2023-2024学年高一下数学《平面向量及立体几何初步》测试卷及答案解析

2023∙2024学年高一数学《平面向量及立体几何初步》

一.选择题（共12小题）

1.（2022春•鼓楼区校级期中）已知向量Z=（Irr1,IAb=（2,4＞若a〃b，则实数加

=()

3

A.1B.-1C.d

2∙4

2.（2022春•鼓楼区校级期中）已知向量［二（通，1）,E是单位向量，若［2之-芯=√记,

则之与式的夹角为（）

兀

C.2

（春•鼓楼区校级期中）是所在平面内一点，若混二瓦+瓦，则

3.2022P445C3SZM8P:S

△ABC=（）

A.1：4B.1：3C.2：3D.2：1

4.（2022•福州模拟）已知向量之，E为单位向量，l,ɪɪb-则自（42-3芯）=（）

A.-3B.3C.-5D.5

5.（2022春•马尾区校级月考）已知C的内角4,B,C对边分别为a,b,c,若2csinC

=（α+⅛）（sin5-siιU）,则当角C取得最大值时，B=（）

A.—B.—C.—D.22L

3623

6.（2022春•福州期中）在四边形/88中，若AB=DC，且IAB-AD=IAB+ADI，则该四边

形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形

7.（2022•鼓楼区校级三模）已知Z8,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且/8J_CA.O∖,

。分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥N-JBC。的

体积为18,则该圆柱的侧面积为（）

A.9πB.12πC.16πD.18π

8.（2022•福州模拟）在底面半径为1的圆柱OOi中，过旋转轴OOi作圆柱的轴截面ABCD,

其中母线/8=2,E是BC的中点，尸是43的中点，则（）

A.AE=CF,ZC与E尸是共面直线

第1页（共25页）

B.AE≠CF,NC与EF是共面直线

C.AE=CF,NC与EF是异面直线

D.AE≠CF,/C与EE是异面直线

9.（2022•鼓楼区校级模拟）已知一个直三棱柱的高为2,如图，其底面/8C水平放置的直

观图（斜二测画法）为H8。，其中O'A'=O'B'=O'C=∖,则此三棱柱的表面积为（）

C.8+4√5D.8+8√5

10.（2016春•福州校级月考）已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球。（重量忽略

不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积

的工时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）

8

A.ɪrtB.ArrC.2ττD.ɪn

6332

11.（2017秋•鼓楼区校级月考）三棱锥尸-NBC中，必，平面∕8C,ACVBC,AC=BC=

1,PA=M,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.5ττB.√2兀C.20πD.4π

12.（2021春•福州期中）下列关于空间几何体的叙述，正确的是（）

A.直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥

B.棱柱的侧面都是平行四边形

C.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台

D.直平行六面体是长方体

二.填空题（共4小题）

13.（2021春•平潭县校级期末）已知圆锥的母线长为3a”，圆锥的底面圆半径为lew,一

只蚂蚁从圆锥的底面圆周上Z点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点/,则蚂蚁爬行的最

短路程为cm.

14.（2021•福州一模）在三棱锥尸-/8C中，侧面RIC与底面/8C垂直，NBAC=90：

NPC4=30°,/8=3,PA=2.则三棱锥P-/8C的外接球的表面积为.

15.（2022春•广东期中）如图，矩形O'HB1C是水平放置的一个平面图形的直观图，

第2页（共25页）

16.（2022春•鼓楼区校级期中）若平面向量之、芯满足∣Z∣=2,IEl=1，则∣Z+E∣的取

值范围是.

Ξ.解答题（共6小题）

17.（2022春•马尾区校级月考）设向量|胃=1,∣^3=1,且:与K具有关系KW+^Q=√EG-

内（⅛>0）.

（1）是否存在％,使得Z与赢直，请说明理由；

（2）若Z与式夹角为60°,求A的值.

18.（2022春•马尾区校级月考）在△中，角4,B,C的对边分别是α,b,c且

b+c=a（V3sinC+cosC）∙

（1）求角/：

（2）求sinβ+sinC的最大值.

19.（2022春•福州期中）在A∕8C中，向量等式正=族+&获+前+以=[,沟通了几

何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量

法的特性.

