2023年河南省焦作市高考文科数学一模试卷及答案解析

2023年河南省焦作市高考文科数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合P={R-l<x<2},β={x∣0<x<3},那么PUQ=()

A.(-1,3)B.(0,2)C.(-1,0)D.(1,3)

2.(5分)已知复数Z=含，则因=()

A.√2B.√3C.√5D.√Tθ

3∙（5分）某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决

定增加生产线.经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数X与月产量y（件）

之间的统计数据如表：

X46810

y30406070

由数据可知X,y线性相关，且满足回归直线方程y=bx+l,则当该款新产品的生产线

为12条时，预计月产量为()

A.73件B.79件C.85件D.90件

x+3≥0,

x-2y+l<0,则z=y-χ的最大值为()

{2x+y+2≤0,

A.1B.2C.6D.7

6.(5分)设α,∕j∈(0,分且tanα=丹,则()

A.3α-β=*B.2a-β=JC.3a邛=WD.2a+β=ɪ

7.（5分）已知圆柱0∣02的下底面圆。2的内接正三角形ABC的边长为6,P为圆柱上底面

圆Oi上任意一点，若三棱锥P-ABC的体积为12√3,则圆柱OIO2的外接球的表面积为

（）

A.36πB.64πC.144πD.252π

8.（5分）在直三棱柱ABC-AlBICIΦ,ABYBC,J≡LAB=BC=I,若直线ABl与侧面AAIClC

TC

所成的角为三，则异面直线48与AC所成的角的正弦值为（）

6

1√3√2√3

A.—B.—C.—D.—

2322

（∏x—1.

9.（5分）已知函数f（x）=ɔ在R上单调，则a的取值范围是（）

（-%2+2x+l,X≤1

A.（1,3）B.（1,3]C.（3,+8）D.[3,+∞）

10.（5分）以抛物线C：夕=人的焦点F为端点的射线与C及C的准线/分别交于A,B

两点，过B且平行于X轴的直线交C于点P,过A且平行于X轴的直线交/于点Q,且

MQl=M则APB尸的周长为（）

A.16B.12C.10D.6

11.（5分）已知双曲线C：=l（a>0,b>0）的左、右焦点分为F∖,F2,左、右顶

点分别为A∣,A2,点M,N在y轴上，且满足0%+2θλ=G（O为坐标原点）.直线

MAi,MA2与C的左、右支分别交于另外两点P,Q,若四边形PQE?为为矩形，且P,

N,A2三点共线，则C的离心率为（）

L3

A.3B.2C.√3D.-

2

12.（5分）己知实数小b,C满足a=仇（2近。），b=ln（3y∕eb）,C="c+e—1,且（2a

-1）（3⅛-1）（c-e）≠0,则（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知正六边形ABCDEF的边长为2,W∣jΛ⅛∙DF=.

14.（5分）已知圆Cι,C2的圆心都在坐标原点，半径分别为1与5.若圆C的圆心在X轴

正半轴上，且与圆Cι,C2均内切，则圆C的标准方程为

15.(5分)己知，(X)=Sin(3x+φ)(∣φ∣<^])为奇函数，若对任意α∈[-^,§],存在β∈[-

a],满足/(a)+f(β)=0,则实数a的取值范围是.

16.(5分)如图，已知AB为圆O的直径，EC=BC=BD=DF,AB=4,则六边形AECBz)F

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

17.(12分)在数列｛aQ中，a∣=l,n+1——=2π.

n+1n

⑴设为=黑，求数列｛加｝的通项公式；

(2)设Cn=i+=(HD"'且数列0｝的前"项和为Tn,若Tk=g,求正整数k的值.

QMaTI+1ʊɔ

18.(12分)某出租车公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾

驶技术和服务水平两个方面进行了考核，并从中随机抽取了100名驾驶员，这100名驾

驶员的驾驶技术与性别的2X2列联表和服务水平评分的频率分布直方图如下，已知所有

驾驶员的服务水平评分均在区间[76,1001内.

驾驶技术优秀非优秀

男2545

女525

(1)判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关;

(2)从服务水平评分在[92,96),[96,100]内的驾驶员中用分层抽样的方法抽取5人,

再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有2人的评分在[92,96)内的概率.

2

附：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中"=a+b+c+d.

