5.1.3数据的直观表示（原卷版）

5.1.3数据的直观表示TOC\o"13"\h\z\u题型1柱形图 5题型2折线图 10题型3扇形图 14题型4茎叶图 20题型5频数分布直方图与频率分布直方图 24题型6频率分布折线图 29知识点一.柱形图（条形图）1.定义：一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的.图形：3.特点：可以形象地比较各种数据之间的数量关系，看出各个数据的大小，易于比较数据之间的差别知识点二.折线图1.定义：一般地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示2.图形：3.特点：不但可以表示数量的多少，而且还能表示出数量增减变化情况知识点三.扇形图(饼图、饼形图)1.定义：一般地，扇形图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数2.图形：3.特点：不但可以直观地看出数量的大小关系，还可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系知识点四.茎叶图1.茎：若是两位数，则中间的一列为十位上的数字2.叶：从茎的旁边生长出来的表示个位上的数字3.优点：①茎叶图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到②茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示注意∶1.制作有关两位数的茎叶图的方法是∶将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出。2.利用茎叶图分析数字特征：（1）将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小（或从小到大）顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征。（2）从茎叶图中还可以看出一组数的分布情况，从而可以得到一些额外的信息。（3）比较两组数据的集中或分散程度（4）特征：所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列知识点五.频数分布直方图与频率分布直方图1.频数与频率（1）频数∶在一组数据中，数据出现的次数称为频数，某个区间内的数据的个数称为区间对应的频数.（2）频率∶在一组数据中，数据的频数与这组数据总个数的比称为频率，区间对应的频数与这组数据总个数的比称为区间对应的频率.2.频数分布直方图∶频数分布直方图的横坐标表示所研究数据的类型，纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比。3.频率分布直方图∶频率分布直方图的横坐标表示所研究数据的类型。纵坐标是频率组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为__1_。4.频数分布直方图与频率分布直方图的画法∶（1）找出最值，计算极差；（2）合理分组，确定区间；（3）整理数据；（4）作出有关图示.5.频数分布直方图与频率分布直方图的对比：（1）频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；（2）频率分布直方图的纵坐标是频率组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1.6.频率分布表的理解由频率的定义不难得出，各组数据的频率之和为1，因为各组数据的个数之和等于样本容量.在列频率分布表时，可以利用这种方法检查是否有数据的丢失.因此表格最后一行可加上“合计”.7.频率分布直方图的理解（1）每一组数对应的矩形高度是频率组距，而不是（2）因为小矩形的面积=组距×频率组距=率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.（3）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和等于1.知识点六.频数分布折线图和频率分布折线图把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的中点用线段连接起来，且画成与横轴相交.理解：如果样本容量无限增大，分组组距无限缩小，那么，频数分布折线图与频率分布折线图，就可以用一条光滑的曲线来描绘。知识点七.四种统计图表的比较1.当数据量很大时，一般选用柱形图，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各个区间的具体数目，但是柱形图会损失数据的部分信息.2.折线图能够表现出数据的变化趋势，但不能直观反映数据的分布情况.3.扇形图可以直观地反映出各种情况所占的比例，但是看不出具体数据的多少.4.茎叶图可以动态地表现数据的分布特征，但不适合数据量比较大的情况.题型1柱形图【例题1】（2020下·高一课时练习）如图是某商城中A，B，C三种品牌的各季度销量的百分比条形图，根据该图，以下结论中一定正确的是（

）A．四个季度中，每季度B品牌和C品牌总销量之和均不低于A品牌的销量B．B品牌第二季度的销量小于第三季度的销量C．第一季度销量最大的为C品牌，销售最小的为B品牌D．A品牌的全年销售量最大【变式11】1．（2021下·广东东莞·高一统考期末）某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（

