探究类比归纳专题(含答案)

探究类比归纳〔2012/5/26〕27.〔2011年青海，27,10分〕认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图11-1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，∠BOC与∠A的关系为探究2：如图11-2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.探究3：如图11-3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，那么∠BOC与∠A有怎样的关系？〔只写结论，不需证明〕结论：.25．〔2011四川乐山〕如图〔1〕,在直角△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,假设AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.如图〔2〕,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是证明:如图〔3〕,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是证明如图〔1〕,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是(写出关系式,不必证明)27．〔2011盐城〕〔此题总分值12分〕情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是，∠CAC′=．图1图1图2问题探究向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.图3图4图3图4拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.假设AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.25．〔11·南平〕〔12分〕〔1〕操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜测线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．〔2〕类比探究：如图2，将〔1〕中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，〔1〕中的结论是否仍然成立？请说明理由．ABABEFGCD〔11·辽阜新〕如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝EB，连接PD，O为AC中点．〔1〕如图1，当点P在线段AO上时，试猜测PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；〔2〕如图2，当点P在线段OC上时，〔1〕中的猜测还成立吗？请说明理由；〔3〕如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形〔尺规作图，保存作图痕迹，不写作法〕，并判断〔1〕中的猜测是否成立？假设成立，请直接写出结论；假设不成立，请说明理由．ABCABCDO·ABCDPEO·ABCDPEO·25、〔2011•临沂〕如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．〔1〕求证：EF=EG；〔2〕如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请给予证明：假设不成立．请说明理由：〔3〕如图3，将〔2〕中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，假设AB=a、BC=b，求EFEG〔2011湖北黄石〕⊙与⊙相交于、两点，点在⊙上，为⊙上一点〔不与，，重合〕，直线与⊙交于另一点。〔1〕如图〔8〕，假设是⊙的直径，求证：；〔2〕如图(9)，假设是⊙外一点，求证：；〔3〕如图〔10〕，假设是⊙内一点，判断〔2〕中的结论是否成立〔四川乐山〕25.〔1〕图甲：连接DE，∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时∴AD=BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=AB，∵AE=nEC，∴DE=AE=EC=AC，∴∠EDC=45°，DE⊥AC，∵∠A=45°，∴∠A=∠EDG，∵EF⊥BE，∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，∴∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG〔ASA〕，∴EF=EG．〔2〕解：EF=EG证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，∵EM∥CD，∴△AEM∽△ACD，∴即EM=CD，同理可得，EN=AD，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴tanA=，∴，又∵EM⊥AB，EN⊥CD，∴∠EMF=∠ENG=90°，∵EF⊥BE，∴∠FEM=∠GEN，∴△EFM∽△EGN，∴，即EF=EG；〔3〕EF=EG．〔2011江苏盐城〕27.解：情境观察AD〔或A′D〕，90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ.拓展延伸结论：HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AB,EA).同理△ACG∽△FAQ，∴eq\f(AG,FP)=eq\f(AC,FA).