第8章线性离散系统

11三月2024第8章线性离散系统8.1概述1.离散控制系统的特点2.离散控制系统的定义8.1概述1.离散控制系统的特点A/DD/A数字计算机被控对象测量元件图8.1(数字)计算机控制系统方框图r(t)e(t)b(t)c(t)uk(t)A/D：经采样、量化、编码转换把模拟信号变成数字信号。D/A：经保持、解码(信号恢复)将数字信号转化成模拟信号。数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。8.1概述1.离散控制系统的特点(a)连续信号图8.2A/D转换过程(c)数字信号(b)离散信号A/D转换过程是A/D转换器每隔一个采样周期对输入的连续信号采样一次，使其变为离散时间信号，再通过量化变成以（二进制表示的）数字信号。通常，采用采样周期为常数即等速（单速）采样的采样方式。8.1概述1.离散控制系统的特点(b)连续信号图8.3D/A转换过程(a)数字信号D/A转换过程是将数字信号恢复成连续信号。8.1概述数字控制系统的典型结构图图8.4与图8.1等效的离散系统结构图r(t)e(t)b(t)c(t)uk(t)e*(t)u(t)u*(t)TT离散控制系统的特点：从信号上看存在离散时间信号(离散信号、采样信号、脉冲序列或数字序列)；从元件上看有采样开关与信号恢复器。Gc(s)数字控制器的等效传递函数Gh(s)信号恢复器的传递函数Gp(s)被控对象的传递函数H(s)测量元件的传递函数8.1概述2.离散控制系统的定义离散控制系统的定义：当系统中某处或多处的信号为在时间上离散的脉冲序列或数码形式时，这种系统称为离散控制系统或离散时间控制系统。8.2信号采样与恢复1.信号采样2.采样定理3.信号恢复8.2信号采样与恢复1.信号采样采样过程：通过采样开关将连续信号变为离散信号(采样信号)的过程。输入连续信号输出离散信号x(t)t0T2T3T4T5T6T7T采样后x(t)x*(t)TT–采样周期t0x*(t)T2T3T4T5T6T7T8.2信号采样与恢复1.信号采样离散信号x*(t)为一理想脉冲序列，脉冲仅在采样时刻t=nT(n=0,1,2···)出现，而脉冲强度由nT时刻的连续函数x

(nT)值来确定。在数字式仪表或计算机中，离散信号x*(t)为一数字序列，而数字序列可以看作是以数字表示其幅值的脉冲序列，它与上述脉冲序列并没有本质区别。数学描述：118.2信号采样与恢复2.采样定理香农（Shannon）采样定理：如果采样器的输入信号x(t)具有有限带宽，并且有直到ωmax的频率分量，如果采样频率满足则采样信号x*(t)可以完全复现连续信号x(t)。其中，ωs为采样频率，T为采样周期，ωmax为连续信号中最高次谐波的角频率。采样定理是从离散信号完全复现原连续信号的必要条件。该定理给出了信号采样的最小采样频率。8.2信号采样与恢复2.采样定理采样周期的选择：工程实践表明，根据表8.1给出的参考数据选择采样周期T，可以取得满意的控制效果。控制过程采样周期T/s流量1~3压力1~5液位5~10温度10~20成分10~20表8.1采样周期的T参考数据8.2信号采样与恢复2.采样定理采样周期的选择：根据工程实践经验，随动系统的采样频率可近似取为即采样周期可按下式选取为通过单位阶跃响应的上升时间tr或调节时间ts，按下列经验公式选取：或者14信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。