P(K22A))0.100.0500.010

ko2.7063.8416.635

频率

评分

19.(12分)在如图所示的六面体ABC-AiDiBiCi中，平面ABC〃平面AIDIBICI,AA∣

CCi,BC=2B∖C∖,AB=2A∖D∖.

(1)求证:AC〃平面BBID；

(2)若AC,BC,CCI两两互相垂直，AC=2,CCl=3,求点A到平面BCZ)I的距离.

20.(12分)已知函数/(x)=(X-I)eκ+ax1.

(1)若αV-4,求F(X)的单调区间；

(2)若关于X的不等式f(x)≥|χ3+ɑeX+4ɑ在［0,+∞)上恒成立，求实数”的取值

范围.

X2y21

21.(12分)已知椭圆E：/+记=l(α>b>0)的离心率为鼻，点尸(0,1)在短轴AB上，

S.PA-PB=-I.

(1)求E的方程:

(2)若直线/：y^kx+m(∕τz≠O)与E交于C,O两点，求AOCO(点O为坐标原点)

面积的最大值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

X—√3+ɪt

22.(10分)在直角坐标系Xoy中，已知点P(√^,2),直线/的参数方程是,=2+k

为参数)，以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

是p2=(2p-sinθ)sinθ+(2p-cosθ)cosθ.

(1)求/的普通方程与曲线C的直角坐标方程;

11

(2)设/与。相交于点A,B,求7777+7ZZ7的值•

IP川IPBl

［选修4・5：不等式选讲］

23.已知正实数X,y,Z满足x+2y+4z=3.

…111

(1)证明：一+——+一≥3；

X2y4z

(2)求f+J+z?的最小值.

2023年河南省焦作市高考文科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合P=M-1VχV2},Q={x∣0VχV3},那么PUQ=()

A.(-1,3)B.(0,2)C.(-I,0)D.(1,3)

【解答】解：因为P={M-l<x<2},β={x∣0<x<3},

所以PUQ={x[-l<x<3}.

故选：A.

2.(5分)已知复数Z=律，则闭=()

A.√2B.√3C.√5D.√Tθ

【解答】解：复数L=含=I+称IT)=2τ,故2=2+i,

所以⑶=√22+12=1.

故选：C.

3.(5分)某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决

定增加生产线.经过一段时间的生产,统计得该款新产品的生产线条数X与月产量y(件)

之间的统计数据如表：

X46810

y30406070

由数据可知X,y线性相关，且满足回归直线方程y=bx+l,则当该款新产品的生产线

为12条时，预计月产量为()

A.73件B.79件C.85件D.90件

【解答】解：根据题意可得M=ɪ(4+6+8+10)=7,y=ɪ(30+40+60+70)=50,

又回归直线方程y=bx+l必过样本中心点⑨y),

50=76+1,Λ⅛=7,

，回归直线方程为y=7x÷1,

J当X=I2时∙，y=7x12+1=85,

故当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为85件.

故选：C.

3≥O

4.(5分)若实数X,y满足约束条件Jx-2y+l≤0,则z=)一X的最大值为()

(2%+y+2≤0,

A.1B.2C.6D.7

【解答】解：作出可行域如下,

X+3=0yt1

,),(-3,4)

^^x+y+2=0

.

^⅛y+l=0

一>

C(-吵h

/\

由Z=y-χ可得y=x+z,结合Z的几何意义可知，

当直线y=x+z经过点8(-3,4)时，纵截距Z有最大值，

最大值为4-(-3)=7,

故选：D.

5.(5分)函数/(x)=品用的大致图象为()

飞：HW

A.：：B.HF

c+寸

d―?

久％_久一％

【解答】解：函数/(x)=⅛⅛i'∕(-^=⅛⅛=-⅛⅛=-/∞-函数是

奇函数，排除A；

Ax-A-x

x>1时，/(x)=号X),排除B；

L+8时，/(X)=龈F+8,排除。,

故选：C.

6.(5分)设*£∈(0，ɪ),且tanα=则()

TT

A.3α-β=ɪB.2a-β=ɪC.3a÷β=ɪD.2a+β=ɪ

CoSB--.,sinacosβ

【解答】解:因为tana=不踹'所rr以福=五诉，

即sina+sinasinβ=cosacosβ,

即Sina=COSaCOsβ-sinasinβ=cos(a+β),

BPcos(a+夕)=sina=CoSG-

因为a,β∈(0,为，所以a+β∈(0,π),

所以a+0=*—a,即2a+S=*.