∵AB=kAE，AC=kAF，∴eq\f(AB,EA)=eq\f(AC,FA)=k，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AG,FP).∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF〔2011福建南平〕〔1〕连接FC，ABEFGCD1234由折叠知：BEABEFGCD1234∴∠EFG＝∠C＝90°∵E是BC的中点，∴BE＝CE∴CE＝EF∴∠1＝∠2∵∠EFG＝∠C∴∠3＝∠4∴FG＝CGCEDFCEDFBAG1234由折叠知：BE＝EF∠AFE＝∠B∵E是BC的中点，∴BE＝CE∴CE＝EF∴∠1＝∠2又∵∠AFE＋∠EFG＝180°∠B＋∠ECG＝180°∴∠EFG＝∠ECG∴∠3＝∠4∴FG＝CGABABCDPEO·12543〔1〕PE＝PD且PE⊥PD………………2分〔2〕成立………………3分理由：∵四边形ABCD是正方形∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，∠BCD＝90°又∵PC＝PC∴△BCP≌△DCP∴PB＝PD，∠1＝∠2又∵PE＝PB∴PE＝PD，∠1＝∠3………………5分ABCDO·PEABCDO·PE∵∠BCD＝90°∴∠DCE＝90°∴∠DPE＝180°―∠2―∠5∠DCE＝180°―∠3―∠4又∵∠4＝∠5∴∠DPE＝∠DCE＝90°即PE⊥PD………………9分〔3〕仍然成立………………10分作图如图………………12分2011山东临沂〔1〕证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；〔2〕成立．证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，那么EH=EI，∠HEI=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH，∴EF=EG；〔3〕解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，那么∠MEN=90°，∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴NEAD=CE∴NEAD=EMAB，即EN∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，∴∠GEM=∠FEN，∵∠GME=∠FNE=90°，∴△GME∽△FNE，∴EFEG=ENEM点评：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．〔2011湖北黄石〕证明：〔1〕如图〔一〕，连接，∵为⊙的直径∴∴为⊙的直径∴在上又，为的中点∴△是以为底边的等腰三角形∴ 〔3分〕〔2〕如图〔二〕，连接，并延长交⊙与点，连∵四边形内接于⊙∴又∵∴∴又为⊙的直径∴∴ 〔3分〕〔3〕如图〔三〕，连接，并延长交⊙与点，连∵又∴∴又∴ 〔3分〕9．解：〔1〕把x＝0代入y＝－EQ\F(1,4)(x－1)2＋3，得y＝EQ\F(11,4)∴点A的坐标为〔0，EQ\F(11,4)〕∵BC为对称轴，B〔1，3〕，∴OC＝1图1ABOCxyDEPQMN〔2〕①如图1，过点D图1ABOCxyDEPQMN∵PQ∥BC，∴∠DMQ＝∠DNQ＝∠MDN＝90°∴四边形MDNQ为矩形∵∠CDE＝∠MDN＝90°，∴∠CDM＝∠EDN又∵DC＝DE，∴Rt△DCM≌Rt△DEN∴DM＝DN，∴四边形MDNQ为正方形∴∠DQC＝45°，∴△BCQ为等腰直角三角形∴CQ＝BC＝3，∴OQ＝4，∴Q〔4，0〕设直线BQ的函数解析式y＝kx＋b，把B〔1，3〕，Q〔4，0〕代入求得k＝－1，b＝4∴线BQ的函数解析式y＝－x＋4②当点P在对称轴的右侧时，如图2，过点D分别作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于N图2ABOCxy图2ABOCxyDEPQMN∵∠CDM＋∠MDE＝∠EDN＋∠MDE＝90°∴∠CDM＝∠EDN，∴Rt△CDM≌Rt△EDN∴EQ\F(CD,DE)＝EQ\F(DM,DN)∵DN＝MQ，∴EQ\F(CD,DE)＝EQ\F(DM,MQ)∵DM∥BC，∴EQ\F(DM,MQ)＝EQ\F(BC,CQ)，∴EQ\F(CD,DE)＝EQ\F(3,m－1)当∠DCE＝30°时，EQ\F(CD,DE)＝EQ\F(3,m－1)＝eq\r(,3)∴m＝1＋eq\r(,3)，代入抛物线的解析式，得y＝EQ\F(9,4)∴P1〔1＋eq\r(,3)，EQ\F(9,4)〕当∠DCE＝60°时，EQ\F(CD,DE)＝EQ\F(3,m－1)＝EQ\F(eq\r(,3),3)∴m＝1＋3eq\r(,3)，代入抛物线的解析式，得y＝－EQ\F(15,4)∴P2〔1＋3eq\r(,3)，－EQ\F(15,4)〕当点P在对称轴的左侧时，由对称性知∴P3〔1－eq\r(,3)，EQ\F(9,4)〕，P4〔1－3eq\r(,3)，－EQ\F(15,4)〕综上所述，满足条件的点P的坐标为：P1〔1＋eq\r(,3)，EQ\F(9,4)〕，P2〔1＋3eq\r(,3)，－EQ\F(15,4)〕，P3〔1－eq\r(,3)，EQ\F(9,4)〕，P4〔1－3eq\r(,3)，－EQ\F(15,4)〕4．在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．〔1〕在图1中证明CE＝CF；〔2〕假设∠ABC＝90°，G是EF的中点〔如图2〕，直接写出∠BDG的度数〔3〕假设∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG〔如图3〕，求∠BDG的度数．图3AD图3ADBCEFG图2ABCFDEG图1ABCFDE4．