高考数学（文）精准备考一轮全国通用版讲义选修4－5不等式选讲

选修4一5不等式选讲

第1课/绝对值不等式

i⅝ht前・回MW........................................................,Bi双

基］

1,绝对值三角不等式一

定理1：如果“，b是实数，则Ia+∕>∣W囹土也1，当且仅当山>20时,等号成立.

定理2：如果α,b,C是实数，那么∣α~~c∣W∣α-b∣+∣Z>-c∣,当且仅当如~~∕>)S-∙c)dθ时,等号成立.

2.绝对值不等式的解法

⑴含绝对值的不等式∣x∣<a与M>a的解集

不等式a>0______@=0______a<0

MVa{x∣-Λ<x<a}?

∣x∣>a{x∣x>a或x<一〃}{x∈R∣x≠0}R

⑵Ia*+b∣Wc,Iar+》BC(C>0)型不等式的解法：

①IaX+bIWc?—CWaX+9≤c；

②IaX+方I》c?ax+b，C或ax+∕>W~^c.

(3)∣χ-a∣+∣χ-Z>∣≥c,|x—a∣+∣χ-b∣Wc(c>0)型不等式的解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解；

②利用零点分段法求解；

③构造函数，利用函数的图象求解.

［小题速通1

1.不等式∣x+l∣-∣χ-2∣dl的解集是.

-3,x≤-1,

解析：f(x)=∖x+11—lx—2∣="2x~l,—l<x<2,

.3,x≥2.

当一l<x<2时，由2χ-121,解得lWx<2.

又当x≥2时，f(x)=3>i,

所以不等式的解集为{xlx21}.

答案：{x∣x≥l}

2.若存在实数X使∣χ-a∣+∣xT∣W3成立，则实数a的取值范围是.

解析：V∣r-a∣+∣χ-l∣≥∣(χ-a)—(X—l)∣=∣a-1|,

要使IX—a∣+∣χ-1∣W3有解，可使Ia-Il≤3,

—3≤a-1≤3,—2≤a≤4.

答案：［-2,4］

3.若不等式∣Aχ一4∣≤2的解集为{Ml≤x≤3},则实数A=.

解析：⅛∣⅛χ-4∣≤272≤*x≤6.

•••不等式的解集为{x∣l≤x43},

：.k=2.

答案：2

4.设不等式1X+1∣-∣Λ~2∣M的解集为R,则实数"的取值范围为.

解析：∙.∙∣∣x+J—k-2∣∣W3,

—3≤∣x+l∣-∣χ-2∣≤3,

.∙.Q<(∣x+lL|x-2。的最小值,

即Y-3.

答案：(-8,-3)

［清易错］

1.对形如∣Λx)∣>a或∣∕U)∣<a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误.

2.绝对值不等式IIaL网∣<∣a功IWlal+⑸中易忽视等号成立的条件.如何一切4⑷十步当且仅当必WO

L时等号成立，推导二__________________________________

一二^^二了为满足砺商实数「丽©广

A.∣α÷Z>∣>∣a-⅛∣

B.∖a+b∖<∖a-b∖

C.∣α-⅛∣<∣∣α∣-∣⅛∣∣

D.∣α-⅛∣<∣α∣+∣⅛∣

解析：选B'.'ab<O,J.∖a~b∖=∖a∖+∖b∖>∖a+b∖.

2.若IX-IlW1,[y-2∣≤l,则仅-2了+1|的最大值为.

解析：∣χ-2j+l∣=∣(χ-l)-2(j-2)-2∣≤∣χ-l∣+2ly-2∣+2≤5.

答案：5

□课堂•研究高考

绝对值不等式的解法

［典例］设函数AX)=Ir+l∣-∣χ-l∣+α(αGR).

(1)当α=l时，求不等式#x)>0的解集：

(2)若方程/(x)=X只有一个实数根，求实数a的取值范围.

［解］(1)依题意，原不等式等价于：

∣x+l∣-lχ-l∣+l>0,

当x<—1时，-(x+l)+(x-l)+l>0,

即一1>0,此时解集为？；

当一1WXWl时,x+l+(x—l)+l>O,

即x>—T,此时—T<xWl;

当x>l时，x+l-(χ-l)+l>0,

即3>0,此时x>l.

综上所述，不等式/(x)>0的解集为卜x>一：}.

(2)依题意，方程式X)=X等价于α=∣χ-l∣-lx+l∣+x,

令g(x)=∣χ-1|—∣x+l∣+x.

x+2,x<—1,

—x,—l≤x≤l,.