故选：D.

7.(5分)已知圆柱0∣02的下底面圆3的内接正三角形ABe的边长为6,尸为圆柱上底面

圆Oi上任意一点，若三棱锥P-ABC的体积为12√3,则圆柱OiO2的外接球的表面积为

()

A.36πB.64πC.144πD.252π

【解答】解：因为AABC是边长为6的正三角形，则其外接圆的半径2r=益炉，解得

O(∙>CUU

V—2√3,

A/ɔ

所以S"BC=Jx62Sin60。=ɪ×62=9√3,

设圆柱的母线长为/,

1-1

则4-4BC=35ΔΛBC∙^=3×9√3×Z=12√3,解得1=4,

22

所以圆柱O1O2的外接球的半径R=9+(g)2=J(2√3)+2=4,

所以外接球的表面积为S=4πΛ2=64π.

故选：B.

8.（5分）在直三棱柱ABC-AlBlCI中，AB，BC,且A8=BC=2,若直线ABl与侧面AACC

π

所成的角为7则异面直线48与AC所成的角的正弦值为（）

6

1√3√2√3

A.-B.—C.—D.—

2322

【解答】解：如图，取AICI的中点H,连接

根据题意易得囱目_1_侧面A4∣CιC,

.∙.直线Afii与侧面A4CC所成的角为NBIA”=%

又易知BlH=√Σ,/.BiA=2√2,

又AIBl=2,ΛAιA=2,.'.CiC=2,又BC=2,

.,.BCi=2√2,又易知AlCl=2√Σ,

Λ∆ΛιBC∣为正三角形，

.∖ZBA∣Cι=j,

,

'.AC//AlCi,

异面直线AlB与AC所成的角为∕B4G=半

.∙.异面直线AIB与AC所成的角的正弦值为

2

故选：D.

ax—1,x>l

9.(5分)已知函数/(x)=在R上单调，则Q的取值范围是()

-X2+2%+1,%≤1

A.(1,3)B.(I,3]C.(3,+8)D.[3,+∞)

【解答】解：y=-Λ2+2X+1的开口向下，对称轴是直线x=l,

所以函数y=-∕+2x+l在(-8,D上单调递增，

依题意可知，f(%)在R上单调递增，

所以(α>l,,解得。23,

Ia1-1≥-I2+2×1+1

所以”的取值范围是[3,+∞).

故选：D.

10.(5分)以抛物线Cy2=4χ的焦点f为端点的射线与C及C的准线/分别交于A,B

两点，过B且平行于X轴的直线交C于点P,过4且平行于X轴的直线交/于点。，且

MQI=W,则aPBF的周长为()

A.16B.12C.IOD.6

【解答】解：根据题意，可得尸(1,0),准线为X=-1,

4

V∖AQ∖=ɜ,如图，设4(x,y),

则X+1=*,∙∙x—.,.√4(^∙,.

2√3

3

∙,∙直线A尸方程为：-^――1,即y=—V5Q—1),

x-1—1

3

将X=-I代入y=-√5(x-1)中，可得'=2旧，所以B(-L2√3),

将y=2次代入y2=4χ中，可得χ=3,所以P(3,2√3),

,周长CΛPBF=∖FB∖+∖PF∖+∖PB∖，

则FBl=√22+12=4,∖PF∖=∖PB∖=4,

故C&PBF=12.

故选：B.

=l（α>O,b>O）的左、右焦点分为Fι,F2,左、右顶

点分别为Aι,A2,点、M,N在y轴上，且满足6+2加=3（。为坐标原点）.直线

MA∖,M42与C的左、右支分别交于另外两点P,Q,若四边形2。乃尸1为矩形，且P，

N,A2三点共线，则C的离心率为（）

L3

A.3B.2C.√3D.-

【解答】解：如图所示：

由。力+2θλ=G,则有疝=一2碗，

设N(0,〃)，则M(0,-2〃),

(X=C(x=ch2

由孱*1，可得］y=±0取QC-，，

同理可得P(—c,-ɪ),

又因为AI(-a,0),A2(a,0),P,N,A2三点共线,

n

所以=选，

kp&a'

所以-六而

,2

所以TI=一乐,

P,Mf4三点共线，

=

所以kpA]=7⅛,^MA1

出

所以工2n

c-aa

2

所以如=l3，

,2

又因为n=—讦P

所以一照=3'即一磊=H⅛'解得c=34,

所以e=T=3∙

故选：A.