〔1〕证明：如图1图1ABCFDE∵AF平分BAD，图1ABCFDE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD∴DAF＝CEF，BAF＝F∴CEF＝F∴CE＝CF 2分〔2〕BDG＝45 3分〔3〕解：分别连结GB、GE、GC〔如图3〕∵AB∥DC，ABC＝120，∴ECF＝ABC＝120图3ADBCEFG123∵FG∥图3ADBCEFG123由〔1〕得CE＝CF，∴CEGF是菱形∴EG＝EC，GCE＝GCF＝EQ\F(1,2)ECF＝60∴△ECG是等边三角形∴EG＝CG①GEC＝EGC＝60，∴GEC＝GCF∴BEG＝DCG②由AD∥BC及AF平分BAD可得BAE＝AEB，∴AB＝BE在□ABCD中，AB＝DC∴BE＝DC③由①②③得△BEG≌△DCG，∴BG＝DG，∠1＝∠2∴BGD＝1＋3＝2＋3＝EGC＝60∴△BDG是等边三角形∴BDG＝60 7分10．矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按以下图示方式折叠，AE是折痕．〔1〕如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；〔2〕如图2，DP＝EQ\F(1,3)AD，CQ＝EQ\F(1,3)BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；〔3〕如图3，DP＝EQ\F(1,n)AD，CQ＝EQ\F(1,n)BC，点D的对应点F在PQ上．①直接写出AE的长〔用含n的代数式表示〕；②当n越来越大时，AE的长越来越接近于_________．图2C图2CAFBDEPQ图1CAFBDEPQ图3CAFBDEPQ10．解：〔1〕∵P，Q分别是矩形ABCD中AD，BC的中点图1CAFBDEPQ∴AP＝EQ\F(1,2)AD＝EQ\F(1,2)AF，∠APF＝90°，∴∠AFP＝图1CAFBDEPQ∴∠PF＝eq\r(,3)AP＝EQ\F(eq\r(,3),2)AD＝EQ\F(eq\r(,3),2)×12＝6eq\r(,3)〔cm〕DAF＝60°，∴∠DAE＝30°∴AE＝EQ\F(AD,cos30°)＝EQ\F(12,cos30°)＝8eq\r(,3)〔cm〕〔2〕∵DP＝EQ\F(1,3)AD＝4〔cm〕，∴AP＝EQ\F(2,3)AD＝8〔cm〕图2CAFBDEPQG∴FP＝eq\r(,122－82)＝4图2CAFBDEPQG∵DE＝EF，∠AED＝∠AEF，∠AED＝∠FGE∴∠FGE＝∠FEG，∴GF＝EF＝DE设DE＝x，那么GF＝x∵△APG∽△ADE，∴EQ\F(PG,DE)＝EQ\F(AP,AD)＝EQ\F(2,3)，∴PG＝EQ\F(2,3)x∴EQ\F(2,3)x＋x＝4eq\r(,5)，∴x＝EQ\F(12,5)eq\r(,5)∴AE＝eq\r(,AD2＋DE2)＝EQ\F(12,5)eq\r(,30)〔3〕①AE＝12eq\r(,EQ\F(2n,2n－1))②1212．如图①，将矩形ABCD折叠，使点B落在边AD〔含端点〕上，落点记为E，此时折痕与边BC或边CD〔含端点〕交于点F，然后展开铺平，那么以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．〔1〕由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形；〔2〕如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；〔3〕如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？假设存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？假设不存在，为什么？CAECAEDFO(B)xy图①CADO(B)xy图③CAEDO(B)xy图②20．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，如图1．〔1〕将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，那么线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜测；〔2〕将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，那么线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜测，并加以证明；〔3〕将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，那么线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜测，并加以证明．CABDCABDEGF图2CABDEGF图4CABDEGF图3CABDEF图120．解：〔1〕EG＝CG，EG⊥CG 2分〔2〕EG＝CG，EG⊥CG 4分CABDEGF图2H证明：如图3CABDEGF图2H∵∠AEH＝90°，∠EBC＝90°，∠BCH＝90°∴四边形BEHC是矩形，∴BE＝CH，∠EHC＝90°又∵BE＝EF，∴EF＝CH∵∠EHC＝90°，FG＝DG，∴HG＝EQ\F(1,2)DF＝FG∵BC＝EH，BC＝CD，∴EH＝CD∵EF＝CH，∴FH＝DH，∴∠F＝45°CABDEGF图3H又FG＝DG，∴∠CHG＝EQ\F(1,2CABDEGF图3H∴∠F＝∠CHG，∴△EFG≌△CHG∴EG＝CG，∠EGF＝∠CGH 6分∵∠FHC＝90°，FH＝DH，FG＝DG，∴HG⊥DF∴∠EGF＋∠EGH＝90°∴∠CGH＋∠EGH＝90°，即∠EGC＝90°∴EG⊥CG 8分〔3〕EG＝CG，EG⊥CG 9分证明：如图4，延长CG至H，使GH＝CG，连接HF、HE、EC∵GF＝GD，∠HGF＝∠CGD，GH＝GC，∴△HFG≌△CDGCABDEGF图4H∴HF＝CD，∠GHFCABDEGF图4H∵正方形ABCD，∴HF＝BC，HF⊥BC∵△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE，EF⊥BE∴∠HFE＝∠CBE，∴△HFE≌△CBE∴EH＝EC，∠FEH＝∠BEC，∴∠HEC＝∠BEF＝90°∴△ECH为等腰直角三角形又∵GH＝GC∴EG＝CG，EG⊥CG 12分24．