三角函数与解三角形-2023年高考数学考试（新高考）（解析版）

专题08三角函数与解三角形

三角函数与解三角形

方

开

复合

考

没

函

数

正

虑

忽

视

值

求

淆

混

忽

视

含参

号

负

内

视

忽

函

角

三

三

角

问题

角的

数

自

数

函

函

数

忽视

范

围

变

量

象

图

的

值

参

对

的

符

移

平

域

致

的

:有关三夕数要注意角的范乡的范围,

则

规

论

讨

号

错

错

2.对于含有整2,要注意对k进行讨论致

3.三角函数图2X的,

4.对于含有二次根式的求值问题，开方时要注意考虑正负,

5.对于与三角函数有关的复合函数单调性问题，要注意内函数的单调性,

6.逆用三角函数公式时，要注意其结构特征，

易磊合折

一、忽视角的范围致错

1.已知Q是第二象限角，sin则CoSCt等于（）

12512

A.B.cD±1

13T3∙⅛13

5I-----------12

【错解】选D,因为Sin9α+CoS9~α=l乂Sina=百，.*.cosa=±∖1-sin2cc=±-β,∙

【错因】没有注意条件α是第二象限角，

._______12

【正解】选ATa是第二象限角，则COSa>0,Λcosa=­yj1-sin2a=-ɪɜ.

2.已知sin9+CoSe=g,6∈(θ,习，贝IJSine—cos。的值为.

472

【错解】Vsin∕7÷cos0=q,.∖sinOcos。=二，(sin0—cosΘ)2=1-2SinOcos^=∩,

jIoy

二•sinJ-cos8=±坐.答案：±坐

【错因】没有注意由条件e∈（θ,吊可得Sin衣COS"

472

【【E解】Vsin/7+cosO=鼻,.∖sinOCoSΘ=n.'.(sin〃-COS0)2=1—2sinOCoS

Jlθ7

又。＜（），：），.".sin的CoSθ,二sin，-COSθ=—答案：一坐

3.已知夕£(0,π),tanf^+τ)=j,则sin6+COSO=.

【错解】由题知tan(θ+g)=g=g^^^≠tan8=;,又因为9∈(0,兀),

sinΘIsm.喑S•InAJ=——叵

COSO=T

有＜或，10

7√2

.cos20+sin¼=1a7√2;

10'cos，=-------

10

3√2答案•"巨或-豆2

所以sin0÷cosθ=口

-1-•5$

【错因】没有注意由tan。=；＞0可以缩小角的范围，即可推出6∈(θ,习,

(πλ41+tan9ɪ

【正解】由题知tan(e+/=?=I—tan户tan夕=工又因为8∈(0,π),且tanft>O,所以。

sin9=*,

sin。1

所以。=普=嗓答案:斗

有Vcosθ~7fsinO+ss

,cos20÷sin20=1M端

4.在C中，若C=32,则钠取值范围为()

A.(0,3)B.(1,3)C.(1,√3)D.(√3,3)

【错解】选A由正弦定理可得，R%=咤=包运联I=Sin8—28+广8.28

bsɪnBsɪnBsɪnBsinB

=CoS28+2COS2B=4COS2B-1.又0V8C180。，Λ0≤cos25<l,又表0,ΛO<j<

3.

【错因】忽略了/+B+C=180。及条件C=38,

」.、、EF/°CsinCsin3BSkI(B+28)sin2?cos÷cossin2B

【正解】选B由正弦定理可得，-^-=-=--r-=-------------------

=Cos25+2cos2^=4cos25—1.又Z+3+C=180°,C=33,

、历c

Λ0o<5<45o,・•・奇VCoS6V1,Λl<4cos2^-1<3,即l<gV3.

二、对于含有二次根不的求值问题,开方时没有注意正负

5.化简：2*∖∕sin8+1÷√2cos8÷2=()

A.4cos4B.—2Sin4—4cos4

C.4sin4D.2sin4+4cos4

［错解］选D原式=2γ∣I+2sin4cos4+√4cos¼=2-\/sin24+cos24+2sin4cos4+2cos4

=2sin4+2cos4+2cos4=2sin4÷4cos4.

【错因】开方时没有考虑2cos4、sin4+cos4的正负，

【iE解】选B原式=241+2Sin4cos4+∙∖∕4cos24=2qsin24+cos24+2sin4cos4+2∣CoS4|

3Ti

=2∣sin4+cos4∣+2∣cos4∣,Vπ<4<2^^,/.sin4+cos4<0,cos4<0,

/.原式=-2(Sin4+cos4)-2cos4=-2Sin4—4CoS4.