12.(5分)已知实数α,b,C满足α=伍(2五。)，b=ln(3y∕eb),c=Inc÷β—1,且(2〃

-1)(3⅛-1)(C-C)≠0,则()

A.c<a<hB.c<h<aC.a<h<cD.a<c<h

【解答】解：因为(.2a-1)(3⅛-1)(C-e)≠O,

11

所以Q≠),h≠ɜ/c≠e,

111

因为Q=∕n(2√eα)=ln2+]+伍Q，所以Q—Ina=ɪ~仇2，

-1II

因为b—lτι(3VFb)=∕∏3+3+Inb,所以b—lτιb=W一必可，

因为C=Eτ+e-l,所以C-仇c=e-历e,

1Y—1

令f(x)=x-Inx9则f'(%)=1—彳=ʒ-(%>0),

当OVXVl时，f(X)<0,当x>l时，f(x)>0,

所以函数/(x)在(0,1)上递减，在(1,+°o)上递增，

所以/G)min=f(1)=1，

又当X>0,XfO时，f(x)→+o°,当χf+8,f(χ)-→÷co,

由此作出函数/(x)的大致图象如图所示,

因为f(α)=f&)，/(b)=f(},/(C)=f(e)且α≠±,b≠∣,c≠e,

则由图可知b>α>l,O<c<l,

所以c<a<b.

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知正六边形48CDE尸的边长为2,则1.防=-6.

【解答】解：由题意，作图如下：

在正六边形ABCDE尸中，易知NEf）F=30°,AB=ED,NFDC=90°,NDFC=30°,

则而与赤的夹角为150°,即（而，DF）=150°,

在RtZXDFC中，DF=—=2√3,AB-DF=ED-DF=∖ED∖■∖DF∖■cos{ED,DF）=

CL‰¾fvɔ∖JH

-6.

14.（5分）已知圆Cι,C2的圆心都在坐标原点，半径分别为1与5.若圆C的圆心在X轴

正半轴上，且与圆Cl,C2均内切，则圆C的标准方程为（χ-2）2+y2=9.

【解答】解：•••圆口,C2的圆心都在坐标原点，半径分别为1与5,

圆C的圆心在X轴正半轴上，且与圆C∣,C2均内切，

圆心C的横坐标为:D=2,半径为r=左尹=3,

二圆C的标准方程为：(X-2)2+√=9.

故答案为：(χ-2)2+>2=9.

15.(5分)己知,(X)=Sin(3x+φ)(∣φ∣<^*)为奇函数，若对任意α∈[-g,~^∙∖,存在βe[g,

a],满足,f(a)+∕∙<β)=0，则实数a的取值范围是_[一

V9

【解答】解：∙"(x)=sin(3x+φ)(∣φ∣<^)为奇函数，

.∙.φ=0,f(ɪ)=sin3x,且定义域关于原点对称.

若对任意阳-专，—b存在阻T，«]>满足/(a)+y(β)=0,

.∙.3a=-3β,即a=-β.

*.∙0e[-3,cΦ.*.a=^β∈l^a>~∣,.,.^a≥—即a≤不

综上可得，实数a的取值范围[g，$，

故答案为：(―BL

16.(5分)如图，已知A8为圆。的直径，EC=BC=BD=DF,AB=4,则六边形AECBZ)F

的周长的最大值为12.

E-------

【解答】解：连接尸8,DC,BE,

由比=BC=BD=^F,则EC=BC=BD=DF,

TT

设/∕¾B=a,a∈(0,之)，NDFB=NDBF=R,

贝∣J4DBC=2X(J—a+0),ZBDF=τc-2β,

又NDBC=NBDF,得a=2β,β∈(0,J),

在直角中，由AB=4,则ΛF=4cosα,βF=4sinα,

BFFDm4sinaFD

在AFDB中，由正弦定理有—7，即--------得FD=4sinβ,

SiTI(Tr-20)sinβSiTI(Tr-a)sinβ"

所以六边形AECBDF的周长为C=2AF+4FD=8cosa+16sinβ=8cos2β+16sinβ=8(1-

2sin2β)+16sinβ=-16(^sinβ—ɪ)2+12,

故当sin。=*,即S=例，C取得最大值，且最大值为12.