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC绕点O按逆时针方向旋转得到△D′OC′〔0°＜旋转角＜90°〕，连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．〔1〕当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜测AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜测；〔2〕当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，AC＝kBD，请猜测此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜测；〔3〕当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时〔1〕AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．MBCMBCAODC′D′图2MBCAODC′D′图3MBCAODC′D′图124．解：〔1〕AC′＝BD′，∠AMB＝α 2分证明：在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC＝EQ\F(1,2)AC，OB＝OD＝EQ\F(1,2)BDMBCAODC′DMBCAODC′D′图1又∵OD＝OD′，OC＝OC′，∴OB＝OD′＝OA＝OC′∵∠D′OD＝∠C′OC，∴180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC∴∠BOD′＝∠AOC′，∴△BOD′≌△AOC′∴BD′＝AC′，∴∠OBD′＝∠OAC′设BD′与OA相交于点N，∴∠BNO＝∠ANM∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO即∠AMB＝∠AOB＝∠COD＝α综上所述，AC′＝BD′，∠AMB＝α 5分〔2〕AC′＝kBD′，∠AMB＝α 7分证明：在平行四边形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC又∵OD＝OD′，OC＝OC′，∴OB:OA＝OD′:OC′MBCAODC′D′图2∵∠D′OD＝∠C′OC，∴180°－∠MBCAODC′D′图2∴∠BOD′＝∠AOC′，∴△BOD′∽△AOC′∴BD′:AC′＝OB:OA＝BD:AC∵AC＝kBD，∴AC′＝kBD′∵△BOD′∽△AOC′，∴∠OBD′＝∠OAC′设BD′与OA相交于点N，∴∠BNO＝∠ANM∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO即∠AMB＝∠AOB＝α综上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α 10分〔3〕AC′＝BD′成立，∠AMB＝α不成立 12分25．如图l，己知正方形ABCD，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF．〔1〕如图2，将△AEF绕点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，判断线段BE、DF的数量关系和位置关系，并加以证明；〔2〕如图3，将△AEF绕点A顺时针旋转∠α，当α＝90°时，连接BE、DF，当AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE？请说明理由；〔3〕如图4，将△AEF绕点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，那么顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请说明理由．BDACBDACEF图3BDACEF图2BDACEF图1BDACEF图4BDACEF图2HG25．〔1BDACEF图2HG证明：在△ABE和△ADF中AB＝AD，∠BAE＝∠DAF＝90°－∠BAF，AE＝AF∴△ABE≌△ADF∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF延长DF交AB、BE于点G、H，如图2∵∠ADF＋∠DGA＝90°，∠BGH＝∠DGA∴∠ABE＋∠BGH＝90°，∴∠BHG＝90°BDACEBDACE图3〔2〕当AE＝(eq\r(,2)－1)AD时，直线DF垂直平分BE理由如下：∵直线DF垂直平分BE，∴EF＝BF∵△AEF是等腰直角三角形，AE＝AF，∴EF＝eq\r(,2)AE∴AE＋eq\r(,2)AE＝AB＝AD∴AE＝(eq\r(,2)－1)AD〔3〕正方形理由如下：连接BE、DF，设DF与AB交于点G证明：在△ABE和△ADF中AB＝AD，∠BAE＝∠DAF＝90°＋∠BAF，AE＝AFBDACEBDACEF图4PQRSG∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF∵∠ADF＋∠DGA＝90°，∠BGF＝∠DGA∴∠ABE＋∠BGF＝90°，∴BE⊥DF在△BDE中∵DP＝PB，DQ＝QE，∴PQ∥BE，PQ＝EQ\F(1,2)BE同理，RS∥BE，RS＝EQ\F(1,2)BE，PS∥DF，PS＝EQ\F(1,2)DF，QR∥DF，QR＝EQ\F(1,2)DF∵BE＝DF，BE⊥DF，∴PQ＝QR＝RS＝PS，PQ⊥QR∴四边形PQRS是正方形37．