{χ-2,x>l.

画出函数g(x)的图象如图所示，

-1O

-1

.∙.要使原方程只有一个实数根，只需“>l或α<-l.

.∙.实数α的取值范围是(一8,-1)U(1,+∞).

［方法技巧］

⑴求解绝对值不等式的两个注意点：

①要求的不等式的解集是各类情形的并集，利用零点分段法的操作程序是：找零点、分区间、分段讨

②对于解较复杂绝对值不等式，要恰当运用条件，简化分类讨论，优化解题过程.

(2)求解该类问题的关键是去绝对值符号，可以运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何

意义求解.

一［即舟演函Γ

1.解不等式|2x—l∣+∣2x+l∣≤6.

113

解：法一：当时，原不等式转化为4x≤6∙⅛vχ≤今

当一；≤xW;时，原不等式转化为2≤67-i≤x≤i;

131

当XV—5时，原不等式转化为一4x≤6?一5WXV-,・

33

--

综上知，原不等式的解集为22

1

-+≤3

法二：原不等式可化为X-2

11_33

其几何意义为数轴上到5,一5两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当χ=5或％=—5时,

33

1j33--

到;，一；两点的距离之和恰好为3,故当一］≤xW］时，满足题意，则原不等式的解集为22

/ZZiIL

2.解不等式•一1|一仅一5∣<2.

解：当x<l时，不等式可化为一(*—1)—(5—x)<2,

即一4<2,显然成立，所以此时不等式的解集为(一8,1)；

当l≤xW5时，不等式可化为X—1—(5—x)<2,

即2χ-6<2,解得x<4,所以此时不等式的解集为［1,4);

当x>5时，不等式可化为(x—1)—(x—5)<2,

即4<2,显然不成立.所以此时不等式无解.

综上，不等式的解集为(一8,4).

［ɪa绝对值不等式的证明

［典例］已知X,y∈R,且k+y∣w∕∣χ-j∣≤∣,

求证：∣x÷5j∣≤l.

［证明］V∣x+5j∣=∣3(x+j)-2(χ-j)∣.

.∙.由绝对值不等式的性质，得

∣X+5J∣=∣3(X+J)-2(χ-j)∣≤∣3(X+J)∣+∣2(X-j)∣

=3∣X+J∣+2∣X-J∣≤3×∣+2×∣=1.

即∣r+5y∣WL

［方法技巧］

绝对值不等式证明的3种主要方法

(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明.

⑵利用三角不等式|团一步|区|4±例《|4|十叫进行证明.

(3)转化为函数问题，数形结合进行证明.

［即时演练］

已知人X)=IX+2∣-∣2χ-l∣,M为不等式∕U)>0的解集.

⑴求Mi

(2)求证：当4,时,∣X÷J÷XJ∣<15.

“x-3,x<-2,

解：(i)yu)=«3x+i,-2≤x≤?

-x÷3,x>^9

当x<-2时，由X—3>0,得x>3,舍去；

当一2≤xW3时,由3x+l>0,得x>一

即一∕≤g;

当x>T时，由一x+3>0,得XV3,即∖<χv3,

综上，M=(一：，3).

(2)证明：Vx,y≡M,Λlx∣<3,∖y∖<3,

∣X+J÷XJ∣≤∣x+j∣+1盯∣≤kl÷lyl+IXyI=IXl+∣y∣+∣x∣3<3+3+3X3=15.

口I绝对值不等式的综合函―

［典例］(2017∙全国卷In)已知函数八X)=IX+1∣-∣X-2∣∙

(1)求不等式｛x)2l的解集；

(2)若不等式/(x)2χ2-χ+m的解集非空，求m的取值范围.

-3,XV—1,

［解］(IV(X)=2x—1,—l≤x≤2,

,3,x>2.

当x<-ι时，y(x)≥ι无解；

当一IWXW2时，由火x),l,得2χ-ldl,解得IWXW2；

当x>2时，由/U)21,解得x>2.

所以人x)∖l的解集为｛x∣xml｝.

(2)由式x)2x2-x+wι,得∕n≤∣x+l∣-∣Λ~2|—x2+x.

2

而|r+l|一|x一2|—x+x≈≤∣x∣+l+lr∣-2—χ2+∣Xl=-(IX|一5+*,,

且当X=T时，∣x+11—∣χ-2|—x2+x=^.

故"的取值范围为(一8,玄.

