,将目标函数化为y=1mx+zm,结合图形可以看出当直线y=1mx+zm经过直线y=mx与x+y=1由y将其代入目标函数得zmax=1+m由题意可得1+m2又m>1,所以1<m<1+2.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.不等式xx2>0的解集是.

解析:原不等式等价于x2x<0,解得0<x<1.答案:{x|0<x<1}14.某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.那么这种汽车使用年时,它的平均费用最少.

解析:设使用x年平均费用最少,由年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,可知汽车年维修费构成首项为0.2万元,公差为0.2万元的等差数列.因此,汽车使用x年总的维修费用为0.2+0.2x2x则有y=10+0=10+=1+10x+x10≥1+2当且仅当10x=x10,即x=10时答案:1015.设集合A={x|x22x3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B=(3,4],则a+b=.

解析:∵A={x|x<1或x>3},且A∪B=R,A∩B=(3,4],∴B={x|1≤x≤4},即1,4是方程x2+ax+b=0的两根.∴-∴a∴a+b=7.答案:716.若x,y满足x+y≤6,答案:5三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设ƒ(x)=16xx2+8(1)求ƒ(x)的最大值;(2)证明:对任意实数a,b,恒有ƒ(a)<b23b+214(1)解:f(x)=16xx2+8=16当且仅当x=8x,x>0,故ƒ(x)的最大值为22.(2)证明:b23b+214=当b=32时,b23b+214有最小值由(1)得,ƒ(a)有最大值22,∵22<3,∴对任意实数a,b都有ƒ(a)<b23b+21418.(12分)已知不等式mx2+nx1m<0的解集为x(1)求m,n的值;(2)解关于x的不等式:(2a1x)(x+m)>0,其中a是实数.解:(1)依题意,得m解得m=1,n=32(2)原不等式为(2a1x)(x1)>0,即[x(2a1)](x1)<0.当2a1<1,即a<1时,不等式的解集为{x|2a1<x<1};当2a1=1,即a=1时,不等式的解集为⌀;当2a1>1,即a>1时,不等式的解集为{x|1<x<2a1}.综上所述,当a<1时,原不等式的解集为{x|2a1<x<1};当a=1时,原不等式的解集为⌀;当a>1时,原不等式的解集为{x|1<x<2a1}.19.(12分)已知α,β是方程x2+ax+2b=0的两根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a,b∈R,求b-3解:∵α∵0≤α≤1,1≤β≤2,∴1≤α+β≤3,0≤αβ≤2.∴-建立平面直角坐标系aOb,则上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.令k=b-3a-1,可以看成动点P(a,b)与定点A(1,3)的连线的斜率.取B(1,0),C(3,1),则kAB=32,kAC=12,所以12≤20.(12分)关于x的不等式(m22m3)x2(m3)x1<0对一切实数x恒成立,求m的取值范围.解:当m22m3=0时,m=1或m=3.当m=3时,1<0恒成立,符合题意,故m=3;当m=1时,4x1<0不恒成立,故m≠1.当m22m3≠0时,有m解得-1<m<3,综上所述,m的取值范围为m-21.(12分)长江三峡水利枢纽是世界上最大的水利枢纽工程,它的建成极大地缓解了华中和华东地区的电力紧张态势.2003年8月长江三峡电厂四台机组开始发电,每台机组日最大发电量为0.168亿千瓦时,每千瓦时电输送成本为0.32元;与此同时长江葛洲坝电厂有八台发电机组发电,每台机组日最大发电量为0.12亿千瓦时,每千瓦时电输送成本为0.35元,随着经济的发展,江浙地区的日均电需求量至少为1.35亿千瓦时.(1)假设你是一位电力调度总指挥,请你设计出长江电力总公司的两大电厂每天各机组的发电输送方案.(2)假设电力调度总指挥安排三峡电厂x台机组,葛洲坝电厂y台机组发电输送到江浙地区,长江电力总公司电力输送成本为z亿元,写出x,y应满足的条件以及z,x,y之间的函数关系式.(3)假设你是长江电力总公司的总经理,为使公司电力输送的成本最小,每天应如何安排两大电厂的机组发电输送,才能满足江浙地区用电的日均需求量?解:(1)根据题意,设计两大电厂每天各机组的发电输送方案如下:方案三峡/台葛洲坝/台日最大发电量/亿千瓦时1481.6322471.5123461.3924381.464(2)x,y应满足的条件为0目标函数为z=0.32×0.168x+0.35×0.12y.(3)将上述4种方案中所对应的4个点(4,8),(4,7),(4,6),(3,8)代入,可知当点的坐标为(4,6),即采取方案3时,输送成本最低.22.(12分)“福星花园”小区为了居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域,计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为4200元/m2,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地面,造价为210元/m2,再在四个空角上铺草坪,造价为80元/m2.(1)设总造价为