保持器是具有外推功能的元件，保持器的外推作用，表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推。8.2信号采样与恢复3.信号恢复时，3.信号恢复工程实践中普遍采用零阶保持器。零阶保持器：将离散信号转换成在两个连续采样时刻之间保持常量的信号。xh(t)x*(t)零阶保持器t0x*(t)T2T3T4T5T6T7T常值外推t0xh(t)T2T3T4T6T7Txh(t)x(t)x(t-T/2)常值外推x(nT+τ)=x(nT)(0<τ<T)8.2信号采样与恢复3.信号恢复①T取得越小，xh(t)与x(t)的差别越小；②相位滞后，xh(t)比x(t)平均滞后半个采样周期；③时域特性(单位脉冲响应)为gh(t)=1(t)-1(t-T)；④零阶保持器的传递函数为t0x*(t)T2T3T4T5T6T7T常值外推t0xh(t)T2T3T4T6T7Txh(t)x(t)x(t-T/2)8.3Z变换与Z反变换1.Z变换的定义2.Z变换的基本定理3.求Z变换4.求Z反变换8.3Z变换与Z反变换1.Z变换的定义离散信号x*(t)表示为作拉氏变换可得令z=eTs，则得离散信号x*(t)的Z变换，并记为Z变换的定义：上式中的X(z)称为x*(t)的Z变换。②Z变换是对离散信号(采样脉冲序列)进行的一种变换；①z=eTs，z是一个复变量；③X(z)=Z[x*(t)]=Z[x(t)]，同一信号不同表示形式对应的脉冲序列的Z变换。8.3Z变换与Z反变换2.Z变换的基本定理设x1(z)=Z[x1(t)]，x2(z)=Z[x2(t)]，x

(z)=Z[x(t)]。在Z变换中有一些与拉氏变换类似的基本定理，应用这些定理可使Z变换的运算变得简单方便。1)线性定理：离散信号线性组合的Z变换等于它们的Z变换的线性组合。2)滞后定理(负偏移定理、右偏移定理)上式表明时域信号滞后k个采样周期，其Z变换需乘以z-k。式中a1、a2为常数。8.3Z变换与Z反变换2.Z变换的基本定理4)(复数)位移定理5)初值定理如果存在，那么6)终值定理：如果(z-1)X(z)在z平面的单位圆上和单位圆外均无极点，那么x(t)的终值为3)超前定理(正偏移定理、左偏移定理)式中a为常数。8.3Z变换与Z反变换3.求Z变换1)级数求和法一种直接从Z变换的定义出发的Z变换方法。Z变换的定义式例8.1求单位阶跃函数x(t)=1(t)的Z变换。x(t)=1(t)x(nT)=1(n=0,1,2,3,···)X(z)=1+z-1+z-2+···+z-n+···若|z|>1，上式的无穷级数是收敛的，那么可得利用Z变换的定义式及Z变换的基本定理，得到常用函数的Z变换表，如附录1所示。解8.3Z变换与Z反变换3.求Z变换2)部分分式法当给定连续函数x(t)的拉氏变换X(s)时，欲求其Z变换，则先将拉氏变换式X(s)进行部分分式分解，然后查Z变换表，求得其对应的Z变换X(z)。例8.5已知函数X(s)=a/[s(s+a)]，求对应的Z变换X(z)。解将X(s)表示为部分分式之和对应的Z变换为8.3Z变换与Z反变换3.求Z变换3)留数法已知连续函数x(t)的拉氏变换X(s)及其极点si(i=1,2,···,n)时，则x(t)的Z变换X(z)可通过留数计算式求得。式中，ri为重极点si的个数；n为彼此不等的极点个数。8.3Z变换与Z反变换3.求Z变换例8.8连续函数x(t)的拉氏变换为求对应的Z变换X(z)。解8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换1)幂级数(展开)法—长除法已知象函数X(z)，求原函数x*(t)(离散信号、离散时间信号)的运算，称为Z反变换，记为Z-1[X(z)]=x*(t)。设象函数X(z)是z的有理函数将X(z)的分子和分母都写成z-1的升幂形式，则可以直接用分母去除分子，得到无穷幂级数的展开式对应的离散信号x*(t)为8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换例8.10已知象函数试求其Z反变换。