（1）如图4/8C的三个角力,B,C所对的边分别为α,b,c.设向量彳为C所在平

>.,⅜,∙l,•,■,■

面的一个单位向量，记向量e⅛AB的夹角为立现构造等式（AB+BC+CA）∙e=θ>据此

请你探究6=0及的边和角之间的等量e关系；

2

（2）已知/。是4/8C的角平分线，请你用向量法证明：空典.

ACCD

第3页（共25页）

C

20.(2017秋•闽侯县校级期中)如图，已知三棱锥/-BPC中，APLPC,ACLBC,M为

的中点，。为PB的中点，且4PΛ"为正三角形.

(1)求证：8CJ_平面ZPC；

(2)若8C=6,AB=IO,求三棱锥D-8CM的体积.

21.(2021春•鼓楼区校级期中)如图，在正三棱柱容器Z8C-/向CI中，AB=a(α>0),

力小=4由顶点B沿棱柱侧面经过棱/小到顶点Ci的最短路线与AA↑的交点记为M,求:

(D求该最短路线的长；(用含α的表达式表示)；

(2)若该正三棱柱容器外接球的表面积为32n,求能放入该容器的最大的球的体积.

22.(2021秋•仓山区校级期中)如图，已知三棱柱∕8C-Zι8ιCι,点。为棱/8的中点.

(1)求证：BCi〃平面4CO；

(2)若4/8C是等边三角形，且N8=44ι=2,∕Zι∕8=60°,平面/小8|8_L平面/8C,

求三棱锥4-88Ie的体积.

第4页(共25页)

第5页（共25页）

2023-2024学年高一数学《平面向量及立体几何初步》

参考答案与试题解析

一.选择题(共12小题)

1.(2022春•鼓楼区校级期中)已知向量Z=(m-1,1>E=(2,4>若a〃b，则实数加

=()

A.1B.-1C.ɪD.-A

22

【考点】平面向量的坐标运算.

【专题】计算题：对应思想；综合法：平面向量及应用：数学运算.

【分析】利用向量平行的等价条件得4(W-1)-2=0,从而求得.

【解答】解：(m-l,1)，b=(2,4>a〃b，

Λ4(∕n-1)-2=0,

解得m--∙,

2

故选：C.

【点评】本题考查了向量平行的性质的应用，属于基础题.

2.(2022春•鼓楼区校级期中)已知向量Z=(J1),E是单位向量，若∣2Z-El=J石,

则之与式的夹角为()

A.2LB.2_c.2ZLD.IZL

6336

【考点】数量积表示两个向量的夹角.

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】设；与E的夹角为0,把|2；-芯=7正两边平方可求得CoS仇然后可求得以

【解答】解：设之与E的夹角为0，

因为Z=(√E,IA芯是单位向量，所以把|22一4=0与两边平方可求得：4X4-2X2

Xa*b+1=13,所以a∙b=1，

所以2Xlcosθ=l,所以COSe=工，所以θ=2L.

23

第6页(共25页)

故选:B.

【点评】本题考查平面向量数量积应用，考查数学运算能力，属于基础题.

3.（2022春•鼓楼区校级期中）尸是ANBC所在平面内一点，若而=3血+荏，则S09：S

△ABC=（）

A.I：4B.I：3C.2：3D.2：I

【考点】平面向量的基本定理∙

【专题】计算题；转化思想；综合法：平面向量及应用；数学运算.

【分析】利用平面向量的线性运算求出而=3百，再利用三角形的面积公式求解即可.

【解答】解：：而=3证+而，

/.CB-PB=3PA-BPCB<-BP=3PA,

ʌCP=3PA-BpAC=APA,

∙'∙SΛABP!SiiABC=PA:AC—1：4,

故选：A.

【点评】本题考查平面向量的线性运算，三角形的面积公式，属于中档题.

4.（2022•福州模拟）已知向量之，K为单位向量，且Zl则E∙（42-34）=（）

A.-3B.3C.-5D.5

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】计算题：对应思想；分析法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】由题意可得Q1=1,IE∣=ι,ς.^=o-根据数量积的运算律即可求得答案.

【解答】解：由题意可得，GI=I,E∣=1,l∙b=0'

贝∣R∙（）=4之吊-2=-3b2=-3

故选：A.

【点评】本题考查数量积的应用，考查学生运算能力，属于中档题.