6.)

θ

B.CoSa

C.-Sinfθ

D.-C。牙

4,1/1+cos-^ʌʃ',θθ

【错解】选B由二倍角公式得2÷2COS6=COS-]=CO迂,

,l×2cos^θ

LG==CO为

222V24

3π

【错因】没有用了〈长5去求5、，的范围,

.3兀。5兀3兀。5π.ʌ,θ八.θ

【正解】选AVy<0<y,••彳<5"，至<ΓT'∙∙cosG0,cos^<0,SInT>a0,

U1∕l+cosθI7θθ

5+5COSO=\-----2-----=ʌ/cos-^=-eosɪ,

ɪ-eosf

g+JcosO=sin2∣=sin∣

2+2-2-

三、三角函数图象左右平移时忽视自变量X的系数致错

7.为了得到函数y=的图象，可以将函数y=sin2x的图象（)

A.向右平移看个单位B.向右平移鼻个单位

C.向左平移季个单位D.向左平移W个单位

【错解】选B根据左加右减可知，为了得到函数y=的图象,可以将函数y=sin

π

Zr的图象向右平移J个单位.

【错因】图象左右平移针对的是自变量X,

函数γ=sinfzr-ɜ)=sin[2(x,=ShIQX-

【正解】选A二为了得到函数y=的图象,

π

可以将函数y=sinZr的图象向右平移6个单位.

8.要得到y=cos(5+∣)的图象，只需将y=sin；X的图象()

A.向左平移;个单位B.向右平移事个单位

C.向左平移∙y个单位D.向右平移G个单位

【错解】选A因为y=cos⅛+2=14，故要得到y=cosg+D的图象，只需

COS-(XH——)

23

ɪπ

将函数y=sinEx的图象向左平移，个单位.

【错因】函数图象平移变换时，没注意函数的名称是不一致的，不能直接进行平移，

【正解】选Cy=cos(5x+d)=sinQx+Z+5)=sin[5Q+τ)],故要得到y=cos(]x+/的

ɪ4π

图象，只需将函数y=si应X的图象向左平移了个单位.

四、涉及到整数k的问题，忽视对k的讨论致错

9.已知角α为第一象限角，贝I号是第象限角.

πaπ

【错解】Ta是第一象限能，Λ2Aπ<c(<2÷2⅛π,⅛∈Z,.∙.Ev2<W+E,⅛≡Z,

a

则5是第一象限角.答案：一

【错因】没有对k分情况讨论，

πaπ

【正解】Ya是第一象限角，.∙.2AπVaV2+2E,⅛∈Z,兀<2<4+E,Λ∈Z,

aa

当左为偶数时，，是第一象限角；当人为奇数时，5是第三象限角.

综上，5是第一或第三象限角.答案：一或三

,,,.,sin(kπ+a),cos(⅛π÷α).,,.ɪ,,八一一ʌU

10.(忽视l对左的讨λ论)已知Z=b"["ToSa-(∈Z)π,则4的值构成的集合是

【错解】∕=i≡+景=2.答案：⑶

【错因】没有对k分情况讨论，

—sinaCOSaSinaCOSCk

【正解】当4为奇数时：A=sin(1—cosa=-2.当k为偶数时：∕=sinα+coso=2.

答案：{-2,2}

五、含参问题忽视对参数的讨论致错

11.己知角a的终边过点P(-4M,3M(M≠0),则2sina+cosa=.

【错解】易知00=、/(—4加)2+(3M)2=5"?,则Sina=3m3，COSa=4.

5m55m5

22

故2sinα+cosα=g.答案：5

【错因】没有对参数m分情况讨论，

_____________3〃？-4/〃

【正解】易知0尸=#(-4加)2+(3〃?)2=51川,则Sina=丽［,cosa=5∣∕∏∣.

342

当勿7>O时，Sina=5,CoSa=­5,2sinα+cosα=5;

342

当〃7<0时，Sina=­5,CoSa=5,Λ2sinα+cos«=­5.

22

古攵2sinα÷cosa=±5∙答案：zt5

六、三角函数的单调性问题中，忽视自变量X的系数为负值致错

12.函数人X)=Sine一x)的单调递增区间为.