［方法技巧］_________________________________________________________________________________

⑴研究含疝绝对质的函数问藏时，根据绝对质的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分

段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法.

(2Vu)VQ恒成立7∕U)maχVα∙

/(x)>口恒成立?Λx)min>”∙

［即时演练］

已知函数AX)=IX—a|一|2x—l|.

(1)当Q=2时，求式x)+320的解集；

(2)当x∈［L3］时，∕k)≤3恒成立，求。的取值范围.

解：(1)当。=2时,由∕U)+320,

可得仅一2|一|2M一1|2一3,

r1c

x<τ,—τ≤x<2,

就2或叫2或

∣,2-χ+2χ-l≥-312-χ-2x+l≥-3

x≥2,

③,

X-2-2x+l≥-3.

解①得一4Wx<∣;解②得;Wx<2;解③得x=2.

综上所述，不等式的解集为｛x∣-4这xW2｝.

(2)当x∈［l,3］时，AX)W3恒成立，

即IX-4∣≤3+∣2χ-l∣=2x+2.

故一2x—2Wx—αW2x+2,

即一3%-2≤-α≤x+2,

：•一x一2≤”≤3x+2对x£［L3］恒成立.

.∙.α∈［-3,5］.

课堂真题集中演练

把脉命题规律和趋势

1.(2017•全国卷I)已知函数/U)=-χ2+0r+4,g(x)=∣x+l∣+∣χ-l∣.

(1)当〃=1时，求不等式风r)2g(x)的解集；

(2)若不等式八X)Ng(X)的解集包含［—1,1］，求〃的取值范围.

解：(1)当4=1时，不等式/U)2g(X)等价于

X2-X+∣X+1∣+∣X-1∣-4≤0.①

当XV-I时，①式化为A2一3x一4≤0,无解；

当一l≤x≤l时，①式化为F-x-2≤0,从而一l≤xWl;

当x>l时，①式化为x2+χ-4≤0,

,_—l+y［∏

从而IVXW2.

所以八x)2g(x)的解集为∙χ-l≤x≤-1^^^■.

(2)当x∈［-l,l］时，g(*)=2.

所以大x)2g(x)的解集包含［-L1］,等价于当x∈LLU时，Λχ)≥2∙

又大X)在［—1,1］的最小值必为八一1)与AI)之一，

所以八一1)22且∕U)∖2,得一l≤αWl.

所以”的取值范围为［-L1］.

2.(2015•全国卷I)已知函数式x)=b+l∣-2∣x—α∣,α>0.

⑴当α=l时，求不等式/(x)>l的解集；

⑵若/U)的图象与X轴围成的三角形面积大于6,求”的取值范围.

解：(1)当α=l时，/(x)>l化为∣X+1L2∣A~1∣-1>0.

当XW-I时，不等式化为Jr-4>0,无解：

2

当一l<x<l时，不等式化为3χ-2>0,解得铲x<l;

当x≥l时，不等式化为一x+2>0,解得l≤x<2.

所以/U)>l的解集为卜IaV2).

χ-l-2a9x<-l9

3x+l—24,—l≤x≤a,

{-x+l+2a,x>a.

所以函数/U)的图象与X轴围成的三角形的三个顶点分别为A佟三，0),B(2Λ+1,0),C(a,α+l),

,2

AABC的面积为gm+iE

由题设得全α+l)2>6,故”>2.

所以”的取值范围为(2,+∞).

3.(2016•江苏高考)设4>0,∣χ-1∣<^>Iy-2|V,求证：∣2x÷j-4∣<α.

证明：因为|x—1∣V1[y—2∣<∣,

所以∣2x+y—4∣=∣2(X-1)+(J-2)∣W2∣X—l∣+bj—2∣<2xg+g=”.

4.(2013•全国卷I)已知函数式X)=I2χ-l∣+∣2x+α∣,g(x)=x+3.

(1)当”=-2时，求不等式/(x)Vg(X)的解集；

(2)设”>—1,且当χc[甘，y时，∙Λx)W(x),求。的取值范围.

解：(1)当〃=—2时，不等式/(x)Vg(X)可化为|2x—l∣+∣2χ-2|-x—3V0.

设函数y=∣2x—l∣+∣2χ-2∣-χ-3,贝寸

C1

-Sx9XV5，

—x-2,⅛≤x≤l,

、3x—6,x>l.

其图象如图所示.

从图象可知，当且仅当XG(0,2)时，产0.

所以原不等式的解集是{x∣0VχV2}.

