2023年河南省郑州市高考理科数学调研试卷及答案解析

2023年河南省郑州市高考理科数学调研试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）己知全集为Z,A={l,2,3},B={x∣∕-X-2》0,x∈Z},则AU（CZB）=（）

A.{1}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

2.（5分）复数Z满足（l+ι）z=∣√3-j∣,则2=（）

A.∖+iB.1-tC.-I-ID.-1+z

3.（5分）已知直线/的方程为XSiTla+√3y-l=0,α∈R,则直线I的倾斜角范围是（）

A.（0,J]U[jτr,Tr）B.[0,凯信，兀）

C辱¾D.臣第

4.（5分）某产品的广告费用X与销售额y的统计数据如下表:根据上表可得回归方程，=晨+a

中的匕=10.6,据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）

广告费用X（万元）4235

销售额y（万元）49263958

A.112.1万元B.113.1万元C.111.9万元D.113.9万元

5.（5分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每

人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有

（）

A.20种B.30种C.40种D.60种

6.（5分）已知直线/：mx+y-m-\=0与圆M：（X-2）?+（y-2）2=4交于A,B两个不

同点，则当弦AB最短时，圆M与圆N：?+<.y-m'）2=I的位置关系是（）

A.内切B.相离C.外切D.相交

7.（5分）将函数/（x）=2sin{ωx一总一l（<o>0）的图象向左平移三个单位，得到函数y=

ɔ53

g（X）的图象，若y=g（%）在[0,舟上为增函数，则3的最大值为（）

8.（5分）己知定义在R上的可导函数/（x）的导函数为，（x）,满足，（x）<f（x）,

且/(-X)=∕(2+x),/(2)=1,则不等式∕∙(χ)V"的解集为()

A.(-2,+∞)B.(0,+8)C.(1,+8)D.(2,+8)

9.(5分)如图，圆。是边长为2√5的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点£>,

点M为圆上任意一点，BM=xBA+yBD(x,)WR),则2x+y的最大值为()

B

A.√2B.√3C.2D.2√2

aX+a'x≤:

10.(5分)己知函数f(%)满足/(X+1)=[L,函数g(X)=/(χ)-

(∕n(x+1),%>—1.

ʃ(-χ)恰有5个零点，则实数a的取值范围为()

A.(-ɪ,0)B,(0,1)C.(-ɪ,1)D.6，+8)

11.(5分)已知双曲线的左、右焦点分别为Fl、Fi,焦距为8,P是双曲线右支上的一点，

直线尸2尸与y轴交于点4,AAPFi的内切圆在边PFl上的切点为。，若IPQl=2,则该双

曲线的离心率为()

A.√2B.√3C.2D.3

12.(5分)已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意的实数X,y€R,f(x+y)=f(x)f

Cy),当x<0时/(x)>l,且数列｛断｝满足f(αn+1)f(1⅛-)=l(n∈N*),且αι=f(O),

ɪʃɑn

则下列结论成立的是()

A.f(«2016)>f(«2019)B.f(6Z2016)>f(«2018)

C.f(«2017)>f(«2020)D.f(«2018)>f(42019)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)(i+1-2)5的展开式中常数项为.

X2V2

14.(5分)已知A(3,1),B(-3,0),P是椭圆一十一=1上的一点，则IRII+∣P8∣的最

167

大值为.

15.(5分)如图，将半径为1分米的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内

(阴影部分).现在往圆内任投IOO颗豆子,则落在星形区域内的豆子数大约为

16.(5分)对于任意Xi,Λ2∈[l,+8),当JQ>XI时，有αb;孑-2(Λ⅛-%1)VO成立，则实

xI

数α的取值范围是.

三、解答题：共7()分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.(12分)在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级

学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析.在整个年级中随机抽取了200名学生的数

学成绩,将成绩分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,IOOJ,

共6组，得到如图所示的频率分布直方图.记分数不低于90分为优秀.