解将X(z)的分子和分母都写成z-1的升幂形式应用长除法得对应的离散信号x*(t)为x(t)在各采样时刻的值为x(0)=0；x(T)=10；x(2T)=30；x(3T)=70；···8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换2)部分分式法先将X(z)/z展开成部分分式的形式，然后再乘以z，化成的形式，通过查Z变换表求得离散信号x*(t)或x(kT)或x(k)。8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换例8.11已知，试求其Z反变换。查Z变换表得那么x(kT)或x(k)=10(-1+2k)(k=0,1,2,···)解8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换3)留数法留数法是求Z反变换的一种普遍方法。x(kT)等于函数X(z)zk-1在其全部极点上的留数和。8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换例8.13已知，试求其Z反变换。那么解8.4离散系统的数学模型4.开环系统的脉冲传递函数5.闭环系统的脉冲传递函数3.脉冲传递函数的推导2.脉冲传递函数的定义1.差分方程8.4离散系统的数学模型1.差分方程离散系统各变量之间的动态关系可以用下列n阶后向差分方程描述：式中，ai(i=1,2,···,n)和bj(j=1,2,···,m)为常系数。上式称为n阶线性常系数差分方程。也可以用下列n阶前向差分方程描述：8.4离散系统的数学模型1.差分方程求解差分方程常用的方法有迭代法和Z变换法。1)迭代法已知线性定常离散系统的差分方程式，并且给定输出序列的初值，则可以递推计算出输出序列。例已知下列二阶差分方程输入序列r(k)=1，初始条件c(0)=0，c(1)=1，试用迭代法求输出序列c(k)(k=0,1,2,···,10)。8.4离散系统的数学模型1.差分方程解由给定的差分方程可得递推关系根据初始条件及递推关系，求得8.4离散系统的数学模型1.差分方程2)Z变换法例8.14用Z变换法解下列二阶差分方程初始条件为c(0)=0，c(T)=1。解设c*(t)的Z变换为C(z)，由超前定理知对差分方程求Z变换，可得对C(z)求Z反变换，得到或8.4离散系统的数学模型2.脉冲传递函数的定义脉冲传递函数(z传递函数)：在线性定常离散系统中，当初始条件为零时，系统(或环节)输出离散信号的Z变换与输入离散信号的Z变换之比，即。图8.17开环离散系统r(t)r*(t)c(t)c*(t)TTR(z)C(z)R(z)G(z)8.4离散系统的数学模型3.脉冲传递函数的推导图8.18输出为连续信号的开环离散系统r(t)r*(t)c(t)c*(t)TTR(z)C(z)R(z)G(z)R(z)在大多数情况下，系统的输出是连续信号c(t)，而不是离散信号，这时可在输出端虚设一个与输入采样开关同步的采样开关得到离散信号c*(t)，从而推导出系统的脉冲传递函数。脉冲过渡函数：脉冲信号作用于线性环节G(s)上时，该环节的输出信号称为其脉冲过渡函数,为g(t)。8.4离散系统的数学模型3.脉冲传递函数的推导假设当n=-1,-2,-3,···时，c(nT)=g(nT)=r(nT)=0，即当n>k时，g(kT-nT)=0。则有输入脉冲序列根据叠加原理，输出量c(t)为一系列脉冲响应之和，即8.4离散系统的数学模型3.脉冲传递函数的推导根据Z变换的定义，输出量c(t)的Z变换C(z)为8.4离散系统的数学模型3.脉冲传递函数的推导那么脉冲传递函数上式可以写为脉冲传递函数的物理意义：脉冲传递函数G(z)是系统脉冲过渡函数g(t)经采样后g*(t)的Z变换。8.4离散系统的数学模型3.脉冲传递函数的求取例8.15已知开环离散系统连续部分的传递函数为G(s)=k/[(s+a)(s+b)]，试求对应的脉冲传递函数G(z)。