(2)当x∈[-f,§时，f(x)=l+a.

不等式AX)Wg(X)化为l+α≤x+3.

所以2对Xe—13都成立.

故一g2〃一2,即α≤[.

从而4的取值范围是(一1,

口图考达标检测

1.(2018∙J⅛∙山楔拟)已知函数/(x)=∣2χ-α∣+∣x+11.

(1)当α=l时，解不等式八x)<3;

⑵若人幻的最小值为1,求α的值.

一一3x,x≤—1,

解：⑴因为大X)=I2χ-l∣+∣x+l∣=<-χ+2,-1"与，且｛1)=4-1)=3,

3x,x≥^,

所以/U)v3的解集为｛%∣-lvχvl｝.

⑵|2x—α∣+∣x+l∣=χ-ɪ+∣x+l∣+χ-ɪ≥1+^+0=1+^

当且仅当(X+1)(X一9:≤0且x—彳=0时，取等号.

所以1+彳=1,

解得a=-4或0.

2.已知函数/U)=∣2x+l∣,g(x)=∣χ-l∣+a.

(1)当a=0时，解不等式ι∕U)Ng(x);

⑵若对任意x∈R,八x)∖g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

解：⑴当a=0时，由|x)2g(x),得∣2x+lBIjr-I

两边平方整理得7+2x20,解得X20或χ≤-2.

所以原不等式的解集为(-8,-2]U[0,+∞).

(2)由∕U)Ng(x),得aW∣2x+l∣一仅一”.

令A(X)=I2x+l∣—lχ-l∣,

则MX)=bX,Vy<1,

<x÷2,x≥l.

故MX)min=(T)=C

故所求实数”的取值范围为(一8,-∣].

3.已知函数人X)=I2χ-α∣+∣2x一1∣,α∈R.

(1)当α=3时，求关于X的不等式/(x)W6的解集；

(2)当x∈R时，Ax)》”?一4-13,求实数”的取值范围.

解：(1)当α=3时，不等式∕U)≤6可化为∣2x—3∣+∣2χ-l∣≤6.

当Xe时，不等式可化为一(2x—3)—(2x—1)=-4x+4W6,解得一；WX

1313

当孑时，不等式可化为一(2x—3)+(2χ-1)=2W6,解得3≤xW3;

335

当x>5时，不等式可化为(2χ-3)+(2χ-l)=4χ-4≤6,解得5。这5.

综上所述，关于X的不等式式x)W6的解集为

{χ-∣≤x≤f}.

⑵当x∈R时，^)=∣2x-a∣+∣2χ-l∣≥∣2χ-α+l-2x∣=∣l-α∣,

所以当x∈R时，/(x)≥a2—a—13等价于|1—<z∣≥α2-α-13.

当a≤l时，等价于l-a2/一13,解得一Λ∕14≤Λ≤1;

当α>l时，等价于a—I2。?一a—13,解得l<a≤l+dI5,

所以a的取值范围为[一标，1+√B].

4.已知函数/(x)=∣χ-a∣+∣2x+l∣.

(1)当a=l时，解不等式八x)W3;

(2)若人x)W2a+x在[a,+8)上有解，求a的取值范围.

解：(1)当a=l时，AX)W3化为IX-Il+∣2x+l∣W3,

r1『L「

XV—彳，一彳WXW1,

叫2或J2，

.l-χ-l-2x≤31l-χ+2x+l≤3

x>l,

X-l+2x+l≤3,

解得一l≤χv一不或一5≤x≤l或?.

所以原不等式解集为{洲一l≤x≤l}.

(2)因为x∈[a,+°o),所以/(x)=∣χ-q∣+∣2x+l∣=X—a+∣2x+l∣≤2a+x,

即∣2x+l∣W3a有解,所以a20,

所以不等式化为2x+X≤3a有解,

即2a+l<3a,解得a≥l,

所以Q的取值范围为[1,+∞).

5.设函数/(X)=∣2R-a∣+2a.

(1)若不等式HX)W6的解集为{x∣-6≤xW4},求实数a的值；

⑵在⑴的条件下，若不等式八x)≤(∕-I)X-5的解集非空，求实数4的取值范围.

解：(1)∙.∙∣2LM+24<6,

Λ∣2χ-d∣≤6-2a,2a-6≤2χ-/ι≤6-2a,

3≤x≤3-ɪ,

而,∕ζr)<6的解集为{x|-6≤x≤4},

「3

2-

故有《解得Q=-2.

