《等边三角形的性质和判定》课件（2套）

13．3等腰三角形13．3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定教学目标1．掌握等边三角形的定义．2．理解等边三角形的性质与判定．重点等边三角形的性质和判定．难点等边三角形的性质的应用．重点和难点教学设计一、问题引入在等腰三角形中，如果底边与腰相等，会得到什么结论？二、自主探究1．等边三角形的定义底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形．2．思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？边：三条边都相等．角：三个角都相等，并且每一个角都等于60°.3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？为什么？你从中能得到什么结论？三个角都相等的三角形是等边三角形．4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°，那么结论还成立吗？(3)由上你可以得到什么结论？有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．三、应用举例1．教材例4.例4如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠A＝∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形．2．归纳：在判定三角形是等边三角形时：(1)若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边相等；(2)若三角形是等腰三角形，一般是找一个角等于60°.四、巩固练习教材第80页练习第1，2题．补充题：1．如图，已知等边△ABC，点D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．2．如图，已知等边△ABC，点D是AC的中点，且CE＝CD，DF⊥BE.求证：BF＝EF.第2题图

第1题图

教师提出要求，补充题1，2可以让学生板书过程．五、总结提高小结：通过本节课的学习，你了解到了等边三角形有哪些特点？怎样判定一个三角形是等边三角形？布置作业：教材习题13.3第12，14题．教学中设计了两个问题：把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？类似地，你又能得到哪些等边三角形的判定方法？让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组间充分讨论后概括所得结论．这既巩固应用等腰三角形的知识，又类比探索等边三角形性质定理和判定定理的方法，并使学生加深对等腰三角形与等边三角形的联系与区别的理解．教学反思知识点1：等边三角形的性质1．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是()A．105°B．120°C．135°D．150°2．如图是一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是()A．180°B．220°C．240°D．300°BC3．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝____°.304．如图，已知P，Q是△ABC的BC边上的两点，BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数为_______°.1205．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.(1)求证：AD＝CE；(2)求∠DFC的度数．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC，又∵BD＝AE，∴△ABD≌△CAE(SAS)，∴AD＝CE(2)解：∵△ABD≌△CAE，∴∠BAD＝∠ACE，∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACF＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°知识点2：等边三角形的判定6．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有()A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④7．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中等边三角形的个数是()A．2B．3C．4D．5DD8．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是____

cm.189．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形．10．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是()A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形11．如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD，BE交于点F，则∠AFB等于()A．50°B．60°C．45°D．75°DB13．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝ED，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠DBC＝∠EAC，又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠EAC，∴AE∥BC14．如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，点E在线段AD上，求证：BD＋CD＝AD.解：证△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD，又BD＝ED，∴AD＝AE＋ED＝BD＋CD15．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点，且CE＝CD，AD＝DE.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)如果把AD改为△ABC的中线或高(其他条件不变)，请判断(1)中结论是否依然成立？(不要求证明)(1)证明：∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∴∠ACB＝2∠E.又∵AD＝DE，∴∠E＝∠DAC.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠E，∴∠ACB＝∠BAC，∴BA＝BC，又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形(2)解：当AD为△ABC的中线或高时，结论依然成立16．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN.(1)求证：MN＝BM＋NC；(2)求△AMN的周长．(1)证明：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°.∵△ABC等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，由SAS可证△BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠BDM＋∠CDN＝60°，∴∠FDM＝∠BDM＋∠CDN＝60°，由SAS可证△DMN≌△DMF，∴MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN

(2)解：由(1)知MN＝MB＋CN，∴△AMN的周长是AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋CN＋AN＝AB＋AC＝6方法技能：1．等边三角形的性质：(1)三个内角都相等，每一个角都等于60°；(2)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(3)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形的判定：(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．易错提示：对“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定方法理解不透而出错．等边三角形的性质和判定名称图形概念性质与边角关系

判定

等腰三角形ABC有两边相等的三角形是等腰三角形。2.等边对等角,3.三线合一。4.是轴对称图形.2.等角对等边,1.两边相等。1.两腰相等.复习等边三角形

在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等。

我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）。1.等边三角形的内角都相等吗?为什么?

由已知:AB=AC=BC,

∵AB=AC∴∠B=∠C(为什么?)

同理∠A=∠C∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°结论:等边三角形的内角都相等,且等于60°.等边三角形性质探索:ABC2.等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？结论:等边三角形是轴对称图形，有三条对称.等边三角性质探索:3.等边三角形每边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一吗?为什么?

结论:等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一,它们交于一点,这点叫三角形的中心.等边三角性质探索:ABCO等边三角形的性质1.等边三角形的内角都相等,且等于60°2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称.3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.1.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形.∵∠A=∠B=∠C=60°∴AB=AC=BC(为什么)∴三角形△ABC是等边三角形.等边三角形判定探索:AaBCAC2.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.假若AB=AC.则∠

B=∠C当顶角∠A=60°时,∠B=∠C=60°∴∠A=∠B=∠C=60°

∴△ABC是等边三角形.当底角∠

B=60时,∠C=60°,∠A=180—(60°+60°)=60.°∴∠A=∠B=∠C=60°

∴△ABC是等边三角形.ABC等边三角形的判定方法:1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形.3.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.1如图,等边△ABC中,三条内角平分线AD,BE,CF相交于点O.(1)△

AOB.△

BOC和△

AOC有什么关系?请说明理由.(2)求∠

AOB,∠

BOC,∠

AOC的度数.△ABC绕O旋转,问要旋转多少度,就能和原来的三角形重合(只要求说出一个旋转度数.)AFBDCEF例题1.三边都相等的三角形叫做____三角形.2.等边三角形的每个内角都等于____度.3.等边三角形有____条对称轴.4.等边三角形的对称轴的交点叫___.等边三角形绕中心至少旋转___