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF〔如图1〕．〔1〕当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合〔如图2〕，求PC的长；AEBDFCP图1ABDCPAEBDFCP图1ABDCP图2(F)(E)①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．37．解：〔1〕在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AP＝1，CD＝AB＝2∴PB＝eq\r(,5)，∠ABP＋∠APB＝90°又∵∠BPC＝90°，∴∠APB＋∠DPC＝90°∴∠DPC＝∠APB，∴△DCP∽△APB∴EQ\F(PC,PB)＝EQ\F(CD,AP)，即EQ\F(PC,eq\r(,5))＝EQ\F(2,1)∴PC＝2eq\r(,5) 5分〔2〕tan∠PEF的值不变 6分AEBDFCP图1G理由：过FAEBDFCP图1G那么四边形ABFG是矩形∴∠A＝∠PGF＝90°，GF＝AB＝2∴∠AEP＋∠APE＝90°又∵∠EPF＝90°，∴∠APE＋∠GPF＝90°∴∠GPF＝∠AEP，∴△GFP∽△APE∴EQ\F(PF,PE)＝EQ\F(GF,AP)＝EQ\F(2,1)＝2∴在Rt△EPF中，tan∠PEF＝EQ\F(PF,PE)＝2∴tan∠PEF的值不变10分〔3〕线段EF的中点经过的路线长为eq\r(,5) 14分解答过程如下〔本人添加，仅供参考〕设线段EF的中点为M，作MH⊥BF于H，如图2设BH＝x，MH＝y，那么BF＝2x，BE＝2y，AE＝2－2yAEBDFCP图2HMG由△GFP∽△APE得：EQ\F(PG,GF)＝EQ\F(AEAEBDFCP图2HMG即EQ\F(PG,2)＝EQ\F(AE,1)，∴PG＝2AE，∴AG＝1＋2AE＝5－4y又∵AG＝BF，∴5－4y＝2x∴y＝－EQ\F(1,2)x＋EQ\F(5,4)可见线段EF的中点的运动路线是一条线段，如图3∵M点的起始位置是BC的中点M1，终点位置是AF的中点M2ABDCP图3FEMABDCP图3FEM1M2∵tan∠PBC＝EQ\F(PC,PB)＝2，PB＝eq\r(,5)，∴PC＝2eq\r(,5)∴M1M2＝eq\r(,5)即线段EF的中点经过的路线长为eq\r(,5)38．菱形ABCD的边长为1，∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．〔1〕特殊发现：如图1，假设点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；〔2〕假设点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P．①猜测验证：如图2，猜测△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)是否为定值．假设是，请求出该定值；假设不是，请说明理由．图3图3AEBDFCPNM图2AEBDFCP图1图1AEBDFCO38．〔1〕证明：如图1，分别连接OE、OF图1AEBDFCO图1AEBDFCO∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD＝DC＝BC∴∠COD＝∠COB＝∠AOD＝90°∠ADO＝EQ\F(1,2)∠ADC＝EQ\F(1,2)×60°＝30°又∵E、F分别为DC、CB中点∴OE＝EQ\F(1,2)CD，OF＝EQ\F(1,2)BC，AO＝EQ\F(1,2)AD 3分∴OE＝OF＝OA，∴点O即为△AEF的外心 4分〔2〕①猜测：外心P一定落在直线DB上 5分图2AEBDFCPIJ证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI图2AEBDFCPIJ∴∠PIE＝∠PJD＝90°，∵∠ADC＝60°∴∠IPJ＝360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI＝120° 6分∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA＝120°，PE＝PA 7分∴∠IPJ＝∠EPA，∴∠IPE＝∠JPA∴△PIE≌△PJA，∴PI＝PJ图3AEBDFCPNMG∴点图3AEBDFCPNMG②EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)为定值2 9分当AE⊥DC时．△AEF面积最小此时点E、F分别为DC、CB中点 10分连接BD、AC交于点P，由〔1〕可得点P即为△AEF的外心解法一：如图3，设MN交BC于点G设DM＝x，DN＝y〔x≠0．y≠0〕，那么CN＝y－1∵BC∥DA，∴△GBP≌△MDP，∴BG＝DM＝x∴CG＝1－x 11分∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM 12分∴EQ\F(CN,DN)＝EQ\F(CG,DM)，∴EQ\F(y－1,y)＝EQ\F(1－x,x)∴x＋y＝2xy 13分图4AEBDFCPNM∴EQ\F(1,x)＋EQ\F(1,y)＝2，即EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)＝2 14分图4AEBDFCPNM解法二：如图4，连接PE，∵P、E分别为AC、DC的中点∴PE＝EQ\F(1,2)DA＝EQ\F(1,2)，PE∥DA 11分∴△NEP∽△NDM，∴EQ\F(NE,ND)＝EQ\F(EP,DM) 12分设DM＝x，DN＝y，那么NE＝y－EQ\F(1,2)∴EQ\F(y－EQ\F(1,2),y)＝EQ\F(EQ\F(1,2),x) 13分∴xy－EQ\F(1,2)x＝EQ\F(1,2)y∴EQ\F(1,x)＋EQ\F(1,y)＝2，即EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)＝2 