2023-2024学年上海市南模中学八年级上学期月考数学试卷含详解

上海市南模中学2023学年初二上学期12月月考数学试卷

一、选择题（每小题2分，共12分）

1.下列说法中，错误的是（）

A.单项式与多项式统称为整式B.ab+3一个二次二项式

2s

C.7不是代数式D.单项式必片的系数为1.

2.下列运算正确的是（）

A.a3+a3=a6B.-i-a2=a3C.（—4Z2）3=a6D.（2a2b）3=Sa6b3

,xy

3.把分式寸中x,y值都扩大4倍，那么下列说法中正确的是（）

A.分式值不变B.分式的值扩大4倍

C.分式的值缩小4倍D.分式的值缩小8倍

4.如果多项式好+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加

上的是（）

1/

A.xB.C.4xD.-X4

24

5.化简（x+yT尸为（)

11C,」x

A一+yB.XH---D，xy+1

Xyxy+1

6.从边长为。的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边

形（如图1）,然后拼成一个平行四边形（如图2）,那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式

图2

2

B.+=a2+2ab+b~

C.=a~-2ab+b2D.a2-b~=（a+Z?）（a-Z?）

二、填空题（每小题2分，共28分）

7.用代数式表示的平方与b的和的2倍”为.

8.将多项式3X2J-4y2+f+盯3按字母》的降塞排列是

9.如果单项式2优+啰3与单项式—1,是同类项，那么召=.

10.计算：-x(x+y)=.

11.填空：(-x+2y)=x2-4y2.

12.计算：(18x4y3-6x2y2)^3x2y2=.

13.分解因式：X3—2x2—3x=-

14分解因式：3ab+2a+4+6b=.

15.某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学计数法表示这个数为米.

2

16.当％=时，分式X^-~2~X巴-上3的值为零.

x—3

2k

17.若方程三——=1有增根，则％=.

18.如果二次三项式f+7nx+121是一个完全平方式，那么系数加=.

19.若/+》-2=5,则X4+%-4的值为.

20.把长为20,宽为a的长方形纸片(10<a<20),如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形(称为

第一次操作)；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形(称为第二次操

作)；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的长方形为正方形，则操作停止.当"3时，a的值为

第一次操作第二次操作

三、简答题(每小题6分，共42分)

21.计算：—14+(2008—兀)°+［；］-(-23)

22.计算：(2x-l)~-2(x-2)(x+6)

23.因式分解：X4-3X2-4

24.因式分解：x?—2x+l—y?

上海市南模中学2023学年初二上学期12月月考数学试卷

一、选择题（每小题2分，共12分）

1.下列说法中，错误的是（）

A.单项式与多项式统称为整式B.H+3是一个二次二项式

2s

C.7不是代数式D.单项式必片的系数为1.

【答案】C

【分析】根据整式、多项式的项与次数、代数式及单项式的系数的定义解答即可.

【详解】A.单项式与多项式统称为整式，正确，故该选项不符合题意，

B.ab+3是一个二次二项式，正确，故该选项不符合题意，

C.空是代数式，故该选项说法错误，符合题意，

t

D.单项式fyz的系数为1.正确，故该选项不符合题意.

故选C.

【点睛】本题考查整式、多项式的项与次数、代数式及单项式的系数的定义，单项式与多项式统称为整式；几个

单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；熟练掌握相关定义是解题关键.

2.下列运算正确的是（）

A.a3+a3-a6B.a6a2=a3C.（—a2）3=a6D.（2a2b）3—Sa6b3

【答案】D

【分析】本题考查了合并同类项，同底数幕的除法积的乘方；根据合并同类项，同底数塞的除法积的乘方运算法则,

进行计算即可求解.

333

【详解】解：A.a+a=2a,故该选项不正确，不符合题意；

B.a6-a2=tz4,故该选项不正确，不符合题意；

C.（-/）3=一。6,故该选项不正确，不符合题意；

D.（2八）3=8血；3,故该选项正确，符合题意;

故选：D.