5.（2022春•马尾区校级月考）已知448C的内角4B,C对边分别为α,b,c,若2csinC

=（α+⅛）（Sin8-sin√O,则当角C取得最大值时，B=（）

A.—B.—C.—D.

3623

第7页（共25页）

【考点】正弦定理.

【专题】转化思想；转化法；解三角形：数学运算.

【分析】根据题设条件可得2d-a1,进一步利用余弦定理及基本不等式可知当cosC

取得最小值返时，角C取得最大值工，此时房=3『，d=『，再利用余弦定理可求得

26

cos8的值，进而得到答案.

【解答】解：V2csinC=(α+b)(SinB-SiiL4),

，由正弦定理可得，2c1=(α+6)Qb-a)=b2-a2,

,22

2.,2b--a

2八22a÷bn

Ca+b-c2

由余弦定理可得cosC=-2^b―=2^b

lʌkl>2√3ab.=2ZL,当且仅当庐=3『时等号成立，

4ab4ab2

.∙.当COSC取得最小值近时，角C取得最大值？L,且此时后=3『，则c∙2="2,

26

a2工+c2-b,2ɪ-tʌɜɪi=-1,则B至

•∙cosB="

2ac2a223

故选：D.

【点评】本题考查正余弦定理与基本不等式的综合运用，考查转化思想及运算求解能力,

属于中档题.

6.（2022春•福州期中）在四边形/58中，若AB=DC,且IAB-ADTAB+A∏，则该四边

形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

'一♦,∙l♦'.1∙l♦'

【分析】根据题意，由AB=DC可得四边形为平行四边形，又由IAB-AD=IAB+AO,变

形分析可得标，菽，即/8与4。垂直，由此分析可得答案.

【解答】解：根据题意，在四边形/88中，若标=前，即/8〃。C且∕8=Z）C,四边

形为平行四边形，

■,,,.♦'.∙l—♦♦∣.01'+.

AI>2=∣AB+A∏2,

又由IAB-AnTAB^AD,则旬AB-变形可得AB∙AD=O,则有ABLAD,

即/8与垂直,

第8页（共25页）

则该四边形一定是矩形,

故选：C.

【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量相等和向量模的定义，属于基础题.

7.（2022•鼓楼区校级三模）已知/8,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且CDO∖,

。分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥4-BC。的

体积为18,则该圆柱的侧面积为（）

A.9πB.12πC.16πD.18π

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的

侧面积和表面积.

【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何.

【分析】结合图形分析得三棱锥Z-BCD的体积为两个全等四棱锥C-48/芯减去两个全

等三棱锥A-CDE,利用锥体体积V=∙∣Sh代入计算求外再利用圆柱的侧面积S=如，M∙

【解答】解：分别过48作圆柱的母线ZE,BF,连接CE,DE,CF,DF,

则三棱锥A-BCD的体积为两个全等四棱锥C-ABFE减去两个全等三棱锥A-CDE,

即2X^∙XrX2rXr-2X^∙XrX,X2rXr='r3=18,则〃=3，

圆柱的侧面积为2πr×r≈18π.

故选：D.

【点评】本题考查了圆柱侧面积的计算，属于中档题.

8.（2022•福州模拟）在底面半径为1的圆柱OO\中，过旋转轴OOl作圆柱的轴截面ABCD,

其中母线/8=2,E是BC的中点，尸是43的中点，则（）

A.AE=CF,ZC与E尸是共面直线

第9页（共25页）

B.AE≠CF,NC与EF是共面直线

C.AE=CF,/C与EF是异面直线

D.AE≠CF,/C与EE是异面直线

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【分析】/E=[AB2+BE2=遥,CFrBC2+B#=爬,在AZBC中，E是BC的中

点，下是48的中点，EF//AC,由此能求出结果.

【解答】解：在底面半径为1的圆柱OOi中，过旋转轴OOI作圆柱的轴截面/BCO,

其中母线/8=2,E是BC的中点，尸是48的中点，如图，

4E=√AB2+BE2-√4+1=Vδ'CF=VBC2+BF2=丫4+1=Vδ'

：.AE=CF,

在4/8C中，E是BC的中点，F是48的中点，J.EF//AC,

.∙.∕C与EF是共面直线，

故选：A.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查勾股定理、中位线定理等基础知识，考查运算

求解能力，是基础题.

