数学必修2空间中的平行、垂直关系

空间中的平行关系1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。〔1〕求证：BC1∥平面CA1D；

〔2〕求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．1122.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥面ABCD,AB∥DC，AB⊥AD，AB＝2DC，M是PA的中点．求证DM∥面PBC3.如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．〔1〕证明：PQ∥平面BCD〔2〕假设二面角C﹣BM﹣D的大小为60°求∠BDC的大小．4.如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=/2．(1)证明：DE∥平面BCF；

(2)证明：CF⊥平面ABF；

(3)当AD=时，求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG．5.如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：

〔1〕平面EFG∥平面ABC；

〔2〕BC⊥SA．3346.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AB=AA1,证明平面A1BD∥平面C1D1B17.如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC.

(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证：QG∥平面PBC.8.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．

〔1〕证明：AA1⊥BD

〔2〕证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

〔3〕求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．空间中的垂直关系1.如图，

AB

是圆

O

的直径，

PA

垂直圆

O

所在的平面，

C

是圆

O

上的点．求证：

BC

⊥平面

PAC

；5562.如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;(2)求点B1到平面EA1C1的距离.3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．

〔Ⅰ〕证明：BD⊥平面PAC；

〔Ⅱ〕假设G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；

〔Ⅲ〕假设G满足PC⊥面BGD，求PG/GC的值．4.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=3/2，连接CE并延长交AD于F.求证：AD⊥平面CFG；5.在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．

〔1〕证明：AD⊥C1E；

〔2〕当异面直线AC，C1E

所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积．7786.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)证明:AB⊥A1C;

(2)假设AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABCA1B1C1的体积.7.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，PB＝PD＝2，PA＝.

证明：PC⊥BD；8.如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．

〔I〕证明：PB⊥CD；

〔II〕求点A到平面PCD的距离．9.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=π/3

〔Ⅰ〕求证：BD⊥平面PAC；

〔Ⅱ〕假设侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积．立体几何计算与证明综合应用1.〔2012•湖南〕如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．

〔Ⅰ〕证明：BD⊥PC；

〔Ⅱ〕假设AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积。99102.〔2012•江西〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4，现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG。〔1〕求证：平面DEG⊥平面CFG；

〔2〕求多面体CDEFG的体积。3.〔2012•辽宁改编〕如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=，点M，N分别为A'B和B'C'的中点．

〔I〕证明：MN∥平面A'ACC'；〔Ⅱ〕求三棱锥A'-MNC的体积4.

〔2012·陕西卷〕直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝90°.(1)证明：CB1⊥BA1；(2)AB＝2，BC＝，求三棱锥C1－ABA1的体积．5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1/2AA1，D是棱AA1的中点。〔1〕证明：平面BDC1⊥平面BDC；

〔2〕平面BDC1分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比。1111126.〔2012•江苏〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点〔点D不同于点C〕，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

〔1〕平面ADE⊥平面BCC1B1；

〔2〕直线A1F∥平面ADE7.〔2012•北京〕如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．

〔1〕求证：DE∥平面A1CB；

〔2〕求证：A1F⊥BE；

〔3〕线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．8.〔2012•福建〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点。〔1〕求三棱锥A-MCC1的体积；〔2〕当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC。9.〔2012•安徽〕如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1

是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点。〔1〕证明：BD⊥EC1；

〔2〕如果AB=2，AE=，OE⊥EC1，求AA1的长．13131410.〔2012•天津〕如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.

〔I〕求异面直线PA与BC所成角的正切值；

〔II〕证明平面PDC⊥平面ABCD；

〔III〕求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。空间几何综合应用1.假设正方体的棱长为，那么以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，那么三棱锥D1-EDF的体积为3.如图，正四棱锥P-ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，那么两个棱锥A-B1CD1，P-ABCD的体积之比是4.底面ABCD为长方体，AB=4，AD=3，AE=5,DG=8,CH=12，BF=9,且AE⊥底面ABCD,DG⊥底面ABCD,CH⊥底面ABCD,BF⊥底面ABCD，求该几何体体积？5.正四面体ABCD的外接球体积为4π,求四面体体积6.如图1那样，把这个筒的A面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm．按上面讲的条件答复以下问题：

〔1〕把B面作为底面，放在水平的桌面上，水面高多少厘米？

〔2〕把C面〔直角三角形的面〕作为底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米？7.如图〔1〕，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