解将G(s)展开为部分分式对应的Z变换为脉冲响应g(t)级数求和法脉冲传递函数G(z)传递函数G(s)部分分式法或留数法差分方程Z变换脉冲传递函数G(z)脉冲传递函数G(z)8.4离散系统的数学模型4.开环系统的脉冲传递函数1)串联环节的脉冲传递函数①环节间有采样开关隔开的情况图8.23环节间有采样开关的串联环节r(t)r*(t)c(t)c*(t)TTR(z)C(z)R(z)R(z)d(t)d*(t)TD(z)两个环节相串联，且环节之间有同步采样开关隔开时，串联环节的脉冲传递函数等于两个环节各自的脉冲传递函数的乘积。8.4离散系统的数学模型4.开环系统的脉冲传递函数1)串联环节的脉冲传递函数②环节间无采样开关隔开的情况两个环节相串联，而环节之间无采样开关隔开时，串联环节的脉冲传递函数等于两个环节传递函数乘积所对应的Z变换。图8.24环节间无采样开关的串联环节r(t)r*(t)c(t)c*(t)TTR(z)C(z)R(z)R(z)8.4离散系统的数学模型4.开环系统的脉冲传递函数2)有零阶保持器时的开环脉冲传递函数图8.25具有零阶保持器的开环系统r(t)r*(t)c(t)c*(t)TTR(z)C(z)R(z)R(z)式中，则若W(s)所对应的Z变换为W(z)，则(1-e-Ts)W(s)所对应的Z变换是(1-z-1)W(z)。458.4离散系统的数学模型4.开环系统的脉冲传递函数3)连续信号进入连续环节的情况图8-26连续信号进入连续环节的开环离散系统r(t)c(t)c*(t)TC(z)d(t)d*(t)TD(z)D(s)R(s)当开环离散系统的输入端无采样开关时，连续的输入信号就直接进入连续环节，将求不出开环脉冲传递函数G(z)=C(z)/R(z)，而只能求得系统的输出表达式C(z)。8.4离散系统的数学模型5.闭环系统的脉冲传递函数在离散系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，结构形式就不一样，因此系统的闭环脉冲传递函数就没有一般的计算公式，只能根据系统的实际结构具体地求取。闭环脉冲传递函数：闭环离散控制系统输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比，即当连续的输入信号直接进入连续环节时，将求不出闭环脉冲传递函数，而只能求得系统的输出表达式C(z)。47采样开关的输入和系统的输出分别为：48消去，得于是闭环系统的脉冲传递函数为Z变换，得：8.4离散系统的数学模型5.闭环系统的脉冲传递函数求闭环脉冲传递函数的方法方法一：选择系统输出变量和采样开关输出端的变量(中间变量)，用z域象函数列写方程组，消去中间变量，得到闭环脉冲传递函数或输出表达式。方法二：选择系统输出变量和采样开关输入端的变量(中间变量)用s域象函数列写方程组，然后对方程组中的各变量进行采样后取Z变换，消去中间变量，得到闭环脉冲传递函数或输出表达式。s域象函数采样的公式[Y(s)X*(s)]*=Y*(s)X*(s)[Y*(s)X*(s)]*=Y*(s)X*(s)[Y(s)X(s)]*=YX*(s)8.4离散系统的数学模型5.闭环系统的脉冲传递函数例8.23设有图8.31所示离散控制系统，在误差信号传递通道上无采样开关。试求系统的输出表达式C(z)。图8.31(a)离散控制系统r(t)c(t)c*(t)TC(z)x(t)x*(t)TX(z)R(s)解方法一：列写方程组X(z)=RG1(z)-G1G2H(z)X(z)C(z)=G2(z)·X(z)8.4离散系统的数学模型5.闭环系统的脉冲传递函数消去中间变量，得图8.31(b)离散控制系统r(t)c(t)c*(t)TC*(s)x(t)x*(t)TX*(s)X(s)R(s)C(s)方法二：列写方程组X(s)=[R(s)-X*(s)G2(s)H(s)]G1(s)C(s)=X*(s)G2(s)8.4离散系统的数学模型5.