2023-2024学年山东省菏泽市高三下学期开学考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东省菏泽市高三下学期开学考试数学模拟试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则下列关系一定正确的是(

)A. B. C. D.2.已知复数z满足其中i为虚数单位，且z的虚部为，则(

)A. B. C. D.3.如图，高速服务区停车场某片区有A至H共8个停车位每个车位只停一辆车，有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为(

)ABCDEFGHA. B. C. D.4.已知数列是公差为d的等差数列，对正整数m，n，p，若，则是的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件 D.充要条件5.已知，，则(

)A. B. C. D.6.设直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量为A. B. C. D.7.若圆锥的内切球半径为1，圆锥的侧面展开图为一个半圆，则圆锥的体积为A. B. C. D.8.十六进制是一种逢16进1的计数制．我国曾在重量单位上使用过十六进制，比如成语“半斤八两”，即十六两为一斤．在现代，计算机中也常用到十六进制，其采用数字和字母共16个计数符号．这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：，则A. B.72 C. D.BD二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有(

)A.

B.在方向上的投影向量为

C.若，则

D.若，则10.已知数列的前n项和为，且，，则(

)A. B.是等比数列

C.的最大项为 D.是等差数列11.设，，，动点M满足，记M的轨迹为曲线C，过坐标原点的直线交C于P，Q两点，P在第一象限，直线PE垂直于x轴且垂足为E，直线QE交C于G，则A.C的方程为 B.为直角三角形

C.面积的最大值为2 D.面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知展开式中常数项为280，则__________.13.已知函数的部分图象如图中实线所示，圆C与图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为__________.

14.已知展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分已知正项数列的前n项和为，且求数列的通项公式;若，求数列的前n项和16.本小题17分已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，证明：是等腰三角形;若，求a的值.17.本小题15分

如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，

求三棱锥的体积;求MC与平面所成角的正弦值.18.本小题15分

学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每位同学测试的结果互不影响.

若A，B，C三位同学选择甲方案，D，E两位同学选择乙方案，求5位同学全部测试合格的概率；

若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其均值；

若测试合格的人数的均值不小于3，直接写出选择甲方案进行测试的同学的可能人数.19.本小题17分国际象棋是国际通行的智力竞技运动．国际象棋使用格黑白方格相间棋盘，骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的格灰色方格．若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：①每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格；②棋盘上每一格都被骨牌覆盖；③没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋盘的一种完全覆盖．显然，我们能够举例说明格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖．证明：切掉格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；请你切掉格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式，并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；记格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为，数列的前n项和为，证明：

答案和解析1.【正确答案】C

【分析】

本题重点考查并集运算和集合的包含关系，属于基础题.

分析集合B中的元素，结合选项即可判断.

解：因为集合，，

则集合B一定含有2，3，可能含有0，1，

由选项可知，只有C正确，

故选C2.【正确答案】B

【分析】

本题考查了复数的模，属于基础题．

利用复数的模的运算法则、求得，由复数的模，即可计算答案．

解：，

，即，

的虚部为，

设，

，

解得，

则

故选3.【正确答案】A

【分析】本题考查条件概率的计算，考查排列数的应用，考查古典概型，属于中档题.

设事件“两辆黑色车停在同一列”，事件“两辆白色车停在同一列”，根据即可求解.

解：设事件“两辆黑色车停在同一列”，事件“两辆白色车停在同一列”，

则所求概率为

因为，，

所以

4.【正确答案】D

【分析】

本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

利用等差数列的性质和通项公式，结合充分、必要条件的定义即可判断.

解：由题意，若，则，

则，

则，

则是的充要条件.5.【正确答案】A

【分析】

本题考查三角函数求值问题，属于一般题.

利用已知求得，由同角基本关系即可求解.

解：因为，

，且

则，解得，

则，则，

又，，

解得6.【正确答案】D

【分析】本题考查投影向量的计算，属于基础题

根据题意，求得，结合，代入即可求解.【详解】直线l的方向向量为和，可得，则向量直线l上的投影向量的坐标为故选：7.【正确答案】C

【分析】

本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥的结构特征，属于一般题.

根据题意，利用圆锥侧面展开图扇形弧长可构造方程求得，利用圆锥轴截面面积可构造方程求得r的值，代入圆锥体积公式即可.

解：根据题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，

圆锥侧面展开图为半圆，

侧面展开图扇形弧长为，则，

作出圆锥的轴截面如下图所示，其中O为圆锥内切球球心，

，

又，

，解得：，，

圆锥体积为8.【正确答案】A

【分析】本题考查进位制的运算，属于基础题.

在表格中找出A和B所对应的十进制数字，然后根据十进制表示出，根据表格中E对应的十进制数字可把用十六进制表示.解：由表，，商是6余数是14，故，应选9.【正确答案】AB

【分析】本题考查平面向量的运算，属于基础题.

由题意可得，根据可判断A；根据在方向上的投影向量为可判断B；根据可判断C；根据数量积的运算律可判断

解：因为，都是单位向量，所以，

所以，即，故A正确；

在方向上的投影向量为，故B正确；

若，则，即，即

因为，所以，故C错误；

若，则，

所以，即，故D错误.

故选10.【正确答案】ABD

【分析】

本题考查等差、等比数列的判定及等差数列的前n项和，属于中档题.根据给定条件，可得数列是等差数列，再结合等差数列性质逐项判断即得.

解：由，得数列是等差数列，令其公差为d，由，得，对于A，，A正确；对于B，为常数，数列是等比数列，B正确；对于C，由知，d的取值不确定，

当d为正数时，数列单调递增，数列无最大项，C错误；对于D，，，于是，数列是等差数列，D正确.故选：ABD11.【正确答案】BD

【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，属于较难题.