14分图5AEBDFCPNMIJ解法三：如图5，过点P作PI⊥DC于I，PJ⊥DA于J，那么PI＝PJ＝EQ\F(eq\r(,3图5AEBDFCPNMIJ∵S△DNP＋S△DMP＝S△DMN 11分∴EQ\F(1,2)·DN·PI＋EQ\F(1,2)·DM·PJ＝EQ\F(1,2)·DM·DN·sin60° 12分∴EQ\F(1,2)·DN·EQ\F(eq\r(,3),4)＋EQ\F(1,2)·DM·EQ\F(eq\r(,3),4)＝EQ\F(1,2)·DM·DN·EQ\F(eq\r(,3),2)∴DN＋DM＝2DM·DN 13分∴EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)＝2 14分解法四：如图6，以点D为坐标一定，DA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系图6AEBDFCPN图6AEBDFCPNMxy可求得点P的坐标为〔EQ\F(3,4)，EQ\F(eq\r(,3),4)〕，∴EQ\F(3,4)k＋b＝EQ\F(eq\r(,3),4)∴b＝EQ\F(eq\r(,3),4)－EQ\F(3,4)k∴直线MN的解析式为y＝kx＋EQ\F(eq\r(,3),4)－EQ\F(3,4)k 11分求得直线DN的解析式为y＝eq\r(,3)x令y＝kx＋EQ\F(eq\r(,3),4)－EQ\F(3,4)k＝0，那么x＝EQ\F(EQ\F(3,4)k－EQ\F(eq\r(,3),4),k)，即DM＝EQ\F(EQ\F(3,4)k－EQ\F(eq\r(,3),4),k) 13分∴EQ\F(1,DM)＋EQ\F(1,DN)＝EQ\F(k,EQ\F(3,4)k－EQ\F(eq\r(,3),4))＋EQ\F(k－eq\r(,3),EQ\F(3,2)k－EQ\F(eq\r(,3),2))＝EQ\F(3k－eq\r(,3),EQ\F(1,2)(3k－eq\r(,3)))＝2 14分49．正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PE＝PD．〔1〕如图1，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜测PE与PB有怎样的关系？〔直接写出结论不必证明〕；〔2〕如图2，当点P运动到CA的延长线上时，〔1〕中猜测的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；〔3〕如图3，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？〔直接写出结论不必证明〕AABPDCE图2ABABPDC图3ABPDCE图149．解：〔1〕①PE＝PB，②PE⊥PB 2分〔2〕〔1〕中的结论成立ABPDCEABPDCEMFN∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB 3分又PC＝PC，∴△PDC≌△PBC 4分∴PD＝PB 5分∵PE＝PD，∴PE＝PB 6分②法一：由①，得△PDC≌△PBC∴∠PDC＝∠PBC 7分又PE＝PD，∴∠PDE＝∠PED 8分∴∠PDE＋∠PDC＝∠PEC＋∠PBC＝180°∴∠EPB＝360°－(∠PEC＋∠PBC＋∠DCB)＝90° 9分∴PE⊥PB 10分法二：作PM∥BC交CD的延长线于点M，作PN∥DC交CB的延长线于点N那么四边形PMCN为平行四边形又∠MCN＝90°，∴四边形PMCN为矩形∵∠MCA＝∠NCA＝45°，∴四边形PMCN为正方形∴PM＝PN，∠MPN＝90° 8分又由①，得PE＝PB∴Rt△PEM≌Rt△PBN 9分∴∠EPM＝∠BPN∴∠EPB＝∠EPM＋∠MPB＝∠BPN＋∠MPB＝∠MPN＝90°∴PE⊥PB 10分法三：作PM⊥DC交CD的延长线于点M，作PN⊥BC交CB的延长线于点N∵∠MCN＝90°，∴四边形PMCN为矩形又∠MCA＝∠NCA＝45°，∴四边形PMCN为正方形∴PM＝PN，∠MPN＝90° 8分又由①，得PE＝PB∴Rt△PEM≌Rt△PBN 9分∴∠EPM＝∠BPN∴∠EPB＝∠EPM＋∠MPB＝∠BPN＋∠MPB＝∠MPN＝90°∴PE⊥PB 10分法四：作PM⊥DC交CD的延长线于点M，延长BA交PM于点F，易得四边形FMCB为矩形，∴∠BFM＝90°∴∠MPB＋∠PBF＝90°∵PE＝PD，AD∥MP，∴∠EPM＝∠DPM＝∠PDA由①，得△PDA≌△PBA，∴∠PBF＝∠PDA＝∠EPM∴∠EPB＝∠EPM＋∠MPB＝∠PBF＋∠MPB＝90°∴PE⊥PB 10分法五：作PM⊥DC交CD的延长线于点M，那么PM∥BC∴∠MPB＋∠PBC＝180°∵∠ABC＝90°，∴∠MPB＋∠PBA＝90°∵PE＝PD，AD∥PM，∴∠EPM＝∠DPM＝∠PDAABEDCP由①，得△PDA≌△PBA，∴∠PBA＝ABEDCP∴∠EPB＝∠EPM＋∠MPB＝∠PBA＋∠MPB＝90°∴PE⊥PB 10分〔3〕正确画出图形 12分结论：①PE＝PB，②PE⊥PB 14分50．菱形ABCD的边长为5，∠DAB＝60°．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB＝α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．〔1〕如图1，求证：△AGD≌△AEB；〔2〕当α＝60°时，在图2中画出图形并求出线段CF的长；〔3〕假设∠CEF＝90°，在图3中画出图形并求出△CEF的面积．ABDABDC图3ABDC图2ABFDCE图1ABFDCE图1G50．解：〔ABFDCE图1G∴AG＝AE＝AB＝AD，∠GAD＝∠EAB＝α∴△ADG≌△ABE 3分〔2〕解法一：如图2，当α＝60°时，AE与AD重合 4分作DH⊥CF于H．