6.3二项式定理（原卷版）

6.3二项式定理考法一二项式的展开式【例11】（2023上·高二课时练习）求的展开式．【例12】（2023·黑龙江）（

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【一隅三反】1．（2023·甘肃）若对，恒成立，其中，则（

）A． B．0 C．2 D．32．（2023·安徽安庆）如果，则.（2023·高二课时练习）（1）求的展开式（2）求的展开式；（3）化简．考法二二项式指定项的系数【例21】（2024·四川绵阳）的展开式中，x的系数为（

）A． B． C．5 D．10【例22】．（2024·湖南）二项式的展开式中常数项为（

）A． B． C． D．【例23】（2024·云南）写出展开式中的一个有理项为.【一隅三反】1．（2024·河南）展开式中的常数项为（

）A．672 B． C． D．53762．（2024安徽）展开式中含项的系数为，则实数a的值为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·模拟预测）的展开式中，有理项是第项．考法三两个二项式乘积的系数【例31】（2024·广东广州）在展开式中的系数为（

）A． B．0 C．1 D．2【例32】（2023·全国·模拟预测）的展开式中的系数为，则实数（

）A．2 B．1 C． D．【一隅三反】1．（2023·湖北）若的展开式中的的系数为，则实数（

）A．8 B．7 C．9 D．102．（2024·广东·）的展开式中的系数为.3．（2024·山东滨州）的展开式中的系数为．（用数字作答）考法四三项式指定项的系数【例41】（2023·全国·校联考模拟预测）在的展开式中常数项为（

）A．721 B．61 C．181 D．59【例42】（2023·广东广州）的展开式中的系数为（用数字作答）.【一隅三反】1（2023上·高二课时练习）的展开式中的系数为．2．（2024·福建）的展开式中，常数项为（

）A． B． C．70 D．723．（2023上·河北唐山）的展开式中的系数为（

）A．208 B． C．217 D．考法五（二项式）系数的最值【例51】（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在二项式的展开式中，二项式系数最大的是（

）A．第3项 B．第4项C．第5项 D．第3项和第4项【例52】（2023·四川雅安）的展开式中，系数最小的项是（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项【一隅三反】1．（2022·重庆）（多选）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项2．（2024·海南）在的二项展开式中，系数最大的项为和，则展开式中含项的系数为．3．（2023·上海嘉定）已知的二项展开式中系数最大的项为．4．（2023·上海）二项式的展开式中，系数最大的项为．考法六（二项式）系数和赋值法【例61】（2023·广东佛山）（多选）已知，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．【例62】（2023·广东佛山）（多选）若，其中为实数，则（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·河北）（多选）若，则（

）A．B．C．D．2．（2023·江苏扬州·高二统考期中）（多选）的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（

）A．第项的二项式系数最大 B．所有奇数项二项式系数的和为C． D．3．（2024·黑龙江·高二校联考期末）（多选）若，其中为实数，则（

）A． B．C． D．考法七余数与小数【例71】（2023下·河南郑州·高二校联考期中）除以所得的余数是.【例72】．（2023·高二课时练习）将精确到0.01的近似值是．【一隅三反】1．（2023安徽）1.028的近似值是.(精确到小数点后三位)2．（2023上·河北）除以1000的余数是．3．（2023下·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校考阶段练习）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过天后是（

）A．星期日 B．星期一 C．星期三 D．星期四4.（2024·甘肃武威）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：天干：甲

乙

丙

丁

戊

己

庚

辛

壬

癸地支：子

丑

寅

卯

辰

巳

午

未

申

酉

戌

亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023年是癸卯年，则年以后是年.考法八杨辉三角的应用【例8】（2023·广东广州）（多选）我国南宋数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.该表蕴含着许多的数学规律，下列结论正确的是（

）第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行1

6

15

20

15

6

1……

……A．B．，，，C．从左往右逐行数，第项在第行第个D．第行到第行的所有数字之和为【一隅三反】1．（2023·山东青岛·高二校联考期中）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（

）A．B．第2023行的第1012个和第1013个数最大C．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：32．（2024上·江西·高二校联考期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（

）A． B． C． D．3．（2023上·湖北）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为（

）A． B． C． D．单选题1．（2023·四川南充）二项式的展开式中常数项为（

）A． B．60 C．210 D．2．（2023·河北）若，则（）A．1 B．0 C． D．3．（2024上海）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项 B．7项 C．5项 D．6项4．（2023安徽省）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（）A． B． C． D．75．（2023安徽）展开式中的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．356．（2023下·四川达州·高二统考期末）的展开式中，的系数为（

）A．20 B． C． D．157．（2023云南）在的二项展开式中，系数最大的是第（）项A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·江西赣州·）在的展开式中，下列说法不正确的是（

）A．不存在常数项 B．所有二项式系数的和为32C．第3项和第4项二项式系数最大 D．所有项的系数和为1多选题9．（2024·辽宁辽阳）若展开式的二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（

）A．该展开式中共有6项 B．各项系数之和为1C．常数项为 D．只有第4项的二项式系数最大10．（2023·辽宁朝阳）已知2，n，8成等差数列，则在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．二项式系数之和为32 B．各项系数之和为1C．常数项为40 D．展开式中系数最大的项为80x11．（2022上·辽宁本溪·高二校考期末）若，则（

）A． B．C． D．12．（2023下·河北沧州·高二统考期中）已知，则（

）A． B．C． D．填空题13．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知，则的值为．14．（2023下·山西吕梁·高二统考阶段练习）被4除的余数为.15．（2023·北京）的展开式中常数项为．（用数字作答）16．（2023上·山东·高二校联考阶段练习）展开式中各项的系数可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其性质是以下各行每个数是它正上方和左､右两边三个数的和（不足3个数时，用0补上），则的展开式中，项的系数为.解答题17．（2023·广东梅州）在二项式的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有偶数项系数之和；(4)系数绝对值之和.18．（2023·全国·高二随堂练习）（1）求的展开式中的常数项；（2）若的展开式中的系数为，求a的值；（3）求的展开式中的常数项；（4）若的展开式中各项系数之和为128，求展开式中的系数．19．（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．已知（），且的二项展开式中，____．(1)求的值；(2)①求二项展开式的中间项；②求的值．20．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）在的展开式中，把叫做三项式的次系数列．(1)求的值；(2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开，可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，求的值．21．（2023北京）在中，把叫做三项式系数．（1）当时，写出三项式系数的值；（2）的展开式中，二项式系数可用杨辉三角表示，如图：第1行

1

1第2行