9.（2022•鼓楼区校级模拟）己知一个直三棱柱的高为2,如图，其底面/8C水平放置的直

观图（斜二测画法）为ZEC,其中O'A'=O'B'=O'C=∖,则此三棱柱的表面积为（）

第10页（共25页）

A

B'∕o'C

A.4+4√2B.8+4√2C.8+4√5D.8+8√5

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.

【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用斜二测画法的“三变”“三不变”得到直三棱柱的底面平面图，由此能求出

此三棱柱的表面积.

【解答】解：斜二测画法的“三变”“三不变”得到直三棱柱的底面平面图，如图，

其中OA=2OB=2OC=2,

∙∙AB-AC-yfζ>>

，此三棱柱的表面积为S=2×-⅛-×2×2+（2+2>/5）×2=8+4代.

故选：C.

【点评】本题考查三棱柱的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

10.（2016春•福州校级月考）已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球。（重量忽略

不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积

的工时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）

8

第11页（共25页）

A.ɪnB.AπC.2πD.ɪn

6332

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何.

【分析】先求出没有水的部分的体积是2巨，再求出棱长为2,可得小球的半径，即可

3

求出球的表面积.

【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的工，

8

•.♦正四面体的各棱长均为4,

.∙.正四面体体积为,XqX42XJI6号=弯臣

•••没有水的部分的体积是2亚，

_3__

设其棱长为“，则工X爽∙a2χ限2=2场，

3433

•.4=2,

设小球的半径为r,贝∣J4X工XYIXo2r=2√l,

34z3

Λ

•Γ=∕6

6

球的表面积5=4兀.JL=Z兀.

63

故选：C.

【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确

求出半径是关键.

11.（2017秋•鼓楼区校级月考）三棱锥尸-ZBC中，以_L平面N8C,ACLBC,AC=BC=

1,PA=M,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.5πB.V2兀C.20πD.4π

【考点】球的体积和表面积.

【专题】空间位置关系与距离；球.

【分析】根据题意，证出8CL平面刃C,是三棱锥尸-48C的外接球直径.利用勾

股定理结合题中数据算出P8=√甘，得外接球半径H=后，从而得到所求外接球的表面

2

积

【解答］解：%_L平面∕8C,ACLBC,

第12页（共25页）

.∙.8C，平面EiC,尸8是三棱锥尸-48C的外接球直径;

VRtΔPδ∕4中，AB=QPA=M

：.PB=45,可得外接球半径R=L8=返

22

外接球的表面积S=4πΛ2=5π

故选：A.

B

【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、

勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题.

12.（2021春•福州期中）下列关于空间几何体的叙述，正确的是（）

A.直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥

B.棱柱的侧面都是平行四边形

C.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台

D.直平行六面体是长方体

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构

特征.

【专题】整体思想；定义法；立体几何；直观想象.

【分析】由多面体与旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案.

【解答】解：直角三角形绕它的斜边旋转得到的几何体是两个圆锥的综合题，故N错误;

由棱柱的结构特征可知，棱柱的侧面都是平行四边形，故8正确；

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台，

若截面与底面不平行，则不是棱台，故C错误；

正方体是直平行六面体，但直平行六面体不一定是长方体，故。错误.

故选：B.

【点评】本题考查多面体与旋转体的结构特征，是基础题.

第13页（共25页）

二.填空题（共4小题）

13.（2021春•平潭县校级期末）已知圆锥的母线长为3cm,圆锥的底面圆半径为一

只蚂蚊从圆锥的底面圆周上/点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点/,则蚂蚁爬行的最

短路程为—3^∖[3-Cm.

【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；弧长公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【分析】求得圆锥侧面展开图对应扇形的弦长，也即是最短路程.

【解答】解：圆锥的母线长为3cτn,圆锥的底面圆半径为1cm,

一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上/点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点

圆锥底面半径为1,底面周长为2τr,

所以圆锥侧面展开图对应的扇形的弧长为2n,

由于圆锥的母线长为3,所以圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为”，

所以最短路程为：^32+32-2×3×3×eosɪ^-=√9+9+9=3√3-

故答案为：3√3∙

【点评】本题考查圆锥侧面展形图的性质、扇形弦长、圆锥的结构特征等基础知识，考

查运算求解能力，是基础题.