所以六边形AEC3。F的周长的最大值为12.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（12分）在数列｛如｝中，aι=l,--=2π.

n+1n

⑴设儿=M求数列｛瓦｝的通项公式;

（2）设Cn=5&,且数列｛cn｝的前n项和为Tn,若Tii=求正整数k的值.

a∏an+lθɔ

【解答】解：（1）因为皿一&=2",且M=等，所以为+ι-6"=2",加=0=1,

n+1nn

=w1n221

所以bnCbn-bn∖）+（⅛ΛZ-1-2）+…+（匕3-历）+（历-b∖）+bι=2+2+∙∙∙+2+2+l=

^⅛⅛X1=2"7∙

（2）由（1）知，为=*1=2"-1,

所以an=n(2〃-1),

na+l-(n+l)a__n__n+1_11

所以C=nrt

na∏an+l¾+l-2n-l^2n+1-l,

_11111]

所以Tj?=(1-ɔ)+(---)+,•,+(--------------------)=1—

3372n-l2n+1-l2n+1-l,

因为〃焉，所以1一注=h，即忌7=尚，

所以2川=64,解得％=5.

18.(12分)某出租车公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾

驶技术和服务水平两个方面进行了考核，并从中随机抽取了IOO名驾驶员，这100名驾

驶员的驾驶技术与性别的2X2列联表和服务水平评分的频率分布直方图如下，已知所有

驾驶员的服务水平评分均在区间［76,100］内.

驾驶技术优秀非优秀

男2545

女525

(1)判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关;

(2)从服务水平评分在［92,96),［96,100］内的驾驶员中用分层抽样的方法抽取5人,

再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有2人的评分在［92,96)内的概率.

2

_____九(ad—%)______

附：K2=其中〃=a+〃+c+d.

(a÷h)(c+d)(a+c)(h+d),

P(产学也)0.100.0500.010

及02.7063.8416.635

频率

,2

【解答】解：⑴K?=>喘∕U胃^Ov篝^OU^畿ZU5)≈3.628<3.841,

没有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关；

(2)0.010×4×2+0.055×4+0.065×4+0.070×4+4a=1,解得a=0.040,

故服务水平评分在［92,96),［96,100］内的驾驶员人数比例为0.040：0.010=4：I,

故用分层抽样的方法抽取5人中，［92,96)内有4人，设为a,b,c,d,［96,100］内有

1人,设为A,

再从这5人中随机抽取3人，共有以下情况：(a,b,c),(a,b,d),(a,b,A),(a,

c,d),Ca,c,A)>(α,d,A^),(⅛,c,<r∕)>(⅛,c,A),(b,d,A^),(c,d,A),共

10种情况,

其中这3人中恰有2人的评分在[92,96)的有(α,b,A),Ca,c,A),(.a,d,A),(b,

c,A)>Cb,d,A),(c,d,A),6种情况,

63

故这3人中恰有2人的评分在[92,96)内的概率为G=g.

19.(12分)在如图所示的六面体ABC-AiDιB↑C∖中，平面ABC〃平面AlolBICi，AAiv

CC1,8C=28ιCι,A8=2A[Z)].

(1)求证：AC〃平面BBQ；

(2)若AC,BC,CCl两两互相垂直，AC=2,CCl=3,求点4到平面BCG的距离.

【解答】解：(1)证明：取AB的中点E,BC的中点E连。ιE,B∖F,EF,

在六面体ABC-AlDiBiCl中，

：平面ABC〃平面AιD∣βιC∣,平面ABC∩平面ABD∖A∖=AB,平面AiQiBiCm平面

ABD∖A∖=A↑D↑,

J.AB∕∕A∖D∖,

同理可得BC〃BiCi,

'：E,F分别是AB,BC的中点，且AB=2AιDι,BC=2B∖C∖,

：.AiDi//AE,AiDι=AE,B∖C∖∕∕CF,BlCl=CF,

二四边形AEDiAi是平行四边形，四边形CFBICI是平行四边形，

.".AA∖∕∕ED∖,CC∖∕∕FB∖,又己知A4〃CC1，

：.ED↑/∕FBi,贝∣JE,F,Bi,DI共面，

；平面ABC〃平面AiDifiiCi,平面ABC∩平面EFB∖D∖=EF,平面AlQ向CIn平面

EFB∖D∖-B∖D∖,

：.EF//B\D\,又E,F分别是AB,8C的中点，EF//AC,

：.AC//B∖Dι,又ACC平面BBID1,BlQIU平面BBI5，

."C〃平面BBID1；

(2)'：AC,BC,CCI两两互相垂直,

分别以C4，CB,CC所在直线为X,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),A(2,0,0),