由可得∠CDF＝120°，DF＝DC＝5∴∠CDH＝EQ\F(1,2)∠CDF＝60°，CH＝EQ\F(1,2)CF在Rt△CDH中，∵CH＝DC·sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2) 6分∴CF＝2CH＝5eq\r(3) 7分解法二：如图2，当α＝60°时，AE与AD重合 4分ABFDCO图2G(E)HABFDCO图2G(E)H由题意，知AF＝AC，∠FAC＝60°∴△ACF是等边三角形，∴CF＝AC由，∠DAO＝EQ\F(1,2)∠BAD＝30°，AC⊥BD∴AO＝AD·cos30°＝eq\f(5\r(3),2) 6分∴AC＝2AO＝5eq\r(3)∴CF＝5eq\r(3) 7分〔3〕如图3，当∠CEF＝90°时，延长CE交AG于点M，连接AC 8分ABFDCE图ABFDCE图3GM∴∠GME＝∠CEF＝90°∴∠AME＝90° 9分在Rt△AME中，AE＝5，∠MAE＝60°∴AM＝AE·cos60°＝EQ\F(5,2)，EM＝AE·sin60°＝eq\f(5\r(3),2)在Rt△AMC中，易求AC＝5eq\r(3)∴MC＝eq\r(,AC2－AM2)＝eq\r(,52－42)＝eq\f(5\r(11),2)∴EC＝MC－ME＝eq\f(5\r(11),2)－eq\f(5\r(3),2)＝EQ\F(5,2)(eq\r(,11)－eq\r(3)) 11分∴S△CEF＝EQ\F(1,2)EC·EF＝EQ\F(25,4)(eq\r(,11)－eq\r(3)) 12分52．探究问题：〔1〕方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF=EF．感悟解题方法，并完成以下填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°因此，点G，B，F在同一条直线上∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°即∠GAF＝∠_________．又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌_________．∴_________＝EF，故DE＋BF＝EF．〔2〕方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝EQ\F(1,2)∠DAB．试猜测DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜测．〔3〕问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝EQ\F(1,2)∠DAB，试猜测当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE＋BF＝EF．请直接写出你的猜测〔不必说明理由〕．CFBCFBADE图②CFBADE图③CFBGADE123图①52．解：〔1〕∠FAE△EAFGF 3分〔每空1分〕〔2〕DE＋BF＝EF 4分CFBADE图②G证明：将△ADECFBADE图②G那么∠BAG＝∠DAE，AG＝AE，∠ABG＝∠D＝90°∴∠ABG＋∠ABF＝180°∴点G、B、F在同一直线上 5分∵∠GAB＋∠BAF＝∠DAE＋∠BAF＝EQ\F(1,2)∠BAD＝∠FAE∴∠GAF＝∠EAF 6分在△AGF和△AEF中AG＝AE，∠GAF＝∠EAF，AF＝AF∴△AGF≌△AEF 7分∴GF＝EF，∴GB＋BF＝EF∴DE＋BF＝EF 8分〔2〕∠B＋∠D＝180°〔填∠B＝∠D＝90°给1分〕 10分55．〔1〕如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；〔2〕如图②，在Rt△ABD中，∠EAF＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．〔3〕在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，假设EG＝4，GF＝6，BM＝3eq\r(,2)，求AG，MN的长．CCFBADEG图①HHBADMN图②HBADMN图②55．解：〔1〕在Rt△ABE和Rt△AGE中，HBADMN图②∴△ABE≌△AGE，∴∠BAE＝∠GAE 1分同理，∠GAF＝∠DAF∴∠EAF＝EQ\F(1,2)∠BAD＝45° 2分〔2〕MN2＝ND2＋DH2 3分理由如下：CFBADEG图①MN∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°CFBADEG图①MN∵∠BAM＝∠DAH，∴∠HAN＝∠DAH＋∠DAN＝45°∴∠HAN＝∠MAN又∵AM＝AH，AN＝AN，∴△AMN≌△AHN∴MN＝HN 5分∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°∴∠HDN＝∠HDA＋∠ADB＝90°∴HN2＝ND2＋DH2∴MN2＝ND2＋DH2 6分〔3〕由〔1〕知，BE＝EG，DF＝FG设AG＝x，那么CE＝x－4，CF＝x－6∵CE2＋CF2＝EF2，∴(x－4)2＋(x－6)2＝(4＋6)2解得x1＝12，x2＝－2〔舍去〕∴AG＝12 8分∴BD＝eq\r(,AB2＋AD2)＝eq\r(,2AG2)＝12eq\r(,2)在〔2〕中，MN2＝ND2＋DH2，DH＝BM∴MN2＝ND2＋BM2 9分设MN＝a，那么a2＝(12eq\r(,2)－3eq\r(,2)－a)2＋(3eq\r(,2))2解得a＝5eq\r(,2)，即MN＝5eq\r(,2) 10分71．如图，将边长为a的正方形纸片ABCD沿EF折叠〔点E、F分别在边AB、DC上〕，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，GH与DC交于点M，连接BG与EF交于点N．ABEFCCDMCGCHCNK〔1〕求证：①BGABEFCCDMCGCHCNK〔2〕当四边形AEFD的面积最大时，求AG的长．