[3一呼=4,

(2)由(1)得於)=∣2x+2∣—4,

，不等式∣2x+2∣-4≤(&2一l)χ-5,

化简得∣2X+2∣+1W(⅛2-l)χ,

[2x+3,x≥-1,

令g(x)=∣2x+2∣+l=1-2*—ι,x<-1.

画出函数y=g(χ)的图象如图所示.

要使不等八x)≤∕2-l)χ-5的解集非空，只需Ar2-1>2或⅛2-1≤-1,

解得k>小或kv—小或k=0,

.∙.实数A的取值范围为(一8,-√3)U{0}U(√3,+∞).

6.设函数/(x)=IaX-1|.

⑴若人x)W2的解集为［-6,2］,求实数a的值；

(2)当α=2时，若存在x∈R,使得不等式/(2x+l)-/U-I)W7—3,”成立，求实数，”的取值范围.

解：⑴显然α≠0,

当α>0时，解集为一:,月，

13

则一,=-6,-=2,无解；

当α<0时，解集为1—ɪɪ

131

则_'=2,-=_6,得。=一$・

综上所述，〃=一；.

-2χ-4,x≤-4,

13

(2)当a=2时，令MX)=12X+1)~ΛX-1)=∣4X+1∣-∣2X-3∣=<6χ-2,~τ<x<z

I4/

、2x+4,另

由此可知，MX)在(-8,一J上单调递减，在(一；，§上单调递增，在G，+s)上单调递增，则当X

17

=-Z时，∕z(χ)取到最小值一弓，

77

由题意知，一］≤7-3∕.解得∕n≤5,

故实数机的取值范围是(一8,ɪ,

7.(2018•九江模拟)已知函数八X)=IX-3|一∣χ-α∣.

⑴当α=2时，解不等式八x)W—；；

(2)若存在实数α,使得不等式/(x)∖”成立，求实数"的取值范围.

解：⑴；a=2,

1,x≤2,

.∖Λx)=∣x—3］一.一2］=<5—2x,2<x<3,

、一1,x≥3,

x≤2,2<x<3,x≥3,

.∙.∕(x)≤-5等价于ι≤4或5-2x≤-∣或

解得号≤x<3或Q3,

.∙.不等式的解集为［,,+∞).

(2)由不等式性质可知/(x)=∣χ-3］一α∣W∣(χ-3)—(X—α)I=Ia—3］,

,4・3

.∙.若存在实数X,使得不等式/(x)2α成立，则I”一3∣2α,解得0≤,,

.∙.实数α的取值范围是(一8,I.

8.已知函数兀T)=I2x+l∣-∣x∣+α,

(1)若。=-1,求不等式∕U)》()的解集；

⑵若方程$x)=2X有三个不同的解，求α的取值范围.

解：(1)当”=一1时，不等式yu)2o可化为

∣2x+l∣-W-l≥0,

.-72x+17-7-χ7-l≥0

或卜兵x<0,或产0,

[?2x+l?-?-X?-120b2x+17-χ-l≥0,

解得XW—2或x≥0,

，不等式的解集为(-8,-2]∪[0,+∞).

⑵由Hx)=2匚得α=2x+∣M-∣2%+l∣,

令g(x)=2x+|x|—∣2x+11,

C1

3x+l,X<-y

则g(x)-<_工_],—^≤χ<0,

y

1

-

2

X

-I

作出函数y=g(x)的图象如图所示，易知A(一今—ŋ,B(0,—1),

结合图象知：当一1VaV一；时，函数y—a与y=g(x)的图象有三个不同交点，即方程∕ζr)=2x有三个

不同的解,

.∙.4的取值范围S-

第2课/不等式证明

□课前•回扣教材

［过双基］

1.基本不等式

定理1：如果”,⅛∈R,那么加+尸》&边，当且仅当α=∕>时,等号成立.

定理2：如果”,b>0,那么等》标，当且仅当α=∕>时,等号成立，即两个正数的算术平均不小

于(即大于或等于)它们的几何平均.

定理3：如果α,b,c∈R+,那么叶赤互,当且仅当α=b=c时,等号成立.

2.比较法

(1)比差法：依据是ai>O?a>b；步骤是“作差f变形f判断差的符号”.变形是手段，变形的目

的是判断差的符号.

4

⑵比商法：若B>0,欲证只需证得

3.综合法与分析法

(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而

得出命题成立.

(2)分析法：从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显

成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立.

4.柯西不等式

(1)设α,b,c,d都是实数，贝!∣(α2+b2)(c2+<∕2)∖(4c+bd)2,当且仅当“d=%c时等号成立.