XV

3.把分式丁一中x,y的值都扩大4倍，那么下列说法中正确的是（）

2x+y

A.分式值不变B.分式的值扩大4倍

C.分式的值缩小4倍D.分式的值缩小8倍

【答案】B

【分析】将分式中的X,y换成4x,4y,进行计算，即可判断值的变化情况.

【详解】把分式式二中x,y的值都扩大4倍后变为：

2x+y

4xx4y_16xyxy

2x4x+4y8x+4y2x+y'

所以分式的值扩大了4倍，

故选B.

【点睛】本题考查利用分式基本性质判断分式值的变化，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

4.如果多项式炉+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加

上的是（）

A.xB.—x4C.4尤D.—X4

24

【答案】D

【分析】把/和1看作首末两项，那么中间项为加上或减去尤的2倍，如果把/看作乘积的2倍项，再加上一个

首项.

【详解】把/和1首末两项，那么中间项为加上或减去x的2倍，即2x或-2%,选项中没有符合的；

把/看作中间项，再加上一个首项：就能够直接用完全平方公式进行因式分解.

4

故选：D.

【点睛】本题考查了用完全平方公式-分解因式，把一项看作是平方项或乘积2倍项两种情况讨论.

5.化简（％+/1尸为（）

11yx

A.—+yB.xH—C.-----D.-----

xy孙+1xy+1

【答案】C

【分析】根据x-P=4的性质即可解题.

xp

【详解】解：（x+yT厂

]

一x+yT

]

=1

x+—

y

1

=xy+1

y

y

xy+l

故选C.

【点睛】本题考查了负指数累计算，属于简单题，熟悉负指数幕的计算法则是解题关键.

6.从边长为。的大正方形纸板正中央挖去一个边长为6的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边

形(如图1),然后拼成一个平行四边形(如图2),那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式

图2

B.(^a+by=a2+2ab+b2

C.(a—+D.cT—b~=(a+_b)

【答案】D

【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键.

【详解】解：图1中阴影部分的面积为：a2—2,图2中阴影部分的面积为：(a+b)(a—6),

..•两图中阴影部分的面积相等,

cT—b=(a+3)(a—Z?),

.•.可以验证成立的公式为"―62=(a+"(a—b),

故选：D.

二、填空题(每小题2分，共28分)

7.用代数式表示的平方与b的和的2倍”为.

【答案】2(a2+b)

【分析】先求。的平方，再求。的平方与b的和，最后求它们的2倍即可.

【详解】。的平方为：a1,

则。的平方与b的和为：a2+b>

所以。的平方与b的和的2倍为：2(o2+Z?)

故填：2(a2+6).

【点睛】本题考查列代数式，读懂题意正确列出代数式是关键.

8.将多项式3x2y-4y2+X3+A^3按字母》的降暴排列是

【答案】%3+3x2y+xy3-4j2

【分析】按x指数从大到小排列即可.

【详解】把多项式按字母x的降哥排列即为：x的指数从左至右按从大到小排列，

223

所以多项式3xy-4y2+f+盯3按字母x的降幕排列为：犬+3%y+xy_4/

故填：x3+3x2y+xy3-4y2.

【点睛】本题考查了多项式的定义，关键是要知道：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到

大的顺序排列，称为按这个字母的降幕或升幕排列.

1,

9.如果单项式2优+%3与单项式一耳矿步是同类项，那么孙=.

【答案】3

【分析】根据同类项的定义先解得了、y的值，再代入求解即可.

【详解】V单项式2优+%3与单项式-g/夕是同类项

x+l=2,y=3

x=1,y=3

孙=1x3=3

故填：3.

【点睛】本题主要考查同类项的定义和代数式求值，熟练掌握定义是关键.

10.计算：-x(x+V)=.

［答案］-x2-xy

【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据整式的乘法进行计算即可求解.

【详解】解：一x(x+y)=-/一呼，

故答案为：一厂-孙.

］］填空：(_》+2y)=x2-4y2.

【答案】-x-2y

【分析】利用平方差公式化简即可得到结果.

