2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 基本计数原理的简单应用 课件31张

课程标准1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能根据实际问题的特征,正确选择基本计数原理解决实际问题.基础落实·必备知识全过关知识点

分类加法计数原理与分步乘法计数原理根据问题情况合理选择两种原理1.两个原理的内容原理名称分类加法计数原理分步乘法计数原理任务完成一件事步骤完成它有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法完成它需要经过n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法结果完成这件事共有

种不同的方法

完成这件事共有

种方法

m1+m2+…+mn

m1·m2·…·mn2.两个计数原理的区别与联系

原理名称分类加法计数原理分步乘法计数原理联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理,解决的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题区别一分类加法计数原理针对的是“分类”问题分步乘法计数原理针对的是“分步”问题区别二各种方法互相独立各个步骤互相依存区别三任何一种方法都可以完成这件事只有各个步骤都完成才算完成这件事名师点睛分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类标准,然后在这个标准下进行分类.一般地,标准不同,分类的结果也不同.分步时,首先确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同.对于较复杂问题,往往要先分类,后分步.过关自诊1.[人教A版教材习题]现有高一年级的学生3名,高二年级的学生5名,高三年级的学生4名.(1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法?

(2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法?提示

(1)“从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动”,不同的选法有3+5+4=12(种).(2)要完成的一件事情是“从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动”,不同选法有3×5×4=60(种).2.[人教A版教材习题]在1,2,…,500中,被5除余2的数共有多少个?提示

被5除余2的数的末位是2或7,在1,2,…,500中符合题意的数分为3类:第1类:一位数,只有2,7两个数;第2类:两位数,个位数有2,7两种取法,十位数有9种取法,共有2×9=18(个)数;第3类:三位数,个位数有2,7两种取法,十位数有10种取法,百位数可以为1,2,3,4,共4种取法,所以共有2×10×4=80(个)数.由分类加法计数原理,在1,2,…,500中,被5除余2的数共有2+18+80=100(个).3.[人教A版教材习题](1)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,不同报法的种数是34还是43?(2)3个班分别从5个景点中选择一处游览,不同选法的种数是35还是53?提示

(1)一件事情是“4名同学分别参加3个运动队中的一个,每人限报其中的一个运动队”,应该是人选运动队,完成“这件事”是指给4名同学逐一选择运动队,分四步完成.根据分步乘法计数原理,不同报法种数是3×3×3×3=34.(2)一件事情是“3个班分别从5个景点中选择一处游览”,应该是班选景点,完成这件事需分三步,根据分步乘法计数原理,不同的选法种数是53.重难探究·能力素养全提升探究点一排数问题【例1】

用0,1,2,3,4五个数字:(1)可以排成多少个三位数的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被2整除且无重复数字的三位数?解

(1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125(种)排法.(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有4×5×5=100(种)排法.(3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3=12(种)排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3=18(种)排法.因而有12+18=30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.变式探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数?解

完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第二步定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个,有3种方法;第三步,第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法,再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×2=36(个).规律方法

对于组数问题,应掌握以下原则:(1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.变式训练1(1)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有

个.(用数字作答)

14解析

因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意,所以符合题意的四位数有24-2=14(个).(2)我们把各数位上数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013),则“六合数”中首位是2的有

个.

15解析

设满足题意的“六合数”为“2abc”,则a+b+c=4,于是满足条件的a,b,c可分以下四种情况:①一个为4,两个为0,共3种;②一个为3,一个为1,一个为0,共有3×2×1=6(种);③两个为2,一个为0,共有3种;④一个为2,两个为1,共有3种.则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15个.探究点二抽取(分配)问题【例2】

3个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?解

(方法一)(以小球为研究对象)分三步来完成:第一步:放第一个小球有5种选择;第二步:放第二个小球有4种选择;第三步:放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得总方法数N=5×4×3=60.(方法二)(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5,分成以下10类,第一类:空盒子标号为(1,2),放小球的方法有3×2×1=6(种);第二类:空盒子标号为(1,3),放小球的方法有3×2×1=6(种);第三类:空盒子标号为(1,4):放小球的方法有3×2×1=6(种);分类还有以下几种情况:空盒子的标号分别为(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),每一类都有6种方法.共有10类,根据分类加法计数原理得总方法数N=6×10=60.规律方法

计数问题常用技巧

变式训练2将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到A,B两家医院(每人去一家,每家医院至少安排1人),且甲医生不安排在A医院,则共有

种分配方案.

7解析

根据题意,甲医生不安排在A医院,则甲只能去B医院,则分3类:①甲单独在B医院,则剩下3人去A医院,有1种安排方法;②甲和其中1人在B医院,则剩下2人去A医院,有3种安排方法;③甲和其中2人在B医院,则剩下1人去A医院,有3种安排方法,则一共有1+3+3=7(种)分配方案.探究点三涂色问题【例3】

将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?1234解

第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12(种)不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×12×3=180(种)不同的涂法.②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180+80=260(种)不同的涂法.变式探究本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则共有多少种不同的涂法?①②④③解

依题意,可分两类情况:①④不同色;①④同色.第一类:①④不同色,则①②③④所涂的颜色各不相同,我们可将这件事情分成4步来完成.第一步涂①,从5种颜色中任选一种,有5种涂法;第二步涂②,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第三步涂③与第四步涂④时,分别有3种涂法和2种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法为5×4×3×2=120(种).第二类:①④同色,则①②③不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.第一步涂①④,有5种涂法;第二步涂②,有4种涂法;第三步涂③,有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有5×4×3=60(种).综上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(种).规律方法

1.涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,但是不相邻的区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图形很不规则,往往从某一块出发进行分步涂色,从而选用分步乘法计数原理;如果图形具有一定的对称性,那么先对涂色方案进行分类,每一类再进行分步.2.把涂色问题转化为两个基本计数原理的综合应用,体现了数学抽象的核心素养.变式训练3现有5种不同的颜色,给四棱锥P-ABCD的五个顶点涂色,要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同,一共有

种方法.

420解析

涂顶点P,有5种方法;在底面的四个点中,有4种颜色可选,选不相邻的两个涂色:若同色,则涂底面的方法有4×3×3=36(种);若异色,则涂底面的方法有4×3×2×2=48(种);由分步乘法计数原理可得涂色方法有5×(36+48)=420(种).探究点四种植问题【例4】

将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同的种植方法共有

种.

42解析

分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c:abc(2)若第三块田放a:第四块有b或c两种方法,①若第四块放c:第五块有2种方法;②若第四块放b:第五块只能放c,共1种方法.综上,共有3×2×(2×2+2+1)=42(种