【错解】要求yOr)=sine一J的单调递增区间，只需4W-^+2⅛π≤^-x≤^+2⅛π(⅛∈Z),

可得—+2kπ≤x≤^÷2kπ(k∈Z),所以函数/(x)=Sinl黎一x)的单调递增区间为

∖--÷2⅛π,⅛+2Aπ］(⅛∈Z).答案：［—2+2⅛π,rγ+2⅛π］(⅛∈Z).

3∙53J

【错因】没有注意自变量X的系数是负数，

【正解】因为/(X)=Sin(Z-.J=-sinQ—ðɪ所以要求/(X)=Sin(Z—J的单调递增区间，

(πλππ3π

只需要求y=sin∖x—6J的单调递减区间.令2÷2⅛π≤x—6≤^2^+2kιt(k∈Z),

2π5π(QΓ^2π5π^

可得T+2EWxW"V+2E(%∈Z),所以y=sin"-6j的单调递减区间为［3÷2Λπ,3+2既_

∕π、∣~2π5π

("∈Z),此即为函数兀V)=Sin监一口的单调递增区间.答案：LT+2Λπ,T+2ArπJ(⅛∈Z)

七、判断三角形形状时考虑不全致错

13.已知在△45C中，三个内角为4B,C,sin2J=sin2B9则448C是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【错解】选A因为sin2A=sin2B,所以2A=2B,解得A=B,所以4ABC是等腰三角形.

【错因】sin2A=sin2B时，有两种可能：2A=2B或2A=兀-2B,

【正解】选D因为sin2/I=Sin28,所以24=28或2%=π-28,解得/=8或4+8=5

所以4/BC是等腰或直角三角形.

八、忽视正切函数本身的定义域

14.已知函数√(x)=lg(tanχ-1)+4产χ2,则/(x)的定义域是.

【错解】：函数T(X)=Ig(tanx-1)+出二)，

∫tanχ-l>0,x≥kπ-∖——，攵∈Z3;TCr

4,.∙,χ∈r[--,3],

l-o,4

-3≤x≤3

；♦函数y=∕(x)的定义域为［------,3］.答案：［-------,3］

44

【错因】没有考虑y=tanX的定义域，

【正解】函数./(x)=lg(tanχ-l)+.9-χ2,

tanχ-1>0,kπ+^<r<Aπ÷^(⅛∈Z),

9-χ2>0,

-3≤x≤3,

二函数y=y(x)的定义域为(一竽,甘)唔，答案:(-⅞>-2)u(J\

1.集合｛α∣E+mαW⅛π+f,左∈z｝中的角所表示的范围(阴影部分)是()

多少洋声

ABCD

【答案】C

【解析】当A=2"("∈Z)时，277π÷^≤α≤2∕zπ÷^(∕7∈Z),此时a的终边和的终边一

样；当A∙=2∕?+1("∈Z)时，2∕∕π+π+^≤α≤2∕∕π+π+^(Λ∈Z),此时a的终边和π+^≤a≤π

JT

+］的终边一样，结合选项知选C.

2.在a∕8C中，若SinZ4=sin2C,则4/8C的形状是()

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

JT

【解析】因为sin2∕f=sin2C=sin24=sin(π-2。，所以4=C或4+C=,

当力=C时，三角形为等腰三角形：当/+c=T时，三角形为直角三角形.

3.已知角。的顶点与原点重合，始边与X轴非负半轴重合，若4(—1,刃是角。终边上的一

点，且SinJ=-3,贝IJy=()

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】B

【解析】因为sin9=一与俱vθ,^(―1,y)是角8终边上一点，所以产0,由三角函数的定

义，得方七=一*'解得y=-3.

4,已知6是第三象限角，且CoS(Tt+6)=g,则tan6=()

A.9B.2

C.2√2D,√10

【答案】C

【解析】CoSS+9)=-COSe=I∙,所以CoSJ=又，是第三象限角，

________2√2

所以sinΘ=—yj1—cos20=—ʌʃ1-(-92=一4所以tan，=：：北=----=2艰.

^3

5.已知a终边与单位圆的交点F(x,D，且a是第二象限角，则NLSin2α+42+2cos2a的

值等于()

11

ʌʒB-^?

C.3D.-3

【答案】C

【解析】因为α终边与单位圆的交点KX，1).且α是第二象限角，所以Sina=

cosa=-],则*∖∕l-sin2α+<2+2cos2a=ql——2Sinorcosα+[2(l+cos2a)

=Λ∕(sina-cosa)2+-∖∕4cos2a=∣sina—cosa∣÷2∣cosa∣=g+g=3.

