第八九章-重积分

12三月2024第八九章重积分§1.二重积分的概念1.平面集合的面积2.二重积分的定义设是平面上的一个有界闭区域.是零面积集合.是定义在上的函数.用两组相互横截的曲线将分成个小区域.并进一步假定分割的曲线都是零面积的.令.再任取,考察和

记

如果存在数,对,,使得只要,不论分割曲线组及中间点如何选取，那么就称在上可积.称为在上的二重积分.记作或.3.可积的必要条件与充分条件定理1.1若在可求面积的有界闭区域上可积,则在上有界.定理1.2设是平面上有界闭区域,边界是零面积集合.又设在上连续,则在上可积.4.二重积分的基本性质(1)(2)(3)(区域可加性)设且,都是可求面积的,在上均可积,则在上可积,且.(4)若,,则.(5)积分中值定理设在可求面积的有界闭区域上连续,则在上至少存在一点,使得,其中的面积.§2.二重积分的计算1.化二重积分为累次积分定理2.1设在有界闭区域连续,,其中是上连续函数,则,上式右端积分称为累次积分.例1求.例2求.例3写出所对应的累次积分,其中由所围.2.利用对称性化简计算例4.设,求,.例5.求.3.极坐标下二重积分的计算定理2.2设为可求面积的有界闭区域,在上可积,则其中.例6.设,,求.例7.将用极坐标化成二次积分,其中为(1)(2)由所围成(3)由所围成例8.求,其中是在第一卦限的部分.§3.二重积分的一般变元替换法则

设在可求面积的有界闭区域中连续.假定是一一对应,其中是有界闭区域.,在中有连续的一阶偏导数,并且,.

定理3.1在上述假定下,有下列公式推论.在上述假定下,区域的面积例1.,求.例2.,求.例3.求所围区域的面积.§4.三重积分的概念与计算1.三重积分的概念设是中可求体积的有界闭区域.是上函数.分割成个互不重叠的可求体积的小区域任取,,.

若对的任一分割法及中间点的任意选取,Riemann和的极限总存在,且为同一极限值,则称为在的三重积分,记为或.定理4.1设是可求体积的有界闭区域,在上连续,则在上可积.

2.三重积分的基本性质(1)(2)积分可加性设则(3)积分保序性若则(4)若在可积,则也在可积,且(5)积分中值定理设在连续,则存在,使得其中是的体积.3.三重积分的计算定理4.2设其中为平面上的可求面积的有界闭区域.是上连续函数,又是上连续函数.则定理4.3设是可求体积的有界闭区域,介于平面之间.,平面与的交集为一平面闭区域,又在连续,则

例1求,其中例2求,其中由所围.例3求,其中例4求,其中4.三重积分的换元公式定理4.4设是可求体积的有界闭区域.既是单射又是满射,其中有连续一阶偏导数,其雅可比式并设在连续,则5.柱坐标变换例5求,6.球坐标变换例6求,7.广义球坐标变换例7求,§5.重积分应用举例1.曲面面积例1.求的面积.例2.求圆柱面被所截部分的面积.2.质心3.转动惯量4.引力第九章曲线积分与曲面积分§1.第一型曲线积分的概念1.可求长曲线与弧长定理1.1(若当定理)若是的一条简单闭曲线,则是两个区域的并.这两个区域中的有界区域称为的内部.定义设是一条曲线,参数方程为起点,终点.对的任意分割在上得到一串点,这串点连成的折线长度记作

如果对于任意分割,有上界,那么称是可求长曲线.称作的弧长.性质1.若可求长,则的任意一段子弧也可求长.性质2.(可加性)若则其中分别为的弧长.定理1.2设是一条空间曲线,参数方程为并假定在上有连续导数,则是可求长的,且弧长公式为例1.设求弧长.2.第一型曲线积分的定义与性质定义.设是可求长曲线,起点,终点.又设定义在上.分割,上形成个弧段记为的弧长.任取

若对任意分割及任意选取的中间点,总存在,且极限值总等于,则称为在上的第一型曲线积分,记作注.与定积分,重积分类似有线性性,有限可加性,保序性.注.与定积分,重积分类似有线性性,有限可加性,保序性.注.第一型曲线积分与曲线的走向无关.3.第一型曲线积分的计算定义.设定义在空间曲线上,如果使得只要且那么就称在连续.若在上每一点连续,则称在上连续.定理1.3设是简单光滑非闭曲线,参数方程又设在上连续,则在上的第一型曲线积分存在,且例2.设又设求例3.设求§2.第二型曲线积分

给定用参数变化的过程来规定的定向.当一条曲线规定了走向之后,称之为有定向的曲线.1.第二型曲线积分的概念定义设是上一条可求长有定向曲线.起点,终点.是上函数.在上自起点开始,沿给定的定向依次取点其中.对分割成个小弧段.任取

若对任意分割及中间点的任意选取,极限都存在并总等于,称为在上的第二型曲线积分,记作注.向量表示性质12线性性3分段可加性4没有保序性2.第二型曲线积分的计算定理1.3设是有定向的简单光滑非闭曲线,参数方程假定的定向从到,又设在上连续,则则在上有第二型曲线积分,且例1.设圆锥螺线的定向为增加的方向,求3.平面第二型曲线积分格林公式若是简单闭曲线,将逆时针方向定为曲线的正向,这时记作.定理2.2格林公式设是平面上一条逐段光滑简单闭曲线.它所围有界闭区域记作.又设在上有一阶连续偏导数,则推论2.1在定理2.2条件下,当时,推论2.2若满足定理2.2条件,则的面积

或注.格林公式可推广到多条简单闭曲线所围成的区域.例2.求,其中为例3.求面积.例4.求,是任意一条不过原点的光滑简单闭曲线.4.平面第二型曲线积分与路径无关的条件命题2.1设是平面区域的连续函数,在内积分与路径无关的充要条件是：对内任意一条逐段光滑的简单闭曲线,都有定理2.4设是平面单连通域,在内有一阶连续偏导数,则在与路径无关的充要条件是：在内处处成立.5.恰当微分形式与原函数设是区域上函数,称

为一阶微分形式.如果在内存在一个二元可微函数,使得则称是恰当微分形式,并称为该微分形式的原函数.定理2.5设是平面单连通域,在内有一阶连续偏导数,则是恰当微分形式的充要条件是：在内处处成立.例6.设

证明：为一恰当形式,并求其原函数.§3.曲面积分1.关于曲面的基本概念设在区域连续,称作曲面的参数方程.若在有一阶连续偏导数,称曲面是光滑曲面.

设是光滑曲面,且曲面每一点处的法向量.曲面面积公式例1.求螺旋曲面的面积.2.第一型曲面积分的定义和计算定义.设有一曲面：其中为可求面积的有界闭区域.假定曲面是光滑曲面且.设是定义在上的函数.将分成有限个小区域,记为曲面上相应于的部分,是的面积.令.任取若极限存在,且极限值总是,不论怎样分割和中间点如何选取,则称为在上的第一型曲面积分,记作

若在上连续,且光滑.则例2.求3.曲面的定向设是光滑曲面.点的法向量有两个相反的指向.任意指定其中后的法向量记为.在上连续移动,也随之连续变化(不允许突然改取相反的方向).如果具有下列性质:不论沿怎样的路线在连续移动,当返回起点时,的指向没有改变,则称为双侧曲面,否则称为单侧曲面.4.第二型曲面积分定义设