专题10空间角与空间距离的综合（原卷版）

专题10空间角与空间距离的综合知识点1线线角的定义与求解线线角主要是求异面直线所成角。1、线线角的定义：①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角)②范围：2、求异面直线所成角一般步骤：（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．3、三种平移产生①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．知识点2线面角的定义与求解1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]2、垂线法求线面角（也称直接法）：（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3、公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。公式为：sinθ=hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，知识点3二面角1、二面角的概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

2、二面角的平面角的概念平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。3、二面角的大小范围：[0°，180°]知识点4确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。（2）具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。4、射影面积法求二面角（1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。（2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。ABDC证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD.ABDC于，，在内的射影为.又，（三垂线定理的逆定理）.为二面角—BC—的平面角.设△ABC和△的面积分别为S和，，则..考点1求直线与直线所成角【例1】（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，则异面直线与所成的角的大小为__________.【变式11】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在中，，斜边AB=4，D是AB的中点；现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且；（1）求该圆锥的全面积和体积；（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值；【变式12】（2023春·全国·高一专题练习）在三棱锥A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【变式13】（2021秋·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（）A．B．C．D．【变式14】（2023·高一单元测试）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点2求直线与平面所成角【例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【变式21】（2023春·高一课时练习）如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（）A．B．C．D．【变式22】（2023·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为2．（1）求直线和平面ABCD所成角的大小；（2）求直线和平面ABCD所成角的正切值．【变式23】（2022·高一课时练习）如图所示，．在平面内，是的斜线，．求与平面所成的角．【变式24】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且.（1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线与平面所成的角的正切值.考点3求平面与平面所成角【例3】（2023春·全国·高一专题练习）已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．【变式31】（2023春·全国·高一专题练习）正方体中，为棱的中点，求平面和平面夹角的余弦值.【变式32】（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱柱中，，截面侧面.（1）求证：；（2）若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数.【变式33】（2023·全国·高一专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．【变式34】（2022春·河北唐山·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M为AD的中点且.（1）证明：；（2）若，求二面角的平面角的正切值.考点4求点到直线的距离【例4】（2023·全国·高一专题练习）等于90°的二面角内有一点，过有于点，于，如果，则到的距离为（）A．B．C．D．【变式41】（2023春·全国·高一专题练习）在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，点E为棱PC的中点，则点E到PB的距离为（）A．B．C．D．【变式42】（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为1的正方体中，点A到直线BD1距离是（）A．B．C．D．【变式43】（2022春·河北张家口·高一校联考阶段练习）已知菱形边长为，对角线与交于点，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，则折后点到直线距离的最大值为（）A．B．C．D．考点5求异面直线间的距离【例5】（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（）A．2B．1C．D．【变式51】（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（）A．B．C．D．【变式52】（2023·高一课时练习）已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离．【变式53】（2023·高一课时练习）空间四边形中，，，，，，求异面直线和的距离．【变式54】（2022春·北京延庆·高一统考期末）如图，已知直三棱柱中，，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（）A．B．C．D．考点6求点到平面的距离【例6】（2023春·全国·高一专题练习）棱长为1正方体中，E为的中点，则E到面的距离（）A．B．C．D．【变式61】（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（）．A．B．C．3D．【变式62】（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，，，，，，则点P到平面ABCD的距离为（）A．B．C．2D．【变式63】（2023春·浙江台州·高一台州一中校考期中）如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为.（1）求证：平面；（2）若的面积是，求点到平面的距离.【变式64】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面是一个平行四边形，底面，，点是的中点，，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.考点7求直线到平面的距离【例7】（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，..则直线与平面的距离为（）A．B．C．D．【变式71】（2022春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．1【变式72】（2023春·全国·高一专题练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．【变式73】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中点为F.（1）求证：平面；（2）求直线到面的距离.考点8求平面到平面的距离【例8】（2023·全国·高三专题练习）如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，.固定容器底而一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，，，四点，则的值为（）A．B．C．D．【变式81】（2023春·全国·高一专题练习）某中学开展劳动实习，对棱长为3的正方体木块进行加工.如图，学生需要分别过顶点A和对角线BD对正方体木块进行平面切割，两个切割面与棱，，，分别交于点M，F，E，N，要求两次切割所得到的截面平行，且，则两个截面间的距离为_____________.【变式82】（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面之间的距离．【变式83】（2021·高一课时练习）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的距离．1．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．2．（2023春·全国·高一专题练习）如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=A1A=2,M､N分别是BB1和B1C1的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．3．（2023春·全国·高一专题练习）在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．4．（2023春·全国·高一专题练习）直三棱柱中，若，，，是棱上的中点，则点到平面的距离是（）A．1B．C．D．5．（2022春·北京大兴·高一统考期末）如图，在正方体中，是棱的中点.令直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A．B．C．D．6．（2022春·江苏淮安·高一马坝高中校考阶段练习）如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，截得.若，则二面角的平面角的大小为（）A．B．C．D．7．（2023·全国·高一专题练习）（多选）如图，平面，正方形边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当时，则（）A．B．C．若PA=1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为D．若PA=1，则直线PE与平面所成角为8．（2023·全国·高一专题练习）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳌臑.”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，在阳马中底面是边长为1的正方形，，侧棱垂直于底面，则（）A．直线与所成的角为60°B．直线与所成的角为60°C．直线与平面所成的角为30°D．直线与平面所成的角为30°9．（2022·全国·高一专题练习）（多选）如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把三角形ABC折起来，则（）A．在折起的过程中始终有AD⊥平面DB′CB．三棱锥A－DB′C的体积无最大值C．当∠B′DC＝60°时，点A到B′C的距离为D．当∠B′DC＝90°时，点C到平面ADB′的距离为10．（2022·高一课时练习）在中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．11．（2023·高一课时练习）边长为1的两个正方形和构成大小为的二面角，则异面直线和之间的距