对A，设，由直线AM和BM的斜率之积为列式得方程;

对B，设，，得，结合点在椭圆上求得，即可证

对C，求出与直线AN平行且与曲线C相切且切点在第一象限的切线方程，结合点线距离求得最大面积;

对D，直线PQ的方程为，联立抛物线方程解得P点坐标，即可求直线PG方程，结合韦达定理及铅锤法得，最后讨论最大值.

解：对设，则，化简得：，故A错误;

对设，，，，则，，

，

又，，有，则，

则，，故B正确;

对与直线AN平行且与曲线C相切且切点在第一象限的切线方程为，

联立得，由得，

所以切线为，两平行直线的距离，

此时面积最大，最大值为，故C错误;

对设直线PQ得方程为，联立，解得

则直线，

联立直线PG与曲线C的方程可得，

则，

，

令，，因为在，即上单调递增，故，

，当且仅当时等号成立，故D正确，

故选：12.【正确答案】7

【分析】

本题考查二项式展开式的特定项，属于中档题.

根据二项式定理

展开式的通项公式，，

再对n分奇数和偶数进行讨论，可解得n的值.

解：展开式的通项公式为，，，

①当n为偶数时，则为偶数，

所以当时，此时的展开式中常数项为，此时方程无解；

②当n为奇数时，则为奇数，

所以当时，此时的展开式中常数项为，解得，；

所以，

故答案为13.【正确答案】

【分析】本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由点的对称性求出点C的横坐标为，可得函数的周期以及值，由五点作图求出，可得函数的解析式，属于中档题．

由题意利用由点的对称性求出点C的横坐标为，可得函数的周期以及值，由五点作图求出，可得函数的解析式，从而求得N点坐标，由两点间距离求出圆的半径．

解：根据函数的部分图象，

由图可知，M，N关于点C对称，易得点C的横坐标为，

的周期，所以，

函数

结合五点法作图，可得，

，，

故，，即，

所以圆的半径为，

故答案为14.【正确答案】12

【分析】本题考查二项式定理，二项式系数的最大值、系数的最大的项，属于一道较难的题.

由的二项展开式的通项，可知展开式的二项式系数为，当时，二项式系数的最大值为a，展开式的系数为，当满足时，系数的最大值为b，求解即可.解：由题意可知展开式的二项式系数为，当时，取得最大值展开式的系数为，当满足时，系数最大.即，即解得又，时，系数的最大值为则故1215.【正确答案】解：因为，

所以当时，，

所以，

整理，得

因为，

所以，

所以数列是公差为2的等差数列.

当时，，

解得，

所以数列的通项公式为

由得

记，，则

因为，，

所以，

所以，

所以

本题考查由数列的递推公式求数列的通项，以及用错位相减法和分组求和法对数列求和，属于一般题.

根据题意得，再因式分解为，即可得到，根据等差数列的定义，可知为等差数列，易得其通项公式；

由题意用分组求和法和错位相减法对数列求和.16.【正确答案】解：证明：由，及正弦定理，得

，

即，

即

因为，所以，

即

因为，，

所以或

因为，所以，又，所以

故是等腰三角形.

解：因为，，即，则

由可得

因为，

所以

由正弦定理，得

因为，所以

结合，解得

本题考查解三角形和三角恒等变换，属于一般题.

利用正弦定理和三角恒等变换公式求出，分析出，即可得证;

利用正、余弦定理即可求解.17.【正确答案】解：取BC的中点O，连接OA，

因为在底面ABC上的射影为O，

所以面ABC，

在三棱柱中，面面，

所以面因为面，

所以

在中，M为线段的中点，

因为，

所以

因为面，面，，

所以面

所以

设C到平面的距离为d，则

在中，，，

所以

所以

设MC与平面所成角为，则

所以MC与平面所成角的正弦值为

本题主要考查棱锥的体积、直线与平面的夹角等，属于中档题.

先利用线面垂直定理判定面然后利用棱锥体积公式即可；

先求出C到平面的距离为d，然后利用即可.18.【正确答案】解：，B，C三位同学选择甲方案，D，E两位同学选择乙方案，

由已知A，B，C测试合格的概率为，D，E测试合格的概率为，

位同学全部测试合格的概率为；

由已知随机变量X的取值有0，1，2，3，4，5，

，

，

，

，

，

，

的分布列为：X012345P；

设选择甲方案测试的同学个数为n，，1，2，3，4，5则选择乙方案测试的同学个数为，

并设通过甲方案测试合格的同学个数为，通过乙方案测试合格的同学个数为，

当时，此时所有同学均选择方案乙测试，则，

，不符合题意；

当时，此时所有同学均选择方案甲测试，则，

，符合愿意；

当，2，3，4时，，

，

若使，则，

由于，2，3，4，故，4时符合题意，

综上，选择甲方案测试的同学个数为3，4或者5时，测试合格的同学个数的期望不小于

利用独立事件的概率乘法公式求解；

由条件确定随机变量X的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，并由期望公式求期望；

设选择甲方案测试的同学个数为n，通过设通过甲方案测试合格的同学个数为，通过乙方案测试合格的同学个数为，利用二项分布期望公式和期望的性质求，由条件确定n的取值．

本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．19.【正确答案】解：由于每块骨牌覆盖的都是相邻的两个异色方格，

故棋盘的黑白方格数目相同是其能被骨牌完全覆盖的必要条件，

但切掉

格黑白方格相间棋盘的对角两格后，

要么黑色方格比白色方格多两个，

要么白色方格比黑色方格多两个，

故余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；切掉两个异色方格并作完全覆盖示例如图1；

如图2，

格黑白方格相间棋盘能够被红线分割为黑白方格依次相邻且首尾相接的“方格条”，

无论切掉其中哪两个黑白方格，都会将“方格条”拆