高中数学人教B版《数列的递推公式(选学)》双基达标练

2.1.2数列的递推公式(选学)1．数列{an}满足an＋1＝an＋n，且a1＝1，则a5的值为 ()．A．9 B．10C．11 D．12解析a5＝a4＋4＝a3＋3＋4＝a2＋2＋3＋4＝a1＋1＋2＋3＋4＝11.答案C2．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，则此数列的第4项是()．A.eq\f(5,16) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(5,8)解析∵a1＝1，an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，∴a2＝eq\f(1,2)×a1＋eq\f(1,2)＝1，a3＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,22)＝eq\f(3,4)，a4＝eq\f(1,2)a3＋eq\f(1,23)＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).答案B3．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是 ()．A．5－3n B．3·2n－1－1C．5－3n2 D．5·2n－1－3解析由a1＝2，得a2＝2a1答案D4．已知数列{an}满足a1＝－eq\f(1,4)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n>1)则a4＝.解析a2＝1－eq\f(1,a1)＝5，a3＝1－eq\f(1,a2)＝eq\f(4,5)，a4＝1－eq\f(1,a3)＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)5．已知数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＝an－1－eq\f(1,2)(n≥2)，则an＝.解析an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋…＋(－eq\f(1,2))＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(n－1)＋eq\f(1,2)＝1－eq\f(n,2).答案1－eq\f(n,2)6．根据下面各个数列{an}的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N＋)；(2)a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)(n∈N＋)．解(1)a1＝0；a2＝a1＋1＝1；a3＝a2＋3＝4；a4＝a3＋5＝9；a5＝a4＋7＝16.由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可归纳出an＝(n－1)2.(2)a1＝1；a2＝eq\f(2a1,a1＋2)＝eq\f(2,3)；a3＝eq\f(2a2,a2＋2)＝eq\f(1,2)；a4＝eq\f(2a3,a3＋2)＝eq\f(2,5)；a5＝eq\f(2a4,a4＋2)＝eq\f(1,3).由a1＝1＝eq\f(2,2)，a2＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，a4＝eq\f(2,5)，a5＝eq\f(1,3)＝eq\f(2,6).可归纳出an＝eq\f(2,n＋1).eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋eq\f(1,n))，则an等于 ()．A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnn D．1＋n＋lnn解析由题意可知：an＋1＝an＋lneq\f(n＋1,n)，即an＋1－an＝ln(n＋1)－lnn，于是an＝(an－an－)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnn－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋lnn.答案A8．已知数列{an}满足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an0≤an<\f(1,2)，,,2an－1\f(1,2)≤an<1.))若a1＝eq\f(6,7)，则a2012的值为()．A.eq\f(6,7) B.eq\f(5,7)C.eq\f(3,7) D.eq\f(1,7)解析计算得a2＝eq\f(5,7)，a3＝eq\f(3,7)，a4＝eq\f(6,7)，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又知2010除以3余2，所以a2012＝a2＝eq\f(5,7).答案B9．数列{an}中，a1＝1，an＋1an＝an2＋(－1)n＋1(n∈N*)，则eq\f(a4,a2)＝.解析a2＝2，a3＝eq\f(3,2)，a4＝eq\f(13,6)，eq\f(a4,a2)＝eq\f(13,12).答案eq\f(13,12)10．已知数列的前n项和为Sn，满足log2(1＋Sn)＝n＋1，则数列的通项公式an＝________.解析∵log2(1＋Sn)＝n＋1∴1＋Sn＝2n＋1即Sn＝2n＋1－1当n＝1，a1＝S1＝22－1＝3当n≥2，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n＋1－2n＝2n∵an＝2n，对于n＝1，a1＝21＝2≠3∴通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3,2n))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1,n≥2))答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3,2n))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1,n≥2))11．在数列{an}中，a1＝1，a2＝eq\f(2,3)，且eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,an)＝eq\f(2,an－1)(n≥3，n∈N*)，求a3，a4的值．解令n＝3，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(2,a2)，将a1＝1，a2＝eq\f(2,3)代入，eq\f(1,a3)＝eq\f(2,a2)－eq\f(1,a1)＝3－1＝2，∴a3＝eq\f(1,2).令n＝4，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a4)＝eq\f(2,a3)，将a2＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(1,2)代入，eq\f(1,a4)＝eq\f(2,a3)－eq\f(1,a2)＝4－eq\f(3,2)＝eq\f(5,2)，∴a4＝eq\f(2,5).12．(创新拓展)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求它的通项公式．解∵(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0，∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.又∵an>0，∴an＋1＋an>0.∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1).