(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学

成绩为优秀的概率；

(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在[70,100]内的学生中抽取13名，再从这

13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X,求X的分布列与数

18.(12分)已知各项均为正数的数列｛词的首项m=前”项和为S,”且S"+ι+S"-2z+J

=0.

(1)求数列｛如｝的通项公式；

(2)设为=禺，求数列｛为｝的前〃项和7½.

19.(12分)在平面五边形ABCnE中(如图1),ABCO是梯形,A£)〃BC,AD=2BC=2√2,

AB=√3,NABC=90°,ZVlOE是等边三角形.现将AADE沿AQ折起，连接E8,EC

得四棱锥E-ABCQ(如图2)且EC=3.

(1)求证：平面EAQ_L平面A8CD；

EF1

(2)在棱EB上有点F,满足二=不求二面角E-AZ)-F的余弦值.

EB3

20.(12分)已知直线/与抛物线C：y2=2PX(P>0)交于A,B两点，当/过抛物线焦点

且垂直于X轴时，∣A8∣=4.又P是圆M：(x+l)2+y2=ι上一点，若出、PB都是C的

切线.

(1)求抛物线C的方程及其准线方程：

(2)求△/¾B的面积的最大值.

21.(12分)已知函数/(Λ)—axlnx-Inx-ax+∖(«>0),设曲线y—f(x)在点(e,f(e))

处的切线方程为y=g(x).

(1)证明：对定义域内任意X,都有/(x)(x)；

(2)当4=1时，关于X的方程/(x)=Wl有两个不等的实数根X1,X2,证明：IXl-X2∣

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

第一题计分.

22.(10分)在直角坐标系xθy中，曲线Ci的方程为/+y?-4x=0,以坐标原点O为极点，

X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)点尸为Cl上任意一点，若。P的中点。的轨迹为曲线C2,求C2的极坐标方程；

⑵若点M,N分别是曲线CI和C2上的点，且OMLON,证明：IoM2+4∣ONp为定值.

23.已知函数/(x)=2仅-4∣+∣x+l∣(α∈R).

(1)当α=2时，解不等式/(x)<4；

(2)记关于X的不等式/(x)W∣x+5∣的解集为M,若[-1,2]CM,求”的取值范围.

2023年河南省郑州市高考理科数学调研试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.(5分)己知全集为Z,A={l,2,3},B={R∕-X-2》0,x∈Z},则AIJ(CZB)=()

A.{I}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3)

【解答】解：8={小2-X-2N0,x∈Z}={xeZ∣x≤-1或尤》2},

则CZB={xWZ∣-l<x<2}={0,1},

A={l,2,3},

故AU(CzB)={0,1,2,3}.

故选：C.

2.(5分)复数Z满足(1+«)z=∣√3-∕∣,贝眩=()

A.1+/B.1-JC.-ɪ-/D.-1+/

【解答】解:⅛z=a+bi,

贝IJ(l+z)Z=<l+f)Ca+bi)=Ca-b)+(a+⅛)i,

.•.已+?=?，解得：“=1,b=-l,

Ia—b=2

故2=l+z,

故选：A.

3.(5分)已知直线I的方程为%sinα+√3y-l=0,α∈R,则直线/的倾斜角范围是()

A.(0,J]U[∣π,Tr)B.[0,∣]U[ɪ,Tr)

C阪⅞]D.引给

【解答】解：xsina+V3y—1=0,则k=—等Sinae[—坐，ɪ],

设直线/的倾斜角为0(0≤9V分故k=tcm06[一季ɪ],

所以当Zce[0,易时，直线/的倾斜角。6[0,1]；

当—坐，0)时，直线/的倾斜角06[系，π)i

综上所述：直线I的倾斜角。∈[0,勺U管，兀)

故选：B.