6.设a角属于第二象限，且卜os?=—Cos则粉属于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】：a是第二象限角，.∙.90°+无∙360<a<180°+k∙360°,A∈Z,

.♦.45。+180。号<90。+ZH80。，⅛∈Z.

/7(1

当k=2∕ι,"∈Z时，]在第一象限；当％=2〃+1,"∈Z时，5在第三象限，

在第一象限或在第三象限，*/ICOS^I=—cos^,Λcos∣<0,•皮角在第三象限.

7.已知Sina,cosα是方程x2—2Ax+F+&=0的两根，则上的值为()

ʌ,ɪɪ^ʃɜBlFC.l±∖βD.l+√3

【答案】B

[sinα+cosa=2k,

【解析】由题意得.

Isinαcosa=κ^+κf

Vsin26z+cos2α=(sin<z÷cos«)2—2sinacosa=4k2-2(∕^+k)=1,

2

即2k-2k-1=0,解得k==ɪ••sjnQ+COSα=*∖∕2sin^a÷^,

Λsinct÷cosct∈[-√2,啦],即2〃£[一啦，√2],Λ⅛∈—乎，乎]‘，女」.

8.若。£(0,兀)，tanθ+.ɪ∕j=6,则Sirι0+cos9=()

IanU

A.平B.普

c.士平d.I

【答案】A

rʌnɪr-wCq/-1sinθ.cosθSin2。+COS2。，“，.八1

[角平析】因为tanθ+~—7=------7÷--77=—：―7-----τ-=6,所以sinJCOS0zι=7,

tanOcosθsinθsinGCoSθ,6

又6∈(0,π),JNsinGO,cosθ>0f所以Sine+cosGO.

所以(Sinθ+cosθ)2=1÷2sinOCOS所以sin8+cos夕=邛2

53

9.在44δC中，CoSz=百，SinB=则CoSC的值为()

.16C56CI6C16T56

A65b-^65c∙~650.行或一记

【答案】A

【解析】在△4BC中，由cos/=旨，sin8=g,可得sin4=Λ∕P^COS2∕4=舌，

因为sin3<sinN且4为锐角，则b<α,所以A>B,所以3为锐角，所以COSB=y∣1—siʤ=

4

5,

则cosC=cos[π­(/4+^)]=-cos(J÷5)=—cosAcos+sinJsinB="^j^×5^*^Hx5=65,

10.已知CoSa=乎，SinP=曙，且αe(θ,。产∈(θ,。则α+.的值是()

【答案】B

【解析】因为α∈(θ,T)∕∈(θ,1)，所以Sina=。1—cos2a=乎,COSβ=y∣1—sinR='工，,

COS(a+夕)=cosOtcos夕一sinasin夕X与俱—乎乎.又OVa+夕Vπ,故a+夕=：.

11.己知q∈R,则"3=0"是''y=sin(x+0)为奇函数”的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当0=0时，J=Sin(X+p)为奇函数：当y=sin(x+0)是奇函数时，φ=kπ,k∈Z,

所以“°=0"是''y=sin(x+9)为奇函数”的充分不必要条件，故选A.

12.在ZMBC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知acosZ=反os8,

且c2=a2+b2-ab,则C的形状为()

A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

【答案】D

【解析】因为acos∕=6cos8,所以sin∕cos∕=sinBcos8,即sin2∕=sin28,又/,β∈(0,

π),故可得/=8或由。2=标+人2—血得COSC=；,又C∈(0,π),故可得。=鼻.

TT

综上所述，/=B=C=I.故三角形/8C是等边三角形.

13.把函数/(x)=2cos(2x—的图象向左平移机(阳>0)个单位，得到函数g(x)=2sin(2x一的

图象，则机的最小值是()

7c17〃5r19

A.五兀θ-24π^,24π^-24π

【答案】B

［解析］选B把函数/(x)=2COS(2A—的图象向左平移加("?>0)个单位,

得到7(x)=2cos2(x+w)-=2COS(2x+2〃?一彳)的图象，

=28M-(ZL到

g(x)=2sin

由2mJ=T+2E,%∈Z,得m=—碧+E,⅛∈Z.