14.（2021•福州一模）在三棱锥尸-NBC中，侧面BIC与底面/8C垂直，ZBAC=90°,

Npc4=30°,4B=3,P4=2.则三棱锥尸-AgC的外接球的表面积为25τr.

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直

观想象；数学运算.

【分析】画出几何体的直观图，求解三角形RIC的外接圆的半径，然后求解外接球的半

径，进而求出三棱锥尸-NBC外接球的表面积.

第14页（共25页）

【解答】解：♦.•在三棱锥尸-48C中，侧面R4C与底面48C垂直，NBAC=90°,

.∙.R4，平面RlC,NpC4=30°,R1=2.

设的外接圆的半径为厂，外接圆圆心为0,

则—"—=Ir,解得r=2,

sin30

过。作。。，平面PAC,则QOJLIAB,

2

外接球的半径为我,球心为O,

A=Jr2+（∙∣AB）2=J⑵2+仔）2=|_,

外接球的表面积为4TΓR2=251T.

【点评】本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是找球心，考查直观想象和数学运算

的核心素养，属于中档题.

15.（2022春•广东期中）如图，矩形O'A'B'C是水平放置的一个平面图形的直观图，

其中O'A'=6,O'C'=3,B'C〃/轴，则原平面图形的面积为36√2.

【考点】平面图形的直观图.

【专题】转化思想；定义法；立体几何；数学运算.

【分析】计算平面直观图的面积，根据原图形与它的直观图面积比为2&,计算即可.

【解答】解：平面直观图是矩形O'A'B'C',且O'A,=6,O'C=3,

所以矩形。'A'B'C的面积为S'=6X3=18,

所以原平面图形的面积为$=2五$'=36√5.

故答案为：36&.

第15页（共25页）

【点评】本题考查了平面直观图的面积与原图形面积的关系应用问题，是基础题.

16.(2022春•鼓楼区校级期中)若平面向量之、京商足|7|=2，∣bI=L则G+EI的取

值范围是「1,31.

【考点】向量的概念与向量的模.

【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】利用向量模长的性质求解.

【解答】解：a∣TIa+bI《IaI+IbI,

，14Ia+bI43,

即∣Z+EI的取值范围是[1,3],

故答案为：[1,3].

【点评】本题主要考查了向量模长的性质，属于基础题.

≡.解答题(共6小题)

17.(2022春•马尾区校级月考)设向量偏=1,Ibi=I-且；与E具有关系K；+芯=√5G-

而(⅛>0).

(1)是否存在左,使得之与E垂直，请说明理由；

(2)若2与E夹角为60。，求％的值.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【专题】综合题；方程思想；综合法：平面向量及应用：数学运算.

【分析】利用两向量垂直的充要条件、夹角公式列出方程求解即可.

【解答】解：(1)由pɑ+芯=√EG-珀两边平方整理得：

(k-3)a+8ka∙b+(l-3k)b=O'

apk2+l=4ka∙b≠0)

故不存在A,使得Z与彘直.

(2)由(1)可知，k2-4kW∙E+l=0.......①，

当<a,b>=60°时'a*b=cos600蒋，

第16页(共25页)

代入①式整理得（A-I）2=0,解得％=1.

【点评】本题考查平面向量数量积的定义，两向量垂直的充要条件、夹角公式等，属于

基础题.

18.（2022春•马尾区校级月考）在△中，角B,C的对边分别是α,b,c且

b+c=a（V3sinC+cosC）∙

（1）求角/：

(2)求SirL8+sinC的最大值.

【考点】正弦定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑

推理；数学运算.

【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出/的值;

（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.

【解答】解：（1）由正弦定理，bc

sinAsinBsinC

WsinB+sinC=sinAcosC+/3SinAsinC-

又sinfi=sin(J+C)=SirL4cosC+cos/SinC,

所以CeISASinC+sinC=V^SinASinC，

又SinC/0,

所以COSA+I=FsinA,

利用三角函数关系式的变换，VssinA-cosA=L

兀、1

sinz(A-τ-)F

0N

因为0V∕Vτr,

ππ

所以A-

π

解得

A=T-

/ɔʌ/2兀、Vs1

-

sinB+sinC=sinB+si∏Co-B)=si∏B+ξ^cosB+^ysinB

^⅛^^c0sB+ɪsinB=√3sin

因0<B<等，

.π

6<B4<甘

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Λ√3sin

当且仅当B吟时取等号，取得最大值为√E;

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理的应用，正弦型函数

的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

*.**,.■'*

19.(2022春•福州期中)在C中，向量等式AC=AB+B8tAB+BC+CA=0，沟通了几

何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量

法的特性.