4.（5分）某产品的广告费用X与销售额y的统计数据如下表:根据上表可得回归方程，=£+〃

中的。=10.6,据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）

广告费用X（万元）4235

销售额y（万元）49263958

A.112.1万元B.113.1万元C.111.9万元D.113.9万元

4+23+

【解答】解：Vx=∣-=3.5,y=49+26+39+58=43（

：数据的样本中心点在线性回归直线上，$=bx+a中的6=10.6,

Λ43=10.6×3.5+0,

Λα=5.9,

二线性回归方程是y=10.6x+5.9,

二广告费用为10万元时销售额为10.6X10+5.9=为1.9万元,

故选：C.

5.（5分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每

人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有

（）

A.20种B.30种C.40种D.60种

【解答】解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星

期一、二、三；

分3种情况讨论可得，

2

甲在星期一有A4=12种安排方法，

2

甲在星期二有A3=6种安排方法，

甲在星期三有A22=2种安排方法，

总共有12+6+2=20种；

故选：A.

6.（5分）已知直线I：mx+y-tn-\=0与圆Λf:（X-2）?+（＞-2）2=4交于A,B两个不

同点，则当弦最短时，圆”与圆MX2+（y-m）2=1的位置关系是（）

A.内切B.相离C.外切D.相交

【解答】解：由题直线/：mx+y-"L1=0过定点尸(1,1),

圆M：(X-2，〃)2+(y-2)2=4的圆心M(.2m,2),半径为2,

当弦AB最短时直线/垂直PM,

又kPM=⅛⅛-

所以吊.(一机)=T'

解得机=1,

此时圆M的方程是(X-2)2+(y-2)2=4,

其中圆心M(2,2),半径为2,

又圆N：X2+(y-1)2=1的圆心N(0,1),半径为1,

所以两圆圆心之间的距离IMM=√(2-O)2+(2-I)2=√5,

又2-lV√5<2+l,所以这两圆相交.

故选：D.

-TT__TT

7.(5分)将函数/(%)=2siτι(3%-百)一1(3>0)的图象向左平移嬴个单位，得到函数y=

g(X)的图象，若y=g(X)在[0,舟上为增函数，则3的最大值为()

π2π

A.-B.—C.2D.3

55

【解答】解：由题意可得g(%)=/(%+瑞)=2sin[ω(x+ɪ)一自一I=2sin(ωx)-1,

Vx∈[0/*,Λ(Λ)X∈[0,.

：y=g(%)在[0,舟上为增函数，

.∙.0<^≤5,解得0<3W2.

.,∙ω的最大值为2.

故选：C.

8.(5分)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为，(x),满足/(x)<∕∞,

且/(-χ)=∕(2+x),f(2)=1,则不等式/(x)的解集为()

A.(-2,+∞)B.(0,+8)C.(1,+∞)D.(2,+8)

【解答】解：'V'(x)<∕(x),

：.f(x)-f(x)<0,

令g(X)=贝!lg'(X)=fθf''

故g(x)在R递减，

而/(-x)—f(2+Λ),

则f(1-χ)=/(l+x),f(X)关于X=I对称，

则/⑵=f(O)=1,

由/(x)</,得：g(X)=嚼Vl=g(0),

解得：x>0,

故选：B.

9.(5分)如图，圆。是边长为2国的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点

点M为圆上任意一点，BM=xBA+yBD(x,y∈R),则2x+y的最大值为()

A

BLC

BDC

A.√2B.√3C.2D.2√2

【解答】解：如图以。为原点，BC,AO所在的直线为X,y轴建立如图所示的直角坐标

系，

A

BDCx

则A(0,3),B(-√3,O),D(0,0),

：.BA=(√3,3),BD=(√3,0),

：圆。是边长为2√5的等边三角形ABC的内切圆,

.∙.圆。的方程为：X2+(y-1)2=1,

设点M的坐标为(cosθ,sinθ+l),

*：BM=xBAΛ-yBD(x,γ∈R),

・•・(cosθ÷√3,sinθ+l)=x(√3,3)+y(√3,0),

‘_sE8+l

..JcosO+V3=√3x+8y,....%ɜ,

(sinθ÷1=3%_>∕3cosθ-sinθ+2

U=3

.ʌ_Si九。+75COs0+4_2s讥(0+,)+4

・・〃+)，=3=3'

・•・当Sin(J+/=1时,2x+y的最大值为2.