【详解】x2-4y2=(-x+2y)(-x-2y),

故答案为-x-2y

【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键.

12.计算：(18尤y43-6尤2y.

【答案】6x2y-2

【分析】根据多项式除以单项式的运算法则，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可得答案..

【详解】原式=18x4y3—3x2y2-6x2y2+3x2y2

=6x2y-2

故答案为6x2y-2

【点睛】本题考查多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键.

13.分解因式：X3-2X2-3X=.

【答案】x(x+l)(x-3)##x(x-3)(x+l)

【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解因式即可；

【详解】解：原式=尤12—2x-3)=x(x—3)(x+l),

故答案为：x(x-3)(x+l)；

【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如/+px+q的二次三项式，若能找到两数。、b,使a~=q且

a+b=p,可口么x1+px+q=x2+(a+b)x+a*b=(x+a)(x+b).

14.分解因式：3Q/?+2Q+4+6Z?=.

【答案】(a+2)(3b+2)

【分析】本题考查了因式分解，先分组然后提公因式法因式分解，即可求解.

【详解】解：3ab+2a+A+6b

=(3ab+6Z?)+(2a+4)

=3Z?(a+2)+2(a+2)

=(a+2)(3Z?+2),

故答案为：(a+2)(3〃+2).

15.某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学计数法表示这个数为米.

【答案】2.5xlO-5

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axKT",与较大数的科学记数法不同的是

其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解10.000025=2.5xlO5

故答案为：2.5x10".

r2-2X-3

16.当％=时，分式X的值为零.

x—3

【答案】-1

【详解】根据分式的值为0,则分子为0且分母不等于。，即可求解.

+心,一2%-3=0

解：由题忌可知：〈，

x—3工0

解得x--l.

故答案为一1.

2k

17若方程----------=1有增根，则％=.

x—11—x

【答案】-2

【分析】本题考查了分式方程的增根问题；将分式方程去分母后，将x=l代入求出左值即可.

【详解】解：去分母得2+A=x—1

「方程有增根，

二.最简公分母％-1=0,即增根是x=l,把x=l代入整式方程，得k=—2.

故答案为：-2.

18.如果二次三项式f+如:+121是一个完全平方式，那么系数加=.

【答案】±22##22或-22##-22或22

【分析】此题主要考查了完全平方公式；先根据首尾两平方项确定出这两个数，再利用完全平方公式的乘积二倍

项即可确定m的取值.

【详解】

解：,..x2+mx+121=x2+mx+112，

:.mx=±2xllxx,

解得m=±22.

故答案为：±22.

4

19.若无2+尤-2=5,则x+x-4的值为.

【答案】23

【分析】本题看考查了负整数指数幕，完全平方公式的应用，根据完全平方公式进行计算即可求解.

【详解】解：•.•f+x-2=5,

x4+x^=(x2+%-2)2-2X2X-2=25-2=23,

故答案为：23.

20.把长为20,宽为a的长方形纸片(10<a<20),如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形(称为

第一次操作)；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形(称为第二次操

作)；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的长方形为正方形，则操作停止.当n=3时，a的值为

第一次操作第二次操作

【答案】12或15

【分析】根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽.所以首先需要判断矩形相邻的两

边中，哪一条边是矩形的宽.当10<a<20时，矩形的长为20,宽为a,所以第一次操作时所得正方形的边长为a,

剩下的矩形相邻的两边分别为20-a,a.由20-a<a可知，第二次操作时所得正方形的边长为20-a,剩下的矩形相邻

的两边分别为20-a,a-(20-a)=2a-20.由于(20-a)-(2a-20)=40-3a,所以(20-a)与(2a-20)的大小关系不能确

定，需要分情况进行讨论.又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①20-a>2a-20；②20-a<2a-20.对于每一种

情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值.

【详解】由题意，可知当10<a<20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为20-a,所以第二次操作时正方形

的边长为20-a,

第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a,2a-20.此时，分两种情况：

40

①如果20-a>2a-20,即a<一,那么第三次操作时正方形的边长为2a-20.