(1)如图44δC的三个角4B,C所对的边分别为α,b,c.设向量Z为ZX∕8C所在平

面的一个单位向量，记向量Z与Q的夹角为。.现构造等式(加前+不)∙Z=O,据此,

请你探究e=o及e=?L时Z∖∕8C的边和角之间的等量e关系；

2

(2)已知/。是aNBC的角平分线，请你用向量法证明：组段.

ACCD

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角.

【专题】计算题；对应思想：综合法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】(I)e=o时，r=jg,代入条件由数量积的定义和运算性质可得答案.当

IABI

∈∣T⅛,标=0,代入条件由数量积的定义和运算性质可得答案；

(2)设elAD,可得出I或乡|=傍:，再由

••

I嚣∣Ic∙;I=卜等+丝，41平ψ,从而得证•

(AD+DC)`e∣DCI

【解答】解：⑴0=0时，Z=里，则(AB+BC+H)`e=(AB+BC+CA),里=0,

IABIIABI

第18页(共25页)

.2~♦,,~*♦

ABAB-BCAB-CAC

即,+-→.+-→I=O即

IABIlIABIlIABI

KlIABI-∣BC∣cos(∏-B)IAB∣∙∣CA∣cos

ABI—*II—*I工o,

IABIIABI

即IABI-1≡Ic。SB-I禄ICoSA=o,即IABI=∣≡∣∞sB+ICAICOSA.

当8号时，>标二0'由(族+前+&)∙Z=o∙

则(皮+CAAZ=Cr即正∙e+CA`e=0)

则IBCIcos)+ICAIcos(-^-+A)=O或

IBCIcos)+ICAICOS(卷-A)=O

所以I前IsinB=∣CA∣sinA.即里1上围L

sinAsinB

证明：(2)设el标,如图，设∕cw=α,则直)号+a,Q,正〉f_a，

所以瓯ZiI瓦卜c°s(专+a)瓦

所以I=；----------------------1=7=J

AC.eIACIfccos(ɪ-ɑ)IACl

设GDB>=β,<e,DC>=π-β-

I(AD+DB)fceIIDBfceI∣DBI，cosp,二I而I

I1——<~~—==r-zr

(AD+DC)DLe∣DC∣>c□s(π-β)-∣DCI

所以叵I=叵L

IACIIDCI

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)

©

-------------------------------->B

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于难题.

20.（2017秋•闽侯县校级期中）如图，已知三棱锥/-8PC中，APA.PC,ACkBC,M为

/8的中点，。为PB的中点，且aPA四为正三角形.

（1）求证：8C_L平面ZPC：

（2）若8C=6,/8=20,求三棱锥。-BCN的体积.

A

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积：直线与平面垂直.

【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离.

【分析】（1）证明MO_LP8,APVPB,可证得平面P8C,推出ACLBC,

即可证明5C，平面/PC.

（2）说明M。是三棱锥。-8CM的高，求出三角形8CZ）的面积，然后求解三棱锥。-

8CM的体积.

【解答】解：（1）由为正三角形得MD,P8,由M为/8的中点，

得MD〃AP,所以可证得/尸_L平面P8C,

所以∕P"L8C,y.AClBC,所以得5C_L平面NPC

（2）由题意可知，Moj.平面PBC,M。是三棱锥。-BCM的高，

BMVAB=10,DM=^BM=5√3>BD寺B=5，

在直角三角形NBC中，M为斜边的中点，CM=yAB=101

第20页（共25页）

在直角三角形中，CD=JCM2-DH2=5,

.∙.三角形BCD为等腰三角形，底边BC上的高为4,

VH-DBC=4×⅛×θ×4X5√3=20√3∙

O4

【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间

想象能力以及计算能力.

21.（2021春•鼓楼区校级期中）如图，在正三棱柱容器/8C-小小CI中