故选：C,

∩γ_LZiγ__"1

’—'，函数g(X)=f(X)-

{Zn(x+1),x>—1.

ʃ(-χ)恰有5个零点，则实数a的取值范围为()

11111

A.(―F0)B.(0,$C.(一Fʌ)D.+8)

【解答】解:因为fQ+】)={：：(：：；；蓑二所以的弋二45=

-ax,X≥0

{Zn(-x)/x<0

,因为函数g(x)=/(x)-ʃ(-χ)恰有5个零点，

所以f(x),/(-X)的图象恰有5个交点，画出了(x),/(-X)的图象，由图象可得,

因为y=αx与y=-αx,y=∕πx与y=/〃(-x)的图象关于y轴对称，

且y=αr与y=-分交于原点，要恰有5个零点，

则y=0r与y=/〃(-χ),y=∕∕tr与y=-or的图象必有两个交点，

当y=/心与y=-的图象相切时，设切点(77?,〃)，

此时切线的斜率为y'=1=J=强可得〃=1,1=/〃加得根=e,所以切点(e,1),

即一α=1,交点α=-1,

所以要使函数g(x)=f(x)-/(-χ)恰有5个零点，则αe(-：，0).

H.（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为四、F2,焦距为8,尸是双曲线右支上的一点，

直线F2P与y轴交于点A,ZVlPFi的内切圆在边PFI上的切点为Q,若∣PQ∣=2,则该双

曲线的离心率为（）

A.√2B.√3C.2D.3

【解答】解：如图所示：内切圆与AFi,AF2交于R,S点，

IPFII=IPF2∣+2α=2+∣QFι∣=2+∣RFι∣=2+∣A川-IARI=2+∣A网-IAsI=2+∣S五2∣=2+2+∣P∕⅞!

故α=2,又c=4,e=-=2.

a

12.(5分)已知函数y=∕(x)的定义域为R,对任意的实数X,y∈R,f(x+y)=fCx)f

(y),当XVO时F(X)>1,且数列｛板｝满足f(αn+ι)f(d7r)=l(n∈N*),且aι=f(0),

J.十Qn

则下列结论成立的是()

A.f(42016)>f(02019)B.f(42016)>f(«2018)

C.f(42017)>f(42020)D.f(02018)>f(42019)

【解答】解：依题意，对任意的实数羽y∈R,等式∕G)∕(y)=f(x+y)成立，

令x=y=O得/(0)=f(0),所以/(0)=0或/(0)=1,

又当XVo时/G)>1,所以/(-1)=/(-1+0)=/(0)×/(-1)>0,所以7(0)

=1,

令y=-x,则/(O)=f(x)ʃ(-x)=1,因为当x<0时/(x)>1,不妨令x>0,则

,(")=7FW

所以对任意XeR有/(x)>0,

任取X1<Λ2∈RJ

则f(ɪɪ)-f(X2)=/(Xl-X2+X2)-f(X2)=f(XI-X2)f(%2)~/(A2)=f(A2)|/

(XI-X2)-1],

因为Xl-X2<0,所以∕∙(XLX2)>1,

所以/(X2)[∕*(XI-X2)-I]>0,即f(XI)>f(X2),f(X)单调递减，

所以/(X)=1有唯一解X=0,

Il1

α

又数列｛坳｝满足/(αrt+ι)f(i针)=/(n+ι+ɪ+^-)=1=/(θ)>所以αn+ι=-，

I1÷

2

m=--=----,=

又因为。1=火0)=1,所以。2=2ɑɜ1«41+(-2)=1=αι,

2-

由数列｛〃〃｝的递推关系知数列｛z｝为以3为周期的数列，

ɪ

所以。2016=。2019=〃3=-2,。2017=及020=。1=1,α2018=。2=一讶，/(“2017)=∕(^2O2θ)

21

=/•(1)，/(¾016)=/(α2019)=/(-2)=/(-1-D=[/(-I)]>Λ-D=∕[(-⅛+

(-⅛]=[/■(-⅛2-

当XVo时F(X)>1,所以/(-1)>1,

所以/(2017)=/⑴=ɪ<1,/(α2oι6)=/(«2019)=V(T)F>/(-1)，

又f(T)=[/(-∣)]2>∕(-⅛=/92018)，

所以了(42016)=/(々2019)>f(«2018)>/(«2017)=/(42020).