）A．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人B．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人C．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人D．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多【变式11】2．（多选）（2023下·新疆省直辖县级单位·高一校联考期末）某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示．该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%A．该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在30,60内的学生人数占70B．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在60,80内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在60,80内的学生人数的2倍还多C．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在50,60内D．相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加【变式11】3．（2021·云南省元谋县第一中学）空气质量指数(AQI)是描述空气清洁或者污染的程度，是对二氧化硫、二氧化氮、PM10、PM2.5、一氧化碳和臭氧这6项污染物的统一评价.AQI在(0,50]空气为优，在(50,100]空气为良，在(100,150]为轻度污染，在(150,200]为中度污染，在(200,300]为重度污染，300以上为严重污染.如图为我国34个省级行政区某日的AQI数据条形图.给出下列结论：①当日超过半数以上的省级行政区空气为良；②当日省级行政区空气被污染的比例超过20%；③当日我国各省级行政区AQI的平均值小于100(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).其中正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式11】4．（2021·全国·高一专题练习）如图是某商城中A，B，C三种品牌的各季度销量的百分比条形图，根据该图，以下结论中一定正确的是（

）A．四个季度中，每季度B品牌和C品牌总销量之和均不低于A品牌的销量B．B品牌第二季度的销量小于第三季度的销量C．第一季度销量最大的为C品牌，销售最小的为B品牌D．A品牌的全年销售量最大题型2折线图【例题2】（2023·全国·高一专题练习）为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00各自的点击量，统计数据如下：甲网站：28，20，38，41，55，24，64，52，66，70，67，72，73，58；乙网站：5，12，21，14，36，37，19，42，54，45，42，6，61，71.下列使用的统计图最方便调查的是（

）A．折线图 B．条形图C．扇形图 D．频率分布直方图【变式21】1．（2022·高一课时练习）某股票近10个交易日的价格见下表．天数12345678910股价/元4.324.184.284.344.304.454.514.484.524.55下列统计图中，表示上面的数据较合适的是（

）A．频数直方图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．条形统计图【变式21】2．（2023上·湖南邵阳·高一校考期中）近五年来，国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如：2017年12月与2016年12月相比较；同比增长率=（本期数同期数）÷同期数×100%环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2017年12月与2017年11月相比较：环比增长率=（本期数一上期数）÷上期数×100%根据上述信息，下列结论中错误的是（

）A．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌B．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大C．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌D．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大【变式21】3．（2023下·浙江台州·高一温岭中学校考期末）PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：PM2.5日均值在35μg/m3以下，空气质量为一级；PM2.5日均值在35∼75μg/m3，空气质量为二级；PM2.5日均值超过A．这10天日均值的80%分位数为60C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差 D．这10天的日均值的中位数为41【变式21】4．（多选）（2023下·河南安阳·高一林州一中校考期末）某商店为了解该店铺商品的销售情况，对某产品近三年的产品月销售数据进行统计分析，绘制了折线统计图，如图．下列结论正确的有（

）A．该产品的年销量逐年增加B．该产品各年的月销量高峰期大致都在8月C．该产品2019年1月至12月的月销量逐月增加D．该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳题型3扇形图【例题3】（2022下·云南昆明·高一统考期末）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale18201910）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是（

）A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B．2016年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多C．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍D．2016年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增【变式31】1．（多选）（2023下·山西朔州·高一统考期末）某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法不正确的是（

）A．甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数B．甲班平均成绩高于乙班平均成绩C．甲班学生比乙班学生发挥稳定D．甲班不及格率高于乙班不及格率【变式31】2．（多选）（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考阶段练习）小张于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小张选择了10年期的等额本息的还贷方式（每月还款数额相等），2021年底贷款购置了一辆小汽车，且截至2022年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2022年小张的家庭的各项支出占家庭收入的比例分配图．根据以上信息，判断下列结论中正确的是（

）A．小张一家2022年的家庭收入比2018年增加了1倍B．小张一家2022年用于娱乐的支出费用为2018年的5倍C．小张一家2022年用于饮食的支出费用小于2018年D．小张一家2022年用于车贷的支出费用小于2018年用于饮食的支出费用【变式31】3．（2020·高一课时练习）图是A，B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图：（1）从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？（2）已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件，收到的书法作品比B学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？【变式31】4．（多选）（2021·黑龙江·哈九中）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（

）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指19801989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D．互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多题型4茎叶图【方法总结】茎叶图的统计意义茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来表示单组数据．茎叶图反映数据的大致集中趋势，并能直接得到中位数（一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，位于中间位置的数或中间两个数的平均数，称为该组数据的中位数），对数据的稳定性作出判断.【例题4】（2023·高一课时练习）2017年2月20日，摩拜单车在济南推出“做文明骑士，周一摩拜单车免费骑”活动.为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小时内骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该组数据的方差为（