⑵若ai,小(iGN*)为实数，则∑αR∑加≥Eaibi2,当且仅当生■=§=…当α,=θ时，约定历

j=ι人=iJQ=IJαιaιa∙∙

=0,i=1,2,…，")时等号成立.

(3)柯西不等式的向量形式：设α,/?为平面上的两个向量，则∣αg∣2∣α∙∕η,当且仅当α,/?共线时等号

成立.

［小题速通］

1.若∕n="+2b,"=α+Z>2+l,则PI与〃的大小关系为.

解析：Vzi—m=α+⅛2+l—a_2b=b2—2ft+l=(⅛-1)2≥0,.".n≥nι.

答案：〃2小

2.若α>0,⅛>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的。，方恒成立的是(填序号).

①gb≤l;②y［a+∙∖［b^y∣2↑^a2+^2≥2;

Φα3+⅛3≥3:(S)^+∣≥2.

解析：令α=~=l,排除②④；

由方≤1,命题①正确；

a2+A2=(a+Z>)2-2Λ^=4-2α⅛≥2,命题③正确；

,+)=笠9="⅜22,命题⑤正确.

ababab9

答案：①③⑤

3.已知α,b,C是正实数，且α+5+c=l,贝6+：+5的最小值为.

解析：把α+b+c=l代入

0+~+c〃+力+c〃+8+c

得，-+-一

=3÷'b(H÷e÷∑)÷(f÷6(

≥3+2+2+2=9,

当且仅当a=/)=。=；时，等号成立.

答案：9

[清易错]

1.在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号.

2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，易忽视

性质成立的前提条件.

1.已知α>0,⅛>0,贝!∣4%%(ab)-y~(填大小关系).

a-b

解析：∙.∙一叫7

?ab空©

,(d\a-b

∙'∙当Q='时1，2=1,

.,,aa~b(d∖a-b

当α>6>0时，『1,-^->0,••时与一>1，

,aa-b

当b>a>O时1，OV石〈I,一^―vθ,

则金、1(Cfl-b1，

A、a+b

..aabh≥

答案：≥

8

2.设x>y>z>O,求证：x—z+?Ly??y—z?26・

883/§

证明：x-z+五二两二^=(X-y)+(y-z)+五二两二^'3弋?》一，??，-Z坛Zm沟二万=6.

8

当且仅当χ-y=y_z=?x_y??,_N?时取等号,

8

所以x-z+?x_y77y_^6.

□课堂•研究高考

I比较法证明不等式

[典例](2018•莆田模拟)设α,B是非负实数.求证：a2+⅛2≥√ο⅛(α+⅛).

[证明]32+")—6)

=(α2-cr∖[ab)+(b2-b∖[ab)

=(r∖[a(yja-y[b)+b∖[b[y[b~~y[a)

=(y[a^y[b)(ay[a-by∣b)

=(rz∣-Z>∣)(rz∣-⅛∣).

因为020,⅛≥0,所以不论α2Z>2θ,还是OWa≤A,都有[―岐与成一碎同号，所以屋一片)同一

3

与)20,

所以a2+b2^y[ab(a+⅛).

[方法技巧]__________________________________________________________________________________

比较痂所示等式吊方法和步噱

(1)求差比较法：

由a>b?a—⅛>0,a<b2a-b<0,因此要证明a>b只要证明a-Z>>0即可，这种方法称为求差比较法.

(2)求商比较法：

由α>%>0?齐1且α>0,6>0,因此当a>(),5>0时，要证明“>仇只要证明,1即可，这种方法称为求

商比较法.

(3)用比较法证明不等式的一般步骤是：作差(商)一变形一判断一结论，而变形的方法一般有配方、通

分和因式分解.

［即时演练］

求证：当x∈R时，l+2χ4∖2∕+x2.

证明：法一：(l+2x4)-(2x3+χ2)

=2x5(LI)-(X+l)(χ-l)

=(X-l)(2x3-X-1)

=(χ-l)(2x3-2x+χ-1)

=(Llwl)+c

=(X-1)2(2X2+2X+1)

=(x-l)^2(x+£)2+1≥0,

所以l+2x4N2χ3+χ2.

法二：(l+2x4)-(2x3+x2)

=x4-2x3+x2+x4-2x2÷1

=(χ-l)2∙x2+(x2-l)2≥0,

所以l+2x*∙∖2χ3+χ2.