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)(/+：一2)5的展开式中常数项为88.

【解答】解：(x2+i-2)5=[x2+(i-2)]5,通项公式为4+1=Cf(∕)5-rG-2)r,r

=0,1,2,3,4,5,

⅛-2)r的展开式为¢/T∙(-2)fc,故图+1=CJe=(-2)kχi°+k-3r,

令IO+Q3r=O,则无≤r,解得：或[：

1

故+

X-2)5的展开式中常数项为C其其一2)2+CfC∣(-2)5=5×6×4-32=88.

故答案为：88.

X2y2

14.(5分)已知A(3,1),B(-3,O),P是椭圆一+—=1上的一点，则∣∕¾∣+∣PB∣的最

167

大值为9.

【解答】解：根据题意可得α=4,b=小,c=3,

二点B为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点F(3,0),

：.\PB\+\PF]=S,Λ∣Pβ∣=8-∣PF1,

32I2

∙.∙T7+^7<1，，点A在椭圆内，

167

.∖∖PA∖+∖PB∖^∖PA∖-∖PF]+8^∖AF]+S=9,

当且仅当点尸在A尸的延长线上时，等号成立，

；.|网+∣P8∣的最大值为9,

故答案为：9.

15.(5分)如图,将半径为1分米的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内

(阴影部分).现在往圆内任投100颗豆子，则落在星形区域内的豆子数大约为

10040-1)—.

【解答】解：将半径为1分米的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴

影部分)，

即将图形平均分成四个部分，

则每个图形空白处的面积为20X71-；XIXI)=6一1)平方分米，

则阴影部分的面积为兀×12-4×(J-1)=(4-Tr)平方分米，

圆的面积为π×1=π平方分米，

4—714

根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为：——=--1,

ππ

故往圆内任投IOO颗豆子，则落在星形区域内的豆子数大约为IoO(，-1)∙

答案为：IOO(J-I).

16.(5分)对于任意Xi,Λ2∈[l,+8),当JQ>XI时，有α伍孑-2(Λ⅛-%ι)VO成立，则实

数a的取值范围是(-8,2].

【解答】解：α伍强一2(Λ⅛—%I)V0，BPalnxi-2xι<alnx∖-2xι,XlVX2,

xI

设/(x)=CdnX-2x,则/(x)在[1,+ɑɔ)上单调递减，

所以/'(X)=/—2≤。在[1，+8)上恒成立，即αW2x恒成立，

又因为(2x)tni"=2,

故0W2.

即实数"的取值范围是(-8,2].

故答案为：(-8,2].

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.(12分)在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级

学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析.在整个年级中随机抽取了200名学生的数

学成绩，将成绩分为［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］,

共6组，得到如图所示的频率分布直方图.记分数不低于90分为优秀.

(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学

成绩为优秀的概率；

(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在［70,100］内的学生中抽取13名，再从这

13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X,求X的分布列与数

【解答】解：(1)由频率分布直方图可知，(0.005+0.010X2+0.020+α+0.030)XlO=1,

Λα=0.025,

.∙.数学成绩在［70,80)的有0.030X10X200=60名，

数学成绩在［80,90)的有0.025X10X200=50名，

数学成绩在［90,100］的有0.0IOX10X200=20名，

从样本中随机选取一名学生，设“这名学生的分数不低于70分”为事件A,“这名学生

数学成绩为优秀“为事件B,

Ijlll(4)-60+50+20_13P(∆R}_20_1

则〃n(A)--2θθ——而'P一碗一奇

P(ABy)1202

：.P(B∣A)="W=10×13=13;