）A．9 B．4 C．3 D．2【变式41】1．（多选）（2021上·高一单元测试）如图是某电视台主办的歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个），则下列结论不正确的是（）A．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等B．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高C．甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低D．甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高【变式41】2．（2022·全国·高一课时练习）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的软件App层出不穷．为调查某两家订餐软件的商家的服务情况，统计了它们订餐“送达时间”（时间：分钟），得到茎叶图如图所示，则______更稳定．（填写“甲App”或“乙App”）【变式41】3．（2021·全国·高一专题练习）某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，从甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示如图所示.若x甲，x乙分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的平均分，s甲，s乙分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则x甲________x【变式41】4．（2022下·贵州遵义·高一遵义四中校考期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成甲、乙两组，每组10人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．工人完成生产任务的工作时间（单位：min）如下：甲：81，84，79，85，78，93，86，92，87，85；乙：71，86，94，79，84，93，79，91，78，95．(1)根据工人完成生产任务的工作时间绘制茎叶图；(2)从统计学角度，判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由．题型5频数分布直方图与频率分布直方图【方法总结】列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，；③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组．④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率组距【例题5】（2022·天津河北·高三期中）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组得到如下频率分布直方图，则直方图中x的值为（

）A．0.007 B．0.0075 C．0.008 D．0.0085【变式51】1．（2023下·山西吕梁·高一校联考阶段练习）唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中，随机抽取100件工艺品测得其质量指标数据，将数据分成以下六组40,50、50,60、60,70、⋯、90,100，得到如下频率分布直方图.(1)求出直方图中m的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该厂所生产的工艺品的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；(3)现规定质量指标值小于60的为二等品，质量指标值不小于60的为一等品.已知该厂某月生产了10000件工艺品，试利用样本估计总体的思想，估计其中一等品和二等品分别有多少件.【变式51】2．（2023下·四川凉山·高一统考期末）今年因干旱西昌邛海水位比常年下降约一米，某校校本课程安排同学制定合理的节水方案，对西昌市城区常住居民用水情况进行了抽样调查，该同学获得了西昌市城区常住属民去年100个家庭的月均用水量（单位：吨），将数据按照1.0,1.5,(1)求直方图中a的值；(2)估计西昌市城区常住居民家庭月均用水量的中位数；(3)若西昌市城区常住居民有15万个家庭，估计全市常住居民中月均用水量不低于3吨的家庭数，并说明理由.【变式51】3．（2023下·广东广州·高一统考期末）某电子商务公司对10000名网络购物者2023年第一季度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示.(1)求频率直方图中a的值，并估计这些网络购物者第一季度消费金额的平均数；(2)该电子商务公司决定对消费金额高的前18%的消费者进行奖励，若小明的消费金额是0.65万元，请你估算他会得到奖励吗？【变式51】4．（2022下·江苏盐城·高一统考期末）为了有效抗击疫情，保卫师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满分是100分，将问卷回收并整理评分数据后，把得分分成了5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制成如图所示的频率直方图.(1)计算a的值和样本的平均分；(2)为了更全面地了解师生对食堂服务水平的评价，求该样本的50百分位数（精确到0.01）.题型6频率分布折线图【例题6】（2021上·高一课时练习）某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比,依考核分数分为A,B,C,D四个等级.其中分数在60,70的为D等级;分数在70,80的为C等级;分数在80,90的为B等级;分数在90,100的为A等级.考核评估后,得其频率折线图如图所示,估计这100间学生公寓评估得分为等级C,D的比评估得分为等级A,B的多(

)A．8间 B．9间C．10间 D．11间【变式61】1．（2022下·贵州遵义·高一遵义四中校考期中）某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间[600,700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．根据“频率分布”折线图，估计该班级的平均分为（

）A．653.6 B．653.7 C．653.8 D．653.9【变式61】2.（2020·全国·高三专题练习）某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A,B,C,D四个等级，其中分数在60,70为D等级；分数在70,80为C等级；分数在80,90为A．80.25 B．80.45 C．80.5 D．80.65【变式61】3．（2020·全国·高一课时练习）为了了解某片经济林的生长情况，随机测量其中的100棵树的底部周长，得到如下数据（单位：cm）：135

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