I综合法证明不等式

［典例］已知α,》均为正数，且α+b=l,求证：

(l)(αx+⅛j)2≤αx2+*j2;

(2)(a+》+G+{)2》学

［证明］(1)(or+by)2—(ax2+by2)=a(a—l)x2÷b(b—l)ʃ2+Iabxy,

因为a+b=l9

所以1=­b,b—l=—g又％》均为正数，

所以a(a—l)x2+⅛(⅛-l)j2+2^⅛xy

=-ab(x2+y2-2xy)

=—α⅛(χ-j)2≤0,当且仅当x=j时等号成立.

所以(ax+by)2≤ax2+by2.

(2)(。+?2+(短)2=4+足+加+&4匍

一,,,?a+b?2,?a+b?2-，，，，，.，2相方22「a................,………(2"2α∖,

=4+α2+⅛2+―-+-r-=4+<z2+⅛2+l+-+^2+^2+y+l=4+(a2+Z>2)+2+(^-+yJ+

牌S*+空+4+2",

当且仅当α=5=g时，等号成立，

所以(α+!AG+???学

［方法技巧］

1.综合法证明不等式的方法

综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转

换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.

2.综合法证明时常用的不等式

(l)α2≥0.

(2)∣α∣≥0.

(3)a2+⅛2≥2α⅛,它的变形形式有：

α2+⅛2≥2∣α⅛∣;α2+⅛2≥-2α⅛;(o+⅛)2≥4α⅛;

a^+b^a+by；亨力(空).

(4)小》丽，它的变形形式有：

α+^≥2(a>0);^+~≥2(α⅛>0);

f+^≤-2(ɑ⅛<0).

[即时演练]

设”,b9C均为正数，且〃+〃+c=L求证:

(l)a⅛+ftc+ac≤^;

“2加£»2

(2)⅜+y+⅛-≥l.

Dca

证明：(1)由4+加》2。瓦⅛2+c2≥2⅛c,c2+a2≥2ca,

得a2+⅛2+c2≥α⅛+⅛c+ca.

由题设得3+8+c)2=l,

即a2+b2+c2+2ah+2bc+lca=l,

所以3(a⅛÷⅛c+ca)≤1,

即a⅛÷⅛c+cα≤y

“2MC2

(2)因为了+A22%~+c≥2⅛,—÷Λ≥2C,

。2扶C2

故石+^^^+∕+(α+~+c)22(α+~+c),

即方+"+K+*-

所以彳+%+5》1.

oca

I分析法证明不等式

［典例］设〃，bfc>0,且〃b+5c+cα=L

求证：(1)Λ+⅛+C≥Λ∕3.

⑵Λ∕⅛+ʌ/ɪ+流》由(犯+的+也).

［证明］⑴要证a+b+c^y［i9

由于%b9c>0,

因此只需证明3+办+。)223.

即证a2+⅛2+c2+2(aZ>+⅛c+ca)≥3,

而ab+bc+ca=lt

故需证明a2+ft2+c2+2(a⅛+ftc+ca)≥3(α⅛+⅛c+ca).

即证tz2+Z>2+c2≥αZ>+fec+cα.

标+从庐+。2。2+〃2

而这可以由ah+bc+ca^—一~∣--2—+—2—=层+)?+°2(当且仅当。=力=。时等号成立)证得.

所以原不等式成立.

⑵ΛJ⅛+/+Γca+b+c

Vy∣abc"

在(1)中已证a+b+c^y∣3.

因此要证原不等式成立,

只需证明4及2y∣a+y[b+y∣c9

即证a∖[bc+lr∖[ac+cy[ab≤1,

即证a∖∣及+1/\囚+c[HifWab+bc+ca.

r—I----Clh+^QC

而可bc=y∣ab∙acW

2

-ab+bcI-bc+ac

b∖l∣QcW∑,CabW∑.

所以a∖∣及+by［£+cy［几Wab+bc+Ca当且仅当a=b=c=3时等号成立.

所以原不等式成立.

［方法技巧］

1.用分析法证“若A则Bn这个命题的模式

为了证明命题〃为真，

只需证明命题为真，从而有…

只需证明命题及为真，从而有…

只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真.

2.分析法的应用

当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结

论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.

［即时演练］ɪɪ^33~^

22

已知a>0,b>092c>a+b9求证：c-y∣c-ab<a<c+γ∣c~ab.

证明：要证。一yfc2—ab<a<c+y∣c2~ab,

即证-yjc2-ab<a-c<y∣c2-ab,

即证-C∖<y∣c2-ab,

即证3-c)2<c2—ab,

即证a2-2ac<_ab.