闭环系统的脉冲传递函数消去中间变量，得对以上两式离散化X*(s)=RG1*(s)-X*(s)G1G2H*(s)C*(s)=X*(s)G2*(s)以上两式取Z变换X(z)=RG1(z)-X(z)G1G2H(z)C(z)=X(z)G2(z)8.5离散系统的分析1.稳定性2.稳态误差3.动态性能8.5离散系统的分析1.稳定性1)稳定的充要条件线性离散系统的闭环脉冲传递函数pk--闭环极点zl–闭环零点M(z)–分子多项式D(z)–分母多项式、特征多项式单位阶跃输入时的系统输出：假设C(z)无重极点，可展开为：8.5离散系统的分析1.稳定性线性定常离散系统稳定的充要条件：全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，即|pk|<1，相应的线性定常离散系统是稳定的。对有重极点的情况同样适用。Z反变换得单位阶跃响应稳定条件56从s平面到z平面的映射关系由Z变换的定义若令则有返回子目录1.稳定性2)Z域的稳定条件572)Z域的稳定条件从z平面到s平面的映射（1）z平面上单位圆上的点，映射到s平面虚轴上（2）z平面上单位圆内的点，映射到s平面左半平面对应的点（3）z平面上单位圆外的点，映射到s平面右半平面对应的点582)Z域的稳定条件判定方法：劳斯判据：系统特征方程的根是否在左半平面超越函数：不能直接应用Routh判据稳定性判别转化为判断系统代数方程的根是否全在左半平面8.5离散系统的分析2)双线性变换与稳定判据通过一种双线性变换，使z平面的单位圆内映射到一个新平面的左半平面。双线性变换或双线性变换的映射关系：令z=x+jy，则8.5离散系统的分析1.稳定性①z平面的单位圆内部：x2+y2<1u<0，即w平面的左半平面。②z平面的单位圆外部：x2+y2>1u>0，即w平面的右半平面。③z平面的单位圆上：x2+y2=1u=0，即w平面的虚轴。0ujvw平面z平面xjy0-1利用劳斯判据判定离散系统的稳定性：①通过双线性变换将特征方程D(z)=0变为新的特征方程D(w)=0；②对于新的特征方程D(w)=0，利用劳斯判据判定系统的稳定性。8.5离散系统的分析1.稳定性解例8.23已知离散系统的特征方程为将代入上面的特征方程，得w32.451.52w23.620.4w11.25w00.4Routh阵列表Routh表中第一列元素均为正，故离散系统稳定。试判定离散系统的稳定性。628.5离散系统的分析2.稳态误差离散系统的稳态响应特性与连续系统类似，它是用稳态误差来表征的，且稳态误差的大小取决于系统的特性(结构和参数)和输入信号的形式，仍然与系统的无差度(或系统的型别)有关。下面介绍计算线性离散系统稳态误差的终值定理和静态误差系数法。638.5离散系统的分析2.稳态误差1)终值定理误差脉冲传递函数r(t)e(t)e*(t)c(t)E(z)图8.41单位反馈离散系统误差当系统稳定，即Φe(z)的全部极点都位于z平面的单位圆内时，应用终值定理可得稳态误差648.5离散系统的分析2.稳态误差2)误差系数法系统的型别：若系统的开环脉冲传递函数G(z)含有ν个z=1的开环极点，则称之为ν型系统或系统的无差度为ν。①阶跃输入信号r(t)=r0·1(t)式中--静态位置误差系数658.5离散系统的分析2.稳态误差②速度输入信号r(t)=v0t式中--静态速度误差系数668.5离散系统的分析2.稳态误差③加速度输入信号r(t)=a0t2/2式中--静态加速度误差系数678.5离散系统的分析2.稳态误差表8.3在给定输入作用下离散系统的稳态误差系统型别r(t)=r0·1(t)r(t)=v0tr(t)=a0t2/20型∞∞1型0∞2型00688.5离散系统的分析2.稳态误差例8.25已知离散系统的结构如图8.40所示，采样周期T=1秒，求在r(t)=3+4t作用下系统的稳态误差。r(t)e(t)e*(t)c(t)图8.40例8.25离散系统的结构图解开环脉冲传递函数为698.5离散系统的分析2.