(2)采取分层抽样的方法从成绩在［70,100］内的学生中抽取13名,

在［70,80)抽取13x毁=6名，在［80,90)抽取13x黑=5名，在［90,100］抽取

13X襦=2名,

从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X,

则X的可能取值为0,1,2,

P(X=O)=⅜=⅛P(X=I)=⅛L当P(X=2)=⅛⅛=1

C?326C；313脸26

X的分布列为：

XO12

P1551

261326

E(X)=O×5∣+l×⅛+2×⅛=⅛.

18.(12分)已知各项均为正数的数列｛”,,｝的首项m=；,前〃项和为S”且S+ι+S-2”,,+/

=0.

(1)求数列｛z｝的通项公式；

(2)设岳=界,求数列｛加｝的前〃项和T”.

【解答】解：(I)∙.∙S+ι+5"-24"+∕=0①，

当〃22时，5,,+S,J-I-24∕=(j②，

由①-②得""+ι+α,ι=2(d⅛+ι+α”)(«,；+]-««)(〃22),

1

又<z>0,an+1-αn=2(n≥2),

当n=1时，S2÷Si=2c⅛2且%=4，

***2.0.2—。2—1=O，解得〃2=1,。2=—2〈°(不合题意，舍去)，

・八_11_1

••。2-Ql=1-2=2，

・,・数列｛.｝为首项为今公差为的等差数列，

._1

•∙Q九一2九；

(2)由(1)得Q九=*n,则%=π∙(｝n+ι,

・・・"=1•(》2+2.(》3+3.(｝4+…+几・(》九十1③，

45n+2

ITn=I.$3+2.(|)+3-(ɪ)+...+n∙(∣)φ,

111

rh/Sx04曰1T入2,,1、3,,zλn+lfλn+2W(I-(5))rλn+2

由③-④得鼻〃=(鼻)+q)+-+(^)-n∙q)=---nYp=

2

11,n

--(-rn+1(i+-).

1

1

Λ7'n=l-（n+2）∙（∣r÷.

19.（12分）在平面五边形ABCoE中（如图1）,ABCC是梯形，AQ〃BC,AD=2BC=2√2,

AB=√3,NABC=90°,△4£）E是等边三角形.现将AAOE沿AO折起，连接E8,EC

得四棱锥E-ABCD（如图2）且EC=3.

(1)求证：平面EA£>_L平面ABC。；

EF1

(2)在棱E8上有点凡满足二=不求二面角E-AO-尸的余弦值.

EB3

【解答】(1)证明：取AO的中点0,连接E0,C0,如图所示：

因为AADE是等边三角形，。为AO中点，所以E0L4D

因为40=2√2,所以E。=J(2√2)2—(V2)z=√6.

因为AQ=2BC,ZABC=90°,AD//BC,

所以四边形A8C0为矩形，所以CO=AB=8.

又因为EC=3,所以EC2=CO2+E02,ββEOLCO.

因为EoJ_4。，EOlCO,COHAD=O,所以Eoj_平面ABC

又因为EoU平面ADE,所以平面E4£>_L平面ABCD.

(2)解：连接项，FD,

如图，以。为原点，OC,OA,OE分别为X,y,z轴建立空间直角坐标系,

E

4(0,√2,0),C(√3,O,O),D(O,-√2,O),β(√3,√2,O),E(0,O,√6),

则4D=(0,-2√2,O),EB=(√3,√2,-√6),

因为詈=],所以薪=qEB=（李，¥，-2γ）∙

因为以=(O,√2,-√6),

所以£=或一备=（0,√2,-√6）-（ɪ,整，一坐）=（一停，竽

设平面外£）的法向量为£=（x,y,z）,

→"√32√22√6

Ti・FA=—5-x4j—ɔ—yɔ—z=n0—

则一33'3,令aX=2√l2,

n∙AD=­2√2y=0

则平面或。的法向量I=（2√Σ,0,-1）.