V∕w>0,.∖当k=1时，m最小，此时

14.已知ω>0,函数T(x)=sin(Gx+：)在区间兀

2,上单调递减,则实数ω的取值范围是()

-13

I--(

B.L4C.0,ID.(0,2]

2,

【答案】A

TTπ,π,ππ「兀∣兀∣兀L

【解析】由FWXW兀付2G+4≤ωx+WWπco+14,由题意口+不πω^'^4j-

24π+^,2氏π+咨］

π,ππ

2ω+4^2'

得BWcu号

{πω+∣≤y,

15.已知函数y=sin@x+9)(0>O,［例<3的图象的一部分如图所示，则。，φ的值分别为

()

TtTtItTt

A.1,yB.1,—ɜC.2,一§D.2,ɜ

【答案】D&

【解析】由图象知，/=相一；=；，即T=π,所以称=兀,即3=2.

又函数图象过点俘，0),所以2义鼻+夕=⅛π,⅛∈Z,又侬故°=鼻，故选D.

16.已知函数yζr)=sin［"χ+点)go),对任意XeR,都有y(x)≤yg),并JIy(X)在区间—■

上不单调，则。的最小值是()

A.1B.3C.5D.7

【答案】D

【解析】由题意，《舒是函数贸X)的最大值，

詈+*=2E+],A∈Z,即。=6*+1,⅛∈Z.Vω>0,Λ⅛∈N.

当％=0时，0=1,")=SilG+§在［一季，W上单调递增，不符合题意;

当A=I时，。=7,√U)=Sin(7x+§符合题意，.∙.ty的最小值是7.

17.(多选)在C中，角/,B,C的对边分别为“，b,C.若b=2√j,c=3,A+3C=π,

则下列结论正确的是()

A.cosC~~3B.sinB—ɜC.(2—3D∙SAABC=,\[^

【答案】AD

【解析】选AD由4+3C=π,得8=2C.根据正弦定理-Λ^=-⅛,得2√5sinC=3X2sin

SInʌ*sin

CcosC,又sinOO,故cosC=ɜ,sinC=半，故A正确；sin5=sin2C=2sinCcos,

故B错误；由余弦定理得/=々2+〃-2"CoSC,将b=2yβ,c=3代入得标-4α+3=0,

πTT2、B

解得4=3或α=1.若q=3,则4=C=不且8=/,与sin6=寸-矛盾，所以α=l,故C

错误；S∆j5c=^⅛sinC=∣×1×2√3×^=√2,故D正确.故选A、D.

D.

【答案】BC

【解析】由题图可知，函数的最小正周期丁=2（与一*=π,；扃=兀，ω=±2.

当ω=2时，y=sin（2x+明将点像,0）代入得，Sin（2X,+，=0,

Λ2×∣÷99=2⅛π+π,⅛∈Z,即e=2E+差⅛∈Z,

Λ^=sin^2x+^j,故A错误；由Sin(2x÷ryJ=Sin^兀一仔—2x)]=Sin(T——2J佚口

B正确;

sin(2x+,)=sin(2x+T+*)=cos(2x+§次口

由C正确:

sin(2x+竽)=COS(2X+=CoS[兀+(Zr—•]=—COS管-2x)知

由D错误.

综上可知，正确的选项为B、C.

=-乎,则

19.若OVaV去—π<jff<-cos∣5π+°t)=3cos(α+^)=()

、4

Aj√3B*cT

A.9

【答案】D

【解析】V0<α<^,-π<β<~^,®')?<7+a<V，τ<7-f<⅜,

tfc

乙/>•«T乙τ乙T

∙∖sin(；+aI-cos2f^+<zj='唯sinyβ

3，

因此,

十3X3_3•

20.已知角α的终边经过点(3。-9,。+2),且COSa≤0,Sina>0,则实数Q的取值范围是

【答案】(-2,3]

【解析】•/cosa≤0,sin«>0,∙'.角a的终边落在第二象限或y轴的正半轴上./.

[3a-9≤0,

，-2<a≤3.

[a+2>0,

7Γ

21.已知函数/(x)=2Sin(GX+p)(m>O,-πq<0)的相邻两个零点间的距离为5,且.

—2,则φ=

【答案】

【解析】由题意T=2><E=兀，①>0,所以①=爷=2=2sin(_；+,=-2,

兀兀TU

-^+φ=2kπ-~^,左∈Z,又一"9<0,所以°=一丁

sin(nπ÷a)cos(nπ—a),,..rrlu

22∙化简'(〃，)；—]'(〃ez)的结果为.

【答案】(―l)""sinaS∈Z)

sin(2⅛π+α)cos(2⅛π—α)Sinacosa

【解析】①当〃=2如τ∈Z)时,原式=，sina.

cos[(2⅛÷l)π-α]

Sin[(2k+1)兀+α]cos[(24+1)兀一幻(-sina)(—