浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.12 因式分解法解一元二次方程（知识讲解）（附参考答案）

专题2.12因式分解法解一元二次方程（知识讲解）【学习目标】1.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；2.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特别说明：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。【典型例题】类型一、解一元二次方程➽➼因式分解法➽➼运算1．用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1) (2)， (3)【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．（1）解：，，，，，，．（2）解：，，，或，，．（3）解：，，，．【点拨】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．举一反三：【变式1】用因式分解法解下列方程：(1)； (2)．【答案】(1) (2)【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．（1）解：，，即，∴，解得：；（2）解：，即，，解得：．【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．【变式2】解下列一元二次方程：(1)；(2)．【答案】(1) (2)【分析】（1）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）根据平方差公式因式分解，即可求解．解：（1）解：，，即，∴，解得；（2）解：，即，∴，∴，即，解得．【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．类型二、解一元二次方程➽➼因式分解法应用2．由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．如：分解因式：．（1）分解因式：（2）请用上述方法解方程：【答案】（1）2，4（或4，2）；（2），【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案；（2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解．解：（1）故答案为：2，4（或4，2）；（2）∵，或，解得：，．【点拨】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键．举一反三：【变式1】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①；②（2）已知关于的方程(是常数)是“邻根方程”，求的值．【答案】（1）①不是“邻根方程”；②是“邻根方程”；（2）0或−2．【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况，故可求解．解：（1）①解方程得：（x-3）（x+2）＝0，∴x1＝3，x2＝-2，∵3≠−2＋1，∴不是“邻根方程”；②x＝=，∴x1＝，x2＝，∵-=1，∴是“邻根方程”；（2）解方程得：（x−m）（x＋1）＝0，∴x1＝m，x2＝−1，∵方程（m是常数）是“邻根方程”，∴m＝−1＋1或m＝−1−1，∴m＝0或−2．【点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．【变式2】(2023秋·九年级单元测试）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果，已知A、B两区初始显示的分别是25和．如图．如：第一次按键后，A，B两区分别显示（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果：（2）从初始状态按4次后，得A，B两区代数式的和为1，求a的值．【答案】（1）A区显示的结果为，B区显示的结果为-16-6a；（2）a的值为2或1【分析】（1）根据程序规则即可得到按键2次后A、B两区显示的结果；（2）根据程序规则先得到按键4次后A、B两区显示的结果，再将两个结果加起来等于1得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得a值．解：（1）A区显示的结果为，B区显示的结果为﹣16﹣3a﹣3a=﹣16﹣6a；（2）按4次后A区显示的结果为，B区显示的结果为﹣16﹣12a，则，根据题意，得：，即，解得，a的值为2或1．【点拨】本题考查了整式的加减、解一元二次方程，根据题意能正确得出结果，并会解一元二次方程是解答的关键．类型三、解一元二次方程➽➼用适合的方法解一元二次方程3．按要求解下列方程：(1)；（配方法）；(2)；（因式分解法）(3)；（公式法）；(4)．（因式分解法）【答案】(1)， (2) (3)， (4)【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用公式法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程先即可．（1）解：∴，；（2）解：或x+4-5=0∴；（3）解：a=1，b=-6，c=-8∵，∴，∴，；（4）解：x-5=0或x+3=0∴．【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．举一反三：【变式1】用指定的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）（2）x2+2x﹣3=0（配方法）（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝1，x2＝﹣3；（3）x1＝3，x2＝﹣2；（4）x1＝﹣1，x2＝2．【分析】（1）直接利用开方法进行求解即可得到答案；（2）直接利用配方法进行求解即可得到答案；（3）直接利用公式法进行求解即可得到答案；（4）直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；解：（1）∵∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2；（2）∵x2+2x＝3，∴x2+2x+1＝4，∴（x+1）2＝4，∴x+1＝±2，∴x1＝1，x2＝﹣3；（3）∵x2﹣x﹣6＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣6）＝25，∴x＝，∴x1＝3，x2＝﹣2；（4）∵∴（x+1）（2﹣x）＝0，∴x+1＝0或2﹣x＝0，∴x1＝﹣1，x2＝2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.【变式2】解方程：(1)（公式法）；(2)（因式分解法）．【答案】(1)， (2)，【分析】（1）整理成一般式后运用公式法即可得出方程的解；（2）将（3x-4）看作整体因式分解后可得两个一元一次方程，解之可得．解：（1）(2x+1)(x+2)=3原方程整理，得．．∴．所以，方程的解为，．（2）原方程变形为．由，得．由，得．所以，方程的解为，【点拨】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．类型三、解一元二次方程➽➼纠错★★可化为一元二次方和的分式方程★★拓展4．解方程：2x－6＝3x(x－3)．小明是这样解答的：将方程左边分解因式，得2(x－3)＝3x(x－3)．……第一步方程两边同时除以(x－3)，得2＝3x.……第二步解得x＝.……第三步(1)小明的解法从第________步开始出现错误；(2)写出正确的解答过程．【答案】（1）二；（2）答案见分析．【分析】首先判定小明的解法从第二步开始出现错误，再利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可．解：（1）小明的解法从第二步开始出现错误；（2）2x﹣6=3x（x﹣3）2（x﹣3）=3x（x﹣3）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0（x﹣3）（2﹣3x）=0x﹣3=0，2﹣3x=0x1=3，x2=．【点拨】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．举一反三：【变式1】(2023春·八年级单元测试）解下列方程（1）

（2）【答案】(1)x1=1;(2)x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4.【分析】（1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解；（2）运用换元法求解即可.解：（1）方程两边同乘以(x+2)(x-2)，得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)，即x2-3x+2=0，∴x1=1，x2=2．检验：x=1时，(x+2)(x-2)≠0，知x=1是原方程的解；x=2时，(x+2)(x-2)=0，知x=2是原方程的增根.故原方程的根是x=1．（2）设x2－2x＝y，则原方程变形为（y＋2）（y＋1）＋25（y－2）（y＋1）＝24（y2－4）整理后，得y2－11y＋24＝0.解得y1＝3，y2＝8.①当y＝3时，x2－2x＝3,解得x1＝－1，x2＝3，②当y＝8时，x2－2x＝8.解得x3＝－2，x4＝4.经检验：x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4都是原方程的解.【点拨】此题主要考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练掌握运用分式方程的解法.【变式2】根据要求，解答下列问题：①方程的解为；②方程的解为，；③方程的解为，；…(1)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程的解为________；②关于的方程________的解为，．(2)请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性．【答案】(1)①，②，； (2)猜想正确，理由见分析【分析】（1）①根据已知方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．（2）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．(1)解：根据已知方程特征及其解的特征，得到：①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；故答案为：x1=1，x2=8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．故答案为：x1=1，x2=n．(2)解：x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确．【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了因式分解法解一元二次方程．类型三、解一元二次方程➽➼中考真题专练5．(2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则．小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见分析【分析】根据因式分解法解一元二次方程解：小敏：两边同除以，得，则．（×）小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）正确解答：移项，得，提取公因式，得，去括号，得，则或，解得，．【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．举一反三：【变式1】(2023·上海·中考真题）解分式方程：．【答案】x＝－4.【分析】首先去分母，化为整式方程，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到答案．解：去分母得2x2－8＝x2－2x，移项、整理得x2＋2x－8＝0，解得：x1＝2，x2＝－4．经检验：x＝2是增根，舍去；x＝－4是原方程的根．∴原方程的根是x＝－4．【点拨】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思路