71．〔1〕①证明：过F作FK⊥AB于K，由题意知BG⊥EF于N∴∠GBA＝∠EFK又AB＝KF，∠A＝∠EKF＝90°，∴△ABG≌△KFE∴BG＝EF 2分ABEFCCDMCGCHCNK②设AG＝x，在Rt△AEG中，AEABEFCCDMCGCHCNK∴AE2＋x2＝(a－AE)2，得AE＝EQ\F(a2－x2,2a)∵∠MGE＝90°，∴Rt△DGM∽Rt△AEG设△DGM和△AEG的周长分别为C△DGM、C△AEG那么EQ\F(C△DGM,C△AEG)＝EQ\F(DG,AE)，即EQ\F(C△DGM,a＋x)＝EQ\F(a－x,EQ\F(a2－x2,2a))∴C△DGM＝2a故△DGM的周长为定值 6分〔2〕解：设AG＝x，在Rt△AEG中，GE2＝AE2＋AG2即(a－AE)2＝AE2＋x2，解得AE＝EQ\F(a2－x2,2a)在正方形ABCD中，KF＝BC＝AB，EKF＝∠A＝90°∴△KFE≌△ABG，∴EK＝AG＝x，AK＝AE＋EK＝AE＋AG＝EQ\F(a2－x2,2a)＋xS梯形AEFD＝EQ\F(1,2)(AE＋DF)·AD＝EQ\F(1,2)(AE＋AK)·AD＝EQ\F(1,2)(EQ\F(a2－x2,2a)＋EQ\F(a2－x2,2a)＋x)·a＝－EQ\F(1,2)(x－EQ\F(1,2)a)2＋EQ\F(5,8)a2〔0＜x＜a〕当x＝EQ\F(1,2)a，即AG的长为EQ\F(1,2)a时，四边形AEFD的面积最大，为EQ\F(5,8)a2 10分75．正方形ABCD中，点M、N分别在CB、DC的延长线上，且MN＝DN－BM，连接AM、AN．〔1〕如图1，求证：∠MAN＝45°；〔2〕如图2，过D作DP⊥AN交AM于点P，连接PC、求证：PA＋PC＝eq\r(,2)PD；〔3〕在〔2〕的条件下，假设AB＝1，C为DN的中点，如图3，求PC的长．MACMACBND图3PMACBND图1MACBND图2P75．〔1〕证明：如图1，在DN上截取DE＝BM，连接AEMACBND图1E∵∠ABM＝∠D＝90°，MACBND图1E∴△ABM≌△ADE∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE∴∠MAN＝∠BAM＋∠BAN＝∠DAE＋∠BAN又∵MN＝DN－BM，EN＝DN－DE∴MN＝EN又∵AN＝AN，∴△AMN≌△AENMACBND图2MACBND图2PF又∵∠DAE＋∠BAN＋∠EAN＝90°∴∠MAN＋∠EAN＝90°∴∠MAN＝45° 3分〔2〕证明：如图2，过D作FD⊥DP交PA的延长线于点F∵DP⊥AN，∠MAN＝45°，∴∠APD＝45°∴△DPF为等腰直角三角形∴PF＝PA＋FA＝eq\r(,2)PD，FD＝PD又∵∠ADF＝∠CDP＝90°－∠ADP，AD＝CD∴△ADF≌△CDP，∴FA＝PC∴PA＋PC＝eq\r(,2)PD 7分MACBND图3PMACBND图3PG∵DP⊥AN，∠MAN＝45°∴△AGP为等腰直角三角形∴PA＝eq\r(,2)PG，又∵PA＋PC＝eq\r(,2)PD，∴PC＝eq\r(,2)(PD－PG)＝eq\r(,2)DG∵AB＝BC＝CD＝DA＝1，C为DN的中点∴DN＝2，∴AN＝eq\r(,DA2＋DN2)＝eq\r(,5)∵sin∠N＝eq\f(DG,DN)＝eq\f(DA,AN)，∴DG＝eq\f(DA·DN,AN)＝eq\f(2eq\r(,5),5)∴PC＝eq\r(,2)×eq\f(2eq\r(,5),5)＝eq\f(2eq\r(,10),5) 10分77．：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD．〔1〕如图1，假设AB＝BC＝AC，求证：AE＝EF；〔2〕如图2，假设AB＝BC，〔1〕中的结论是否仍然成立？证明你的结论；EDCBAF图3〔3〕如图3，假设AB＝kBC，〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请EDCBAF图3EDEDCBAF图1EDCBAF图2EDCBAF图1OG77．〔1〕证明：如图1，过E作EG∥AB交ACEDCBAF图1OG那么∠BAC＋∠AGE＝180°，∠BAC＝∠EGC∵AB＝BC＝AC，∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°∴∠EGC＝∠ACB＝∠B＝60°∴EG＝EC∵AD∥BC，∴∠FCE＝180°－∠B＝120°EDCBAF图2OG又∠AGE＝180°－∠BACEDCBAF图2OG∵∠AOE＝∠FOC，∠AEF＝∠ACD，∴∠EAG＝∠EFC∴△AEG≌△FEC∴AE＝EF 3分〔2〕仍然成立 4分证明：如图2，过E作EG∥AB交AC于G，设AC、EF相交于O那么∠BAC＋∠AGE＝180°，∠BAC＝∠EGC∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB∴∠EGC＝∠ACB，∴EG＝EC∵AD∥BC，∴∠D＋∠FCE＝180°∵∠BAC＝∠D，∴∠AGE＝∠FCE∵∠AOE＝∠FOC，∠AEF＝∠ACD，∴∠EAG＝∠EFC∴△AEG≌△FEC∴AE＝EF 7分〔3〕不成立，此时AE＝kEF 8分证明：如图3，过E作EG∥AB交AC于G，设AC、EF相交于OEDCBAF图3OG同〔2〕可得∠AGE＝EDCBAF图3OG∴△AEG∽△FEC∴AE:EF＝EG:EC∵EG∥AB，∴△GEC∽△ABC∴EG:EC＝AB:BC＝k∴AE:EF＝k∴AE＝kEF 10分20．如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．〔1〕证明：B、C、E三点共线；〔2〕假设M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝eq\r(,2)OM；图2ABOCD1E1M1N1图1ABOCDEMN〔3〕将△DCE绕点C逆时针