因为a>0,所以只要证a-lc<-b9

即证a+b<2c.

由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立.

课堂真题集中演练

把脉命题规律和趋势

1.(2017•全国卷U)已知α>O,⅛>0,凉+〃=2.证明:

(l)(α+fe)(a5+⅛5)≥4;

(2)ɑ+ft≤2.

证明：⑴(a+ZOd+M)=/+。/+。，/(+"

=(a3+b3)2~2a3bi+ab(a4+h4)

=4+α⅛(α2-⅛2)2≥4.

(2)因为(a+b)3=ai+3a2b+3ab2+bi

37a+b?2

=2+3αfe(α+⅛)≤2+―—(a+b)

,3?a+b?3

=2+、一，

所以("+方)3≤8,因此α+bW2.

2.(2016∙全国卷∏)已知函数｛X)=ʃ-ɪ+x+1∣,M为不等式八x)<2的解集.

⑴求Mt

(2)证明:当α,DGM时,∣α+⅛∣<∣l+α⅛∣.

11

解：(DHx)=V1，~2<x<2'

2x,x≥⅛.

V.Z

当x≤-T时，由AX)V2得一2XV2,解得x>一1;

当一2VXW时，兀r)v2恒成立；

当时，由AX)V2得2x<2,解得x<l.

所以大X)V2的解集M={x∣-l<x<l}.

(2)证明：由(1)知，当α,力∈M时，一IVaVL-IaVL

从而(α+))2—(1+α⅛)2=α2+⅛2—a2b2—1

=(a2-l)(l-⅛2)<0.

因此∣α+)∣v∣l+α"∙

3.(2015・全国卷U)设〃，b,c,d均为正数，且α+5=c+d,证明:

f

(1)若ab>cd9则&+亚W;

(2h∕^+或>\几+也是|〃一5|v|c—d∣的充要条件.

证明：⑴因为(W+亚)2=α+方+2，^,

(y[c+y∣d)2=c+d+2y[cd,

由题设a+b=c+d9ab>cd9

得(6+亚)2>CG+W)2.

因此出+小

⑵①必要性：若kz-b∣v∣c-d∣,

则(a—b)2<(c-rf)2,

即(a+b)2—4α⅛<(c+d)2—4cd.

因为a+b=c+d9所以ab>cd.

由(1),得犯+或>\/^+板.

②充分性：^Λ∣a+y[b>y[c+y[d,

i22

^](y[a+y∕b)>(y[c+y[d)9

艮(7a+b+2∖[^>c+d+2yf^.

因为a+b=c+df所以ab>cd.

于是(α—b)2=(〃+b)2—4ab<(c+dp-4cd=(C-d)2.

因此Ia-AlVIC-d|.

综上，W+的+R是|a—〃IVIC—d∣的充要条件.

4.(2014•全国卷I)若α>O,⅛>0,⅛^+∣=√αft.

(1)求α3+ft3的最小值；

⑵是否存在α,b,使得2〃+3)=6?并说明理由.

112

解：(1)由标=i+各,荷，

得血22,且当〃=方=Ji时等号成立.

故。3+力322犯方24g，且当a=b=小时等号成立.

所以苏+〃的最小值为4啦，

(2)由(1)知，2α+3⅛≥2√6√oft≥4√3.

由于4y∣3>6,从而不存在〃，b,

使得2α+3⅛=6.

r⅝ι⅝.................................

2h2

1.已知。，方都是正实数，且α+b=2,求证：-⅛av+⅛-≥l.

〃十1力十1

证明:Va>O,⅛>0,a+b=29

■752_〃2?力+1?+加?〃+1?一？。+1??5+1?

ΛO+T+HH-1=?«+1??*+1?

标力+彦+肥〃+"—〃〃—。一1―1

=?a+l??b+l?

_层+"+。卜?〃+〃?—ab—?a+b?-1

=?«+1??*+1?

_-2+-2+2αb-ab-3_?a+b?2-3-ab____1-ab

=-7a+177⅛+l?~=7a+177⅛+l?=?a+l??*+l?*

Vα+ft=2≥2√^⅛,ΛαZ>≤l.

.—ab>

∙,α+Γ⅛+l^1∙

2.已知定义在R上的函数<x)=lx+l∣+lχ-2∣的最小值为a.

(1)求”的值；

(2)若p,q,r是正实数，且满足p+g+r=