向量数量积的坐标运算与度量公式_第1页
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文档简介

2.3.3一、基础过关1. 已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k等于 A.-12 B.-6 C.6 D.2. 已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 ()A.-eq\f(1,7) B.eq\f(1,7) C.-eq\f(1,6) D.eq\f(1,6)3. 平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于 ()A.eq\r(3) B.2eq\r(3) C.4 D.124. 已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9),\f(7,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(7,3),-\f(7,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3),\f(7,9))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(7,9),-\f(7,3)))5. 若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于 A.-eq\f(π,4) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)6. 已知a=(3,eq\r(3)),b=(1,0),则(a-2b)·b=________.7. 若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180°,且|b|=4eq\r(5),则b=________.8. 已知a=(4,3),b=(-1,2).(1)求a与b的夹角的余弦;(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值二、能力提升9. 已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5eq\r(2),则|b|等于 ()A.eq\r(5) B.eq\r(10) C.5 D.2510.若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的射影为______.11.在△ABC中,eq\o(AB,\s\up6(→))=(2,3),eq\o(AC,\s\up6(→))=(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的值.12.设a=(1,2),b=(-2,-3),又c=2a+b,d=a+mb,若c与d夹角为45°,求实数m的值三、探究与拓展13.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4),(1)求证:AB⊥AD;(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值.

答案1.D2.A3.B4.D5.C6.17.(-4,8)8.(1)eq\f(2\r(5),25)(2)eq\f(52,9)9.C10.eq\f(\r(65),5)11.解∵eq\o(AB,\s\up6(→))=(2,3),eq\o(AC,\s\up6(→))=(1,k),∴eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=(-1,k-3).若∠A=90°,则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=2×1+3×k=0,∴k=-eq\f(2,3);若∠B=90°,则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=2×(-1)+3(k-3)=0,∴k=eq\f(11,3);若∠C=90°,则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=1×(-1)+k(k-3)=0,∴k=eq\f(3±\r(13),2).故所求k的值为-eq\f(2,3)或eq\f(11,3)或eq\f(3±\r(13),2).12.解∵a=(1,2),b=(-2,-3),∴c=2a+b=2(1,2)+(-2,-3=(0,1),d=a+mb=(1,2)+m(-2,-3)=(1-2m,2-3m∴c·d=0×(1-2m)+1×(2-3=2-3m又∵|c|=1,|d|=eq\r(1-2m2+2-3m2),∴cos45°=eq\f(c·d,|c||d|)=eq\f(2-3m,\r(1-2m2+2-3m2))=eq\f(\r(2),2).化简得5m2-8m+3=0,解得m=1或m=eq\f(3,5).13.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴eq\o(AB,\s\up6(→))=(1,1),eq\o(AD,\s\up6(→))=(-3,3),又∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))=1×(-3)+1×3=0,∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→)),即AB⊥AD.(2)解eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→)),四边形ABCD为矩形,∴eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→)).设C点坐标为(x,y),则eq\o(AB,\s\up6(→))=(1,1),eq\o(DC,\s\up6(→))=(x+1,y-4),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+1=1,,y-4=1,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=0,,y=5.))∴C点坐标为(0,5).由于eq\o(AC,\s\up6(→))=(-2,4),eq\o(BD,\s\up6(→))=(-4,2),所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))=8+8=16>0,|eq\o(AC,\s\up6(→))|=2eq\r(5),|eq\o(BD,\s\up6(→))|=2eq\r(5).设eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))夹角为θ,则cos

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