设BC=f,则B(0,t,0),Z)I(1,3),

：.AB=(-2,t,0),CB=(0,t,0),CD1=(1,亨，3),

设平面BCDI的一个法向量为蔡=(x,y,z),

'τT

n∙CB=ty=0→

则1｛τTt,取几=(一3,0,1),

H∙CD1=X++3Z=O

TT

ɪ∖AB-n∖63/—

.**点A到平面BCD\的距离为一→—=r-——=-VlO-

∣n∣√9+l5

A

20.(12分)已知函数/(x)=(X-I)/+ar2.

⑴若aV-今求/G)的单调区间；

(2)若关于X的不等式f(x)≥+4α在［0,+∞)上恒成立，求实数”的取值

范围.

【解答】解：(1)/(X)=，+(X-I)ex+2ax=x(ex+2a∖2a<-L

令，(X)=0,得X=O或(-2〃)>0,

令f(X)>0,得XVO或x>加(-2〃)，令f(x)<0,得OVXV仇(-2a)f

所以函数/(x)的单调递增区间为(-8,0)和Un(-2α),+∞),单调递减区间为

(0,In(-2a)).

(2)关于X的不等式/(%)≥和3+ɑe*+4α在［0,+o°)上恒成立，

ɔ

即-l)e*+ax?一可/一0e%-4α≥0在［0,+∞)上恒成立，

当X=O时，得-1-5心0,即a≤—卷，

2

令g(x)=(%—l)yex+ax2-ɜɪ3—aex—4α,g'(x)="+(X-I)ex+2ax-2x2-aex

=(X-α)(d-2x),

因为%≥0/α≤-春，所以X-。>0,

xx

设〃(x)=e-2χf则”(x)=e-2,

令R(X)<0,得XV历2,令“(工)>0,得x>历2,

所以0(x)="-2X在(-8,/〃2)上为减函数，在(济2,+8)上为增函数，

所以力(X)2/7(In2)=eln2-2ln2=2-2∕∏2>O,即e"-2x>0,

所以p(x)>0,所以g(%)在［0,+8)上为增函数，

所以g(0)=-1-5心0,即α≤-1,

故”的取值范围为{α∣α≤-∣}.

X2y21_

21.(12分)已知椭圆E：形+瓦=l(α>b>O)的离心率为1点P(0,1)在短轴AB上，

且易∙∕⅛=-2.

(1)求E的方程；

(2)若直线/：y=kx+m(w≠0)与E交于C,D两点,求AOCQ(点O为坐标原点)

面积的最大值.

【解答】(1)解：因为椭圆E：W+3=l(a>b>O)的离心率为点

c1

所以—=一，即4=2c,

a2

因为点P(0,1)在短轴AB上，且易∙Z⅛=-2,

所以A(0,-b),B(0,b),

所以总=(0,-b-l),∕⅛=(0,h-1),PA-PB=l-b2=-2,解得庐=3,

因为户=〃2-C2=3C2,所以C2=Lα2=4,

X2y2

所以，E的方程为一+-=1；

43

(2)解：设C(xi，yi),D(X2，>2)，

y=∕cx÷m

2

联立方程χ2y2得(4A+3)/+8h"x+4,/-12=0,

⅛+T=1

所以A=64Fm2-4(4⅛2+3)(4加2-12)=16×12⅛2-48∕H2+144>0,BP4⅛2-∕⅛>0,

8km_4僧2-12

所以/+X=-XIX2

24⅛2+3—4∕C2+3

所以ICDl=√T∏27(xι+χ2)2-4χ1χ2=√TTfc264必624(4由2—手(4,二)

Q(4fc2+3)

,∙,,^4√3J4fc2-τn2+3

=V1+Zc9，

4r÷3

因为原点O到直线/的距离为d=普=,

所以SΔOCD=WDId=2同也》+3=2遮叵干逅<