稳态误差系统特征方程为即解得特征根特征根均位于平面的单位圆内，故系统稳定。静态误差系数分别为则系统的稳态误差为708.5离散系统的分析3.动态性能由阶跃响应求性能指标的步骤如下：1)时域响应与动态性能指标(1)由闭环脉冲传递函数Φ(z)，求输出量的z变换：(2)利用长除法将上式展开成幂级数，通过z反变换求得c*(t)。(3)由c*(t)在各采样时刻的值，得到σp%、tr、tp、ts等性能指标。其中σp%为最高采样值的超调量；tr为第一次等于或接近稳态值所对应的采样时刻；tp为最高采样值所对应的采样时刻；ts为进入允许误差范围时采样点所对应的采样时刻。718.5离散系统的分析3.动态性能解开环脉冲传递函数为例已知离散系统如图所示，T=1(s)，r(t)=1(t)，试求系统的性能指标。r(t)e(t)e*(t)c(t)闭环脉冲传递函数为728.5离散系统的分析3.动态性能单位阶跃响应的z变换为用长除法将C(z)展成幂级数：738.5离散系统的分析3.动态性能z反变换得748.5离散系统的分析3.动态性能根据上述各时刻采样值c(nT)(n=0,1,2,···)可以绘出离散系统的单位阶跃响应如图所示，由图可以求得给定离散系统的近似性能指标为：σp%=40%、tr=2(s)、tp=4(s)、ts=12(s)8.5离散系统的分析3.动态性能离散系统闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的分布对系统的动态响应具有重要影响。确定它们之间的关系，对分析和设计离散系统具有指导意义。2)闭环极点分布与瞬态响应的关系线性离散系统的闭环脉冲传递函数8.5离散系统的分析3.动态性能单位阶跃响应--稳态分量--暂态分量8.5离散系统的分析3.动态性能图8.41(a)闭环实极点分布与相应的动态响应形式0<pk<1单调衰减过程-1<pk<0：正负交替振荡的衰减过程Pk>1单调发散过程pk<-1：正负交替振荡的发散过程Pk=1：等幅过程pk=-1：正负交替振荡的等幅过程78实数极点位于右半z平面。输出动态响应为单向正脉冲序列。实极点位于单位圆内，脉冲序列收敛；实极点位于单位圆外，脉冲序列发散。实数极点位于左半z平面。输出动态响应为双向交替脉冲序列。实极点位于单位圆内，脉冲序列收敛；实极点位于单位圆外，脉冲序列发散。3.动态性能8.5离散系统的分析3.动态性能图8.41(a)闭环复极点分布与相应的动态响应形式|pk|<1衰减振荡过程|pk|=1等幅振荡过程|pk|>1发散振荡过程pk越靠近正实轴，振荡周期越大；

pk越靠近负实轴，振荡周期越小。|pk|<1衰减振荡过程8.6数字控制器的设计1、线性离散系统的设计方法2、最少拍系统的设计8.6数字控制器的设计1）间接设计法先按连续系统进行设计，然后将所设计的模拟控制器离散化得到数字控制器。2）根轨迹法和频率法根轨迹法和频率法在离散系统中的推广。将控制对象离散化，并用离散系统理论在z平面或w平面上进行设计的两种直接设计方法。3）直接数字设计法直接根据离散系统理论在z域进行综合的解析方法。1、线性离散系统的设计方法828.6数字控制器的设计2数字控制器的脉冲传递函数r(t)e(t)e*(t)c(t)E(z)图8.52离散控制系统结构图闭环脉冲传递函数为数字控制器（数字校正装置）的脉冲传递函数，为保持器与被控对象的传递函数。误差脉冲传递函数838.6数字控制器的设计2数字控制器的脉冲传递函数离散系统的数字校正问题是：根据对离散系统性能指标的要求，确定闭环脉冲传递函数或误差脉冲传递函数，然后根据下式确定数字控制器的脉冲传递函数，并加以实现。或者8.6数字控制器的设计通常把采样过程中的一个采样周期称为一拍。若在典型输入信号作用下，经过最少采样周期，系统的采样误差信号减少到零，实现完全跟踪，则此系统称为最少拍系统，又称最快响应系统。3最少拍系统