3

:经过第三次操作后所得的矩形是正方形，

矩形的宽等于20-a,

即2a-20=(20-a)-(2a-20),

解得a=12；

40

②如果20-a<2a-20,即a>—,那么第三次操作时正方形的边长为20-a.

3

则20-a=(2a-20)-(20-a),

解得a=15.

故答案为12或15.

三、简答题(每小题6分，共42分)

21.计算：—「+(2008—-(-23)

【答案】17

【分析】本题考查了负整数指数幕，零指数幕，有理数的乘方；根据负整数指数幕，零指数塞，有理数的乘方进行

计算即可求解.

【详解】解：-I4+(2OO8-7i)o+Q^|-(-23)

=-1+1+9-(-8)

=17

22.计算：(2x-l)2-2(x-2)(x+6)

【答案】2X2-12X+25

【分析】根据完全平方公式、多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项即可.

【详解】解：原式=4/—4x+l—2(Y+4x—12)

=4——4x+l-2X2-8X+24

=2X2-12X+25.

【点睛】本题考查整式混合运算，解题的关键是注意去括号、合并同类项，以及公式的运用.

23.因式分解：X4-3X2-4

【答案】(X2+l)(x+2)(x-2),

【分析】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键.先利用十字相

乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解.

【详解】解：X4-3X2-4

=(尤2+l)(f一4)

=(/+1)(尤+2)(尤-2),

24.因式分解：%2—2.x+1—y2

【答案】(x-l-y)(x-l+y)

【分析】此题主要考查了公式法分解因式，根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解.

【详解】解：x2-2x+l-y2

=(x-l)2-/

=(x-l-y)(x-l+y)

、

(a2

25.计算:"上］+a---------

、b-a,、a-b,

【答案】-:

b

【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算的法则是解本题的关键.原式括号中两项通分并利用同分母分

式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果.

(a+b］(a-b\b1a(a-b}a1

【详解】原式=1——〜一L+—-+＜」——-

a-ba-ba-ba-b

a2-ab

a-ba-b

a2a—b

------■-----

a-b-ab

a

b

26.解方程：口_=4_一2

x-xx-1X

【答案】无=2

【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，解方程，最后检验，即可求解.

【详解】解：学1—』，

x-xx-1X

方程两边同时乘以—1)得，x+5=5x—3(%—1),

解得：x=2,

当x=2时，x(x-l)=2(2-l)=2^0,

x=2是原方程的解.

(a+3a)2a—9

27.先化简分式：十1-一之-------k-~再-2,2,3,5中选一个你认为合适的。值，代入求值.

I矿一4a-(2-6)5a-10,,

【答案］,55

a~-a-614

【分析】本题主要考查了分式的化简求值；先根据分式混合运算法则把原式进行化简，再选取合适的值代入求解.

〃+32a-9

【详解】解:

a2-45〃—10

(a+3)(〃-3)2)2a-9

(a+2)(a-2)(a-3)(a+2)(a-2)(a-3)5(a-2)

a2-9-a2+2a5(q-2)

(a+2)(a-2)(a-3)2a-9

2〃-95(Q-2)

(a+2)(a-2)(a-3)2a-9

5

(a+2)(a—3)

5

〃2_Q_6

*.*aw+2,3,

55

当”=5时，原式—（5+2）（5-3）—14

四、解答题（第28题8分，第29题10分，共18分）

28.A、8两地相距40km,甲骑自行车从A地出发1小时后，乙也从A地出发.用相当于甲的1.5的速度追赶，当

追到B地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙两人的速度.

【答案】甲的速度为20km/h,乙的速度30km/h.

【分析】设甲的速度xkm/h,则乙的速度1.5km/h.根据乙走完全程的时间=甲行驶的时间-1小时+20分钟为等

量关系建立方程求出其解就可以了.

【详解】解：设甲的速度xkm/h,则乙的速度1.5km/h.

40401

根据题意，得——=——1+-,

1.5%