由题知：平面EA。的法向量为（⅛=（遮，0,0）.

√>,n-OC2√62√2

所以COS〈n,OC)=TT=77?=~3~∙

∖n∖∖OC∖3Λ∕3J

因为二面角E-AD-F的平面角为锐角，所以二面角E-AD-F的余弦值为之.

20.（12分）已知直线/与抛物线C：∕=2pχ（p>0）交于A,8两点，当/过抛物线焦点

且垂直于X轴时，∖AB∖=4.又P是圆M：（x+l）2+y2=ι上一点，若以、PB都是C的

切线.

（1）求抛物线C的方程及其准线方程;

（2）求△/¾8的面积的最大值.

【解答】解：（1）因为当/过抛物线焦点且垂直于X轴时，∣AB∣=4,

所以点击2）在抛物线上，则22=2PX与解得°=2,

所以抛物线。的方程为y2=4x,该抛物线的准线方程为X=-1；

(2)先证明抛物线C在其上一点。(XO,yo)处的切线方程为2x-γoy+2xo=O,

证明如下：由于点。(刈，yo)在抛物线C上，则y()2=4出,

联立町-X+23=0,可得与_3+2%0=0,SPy2-2y°y+城=o,

22

则4=4y0-4y0=0,

所以抛物线C在其上一点Q(九0,W)处的切线方程为2χ-yoy+2xo=O.

设点A(xι,yi)、B(x2,>2)、P(x3,y3),

则直线PA的方程为2x-yιy+2川=0,直线PB的方程为Ix-”>2垃=0,

因为点P在直线MPB上,所以它3一”3：狗U，

IZX3-72/3十ΔX2—U

所以点A、B的坐标满足方程2x-*y+2x3=0,

因为两点确定一条直线，

所以直线AB的方程为2x-*y+2x3=O,

联立雷-y^y+2X3=°，消去X可得尸-2卅+4*=0,

由韦达定理可得yι+*=2y3,yιy2=4x3,

2

所以伊8|=Jl+(空)2∙∣y1-y2∣=亚祖∙√(y1+y2)-4y1y2=

√(yj+4)(y^-4X3),

点P到直线AB的距离为d=华二胤,

百

所以SAPAB=714B∣,d=劣J(H+4)(讨-4Λ⅛)-∣刈=劣(瓷—4x3)2,

22Jyp42

x

又抬一4%3=~3—2%3—4X3——(%3+3)2+9,其中-2WΛ3W0,

所以当X3=-2时，泊一4与取得最大值8,

1313L

所以SAPAB=2(3,3-4A⅛)2≤2X82=8√2.

21.(12分)已知函数f(x)=OXlnX-Inx-0r+l(tz>O),设曲线y=f(x)在点(e,/(e))

处的切线方程为y=g(%).

(1)证明：对定义域内任意居都有/(x)2g(x)；

(2)当α=l时，关于X的方程Fa)=加有两个不等的实数根Xi,X2,证明：∣%ι-%2∣

Il1

【解答】证明：(1)∙."'(%)=alnx+α—-—α=alnx-:・k=∕,(e)=Q—工，

1

又/(e)=0,.∙,g(%)=(α-])(%-e);

令F(x)=f(X)-g(x)=f(X)-/(e)(X-e),

.∙.F'(x)=∕'(x)-∕'(e)=α∕nx-1-a+^S(0,+∞)上单调递增，且F(e)=0,

当0<x<e时，F(X)<0,F(X)单调递减，

当x>e时，F(X)>0,F(X)单调递增，/(e)=0,F(X)2F(e)=0恒成立，

所以fG)2g(x)恒成立.

(2)当a—1时，f(X)=(Inx-1)(%-1),则f'(X)=Inx—ɪ,

显然/(X)在定义域内单调递增，而/(1)=7V